Справочные материалы по геометрии 7 класс

Теоремы
Три признака равенства треугольников
Определение	Чертеж	ДАНО	Доказательство
I признак (по двум сторонам и углу между ними).                               Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.		Дано:                         ΔABC, ΔA1B1C1,                              AB=A1B1, AC=A1C1, A= A1.                 Доказать:                                     ΔABC= ΔA1B1C1	Доказательство: Так как A= A1, то можно  треугольник A1B1C1 наложить на треугольник ABC так, чтобы точка A1 совместилась с точкой A, луч A1C1 наложился на луч AC, луч A1B1 — на луч AB. Так как AB=A1B1, то при таком наложении сторона A1B1 совместится со стороной AB, а значит, точка B1 совместится с точкой B. Аналогично, сторона A1C1 совместится со стороной AC, а точка C1 — с точкой C. Следовательно, сторона B1C1 совместится со стороной BC. Значит, при наложении треугольники полностью совместятся,  поэтому ΔABC= ΔA1B1C1 (по определению).  Что и требовалось доказать.

II признак (по стороне и прилежащим углам)                            Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:                         ΔABC, ΔA1B1C1,                             AB=A1B1,  A= A1, В= В 1                                Доказать:   ΔABC= ΔA1B1C1

Доказательство:Так как AB=A1B1, то треугольник A1B1C1 можно наложить на треугольник ABC так, чтобы сторона A1B1 совместилась со стороной AB, точки C1 и С лежали по одну сторону от прямой AB. Поскольку A= A1, сторона A1С1 при этом наложится на луч AC. Так как B= B1, сторона B1C1 наложится на сторону BC. Точка С1 принадлежит как стороне A1С1, так и стороне B1C1, поэтому С1лежит и на луче AC, и на луче CB. Лучи AC и CB пересекаются в точке C. Следовательно, точка С1 совместится с точкой C. Значит, сторона A1С1 совместится со стороной AC, а сторона B1C1 — со стороной BC. Таким образом, при наложении треугольники ABC и A1B1C1 полностью совместятся. А это означает, что ΔABC= ΔA1B1C1 (по определению). Что и требовалось доказать.

III признак (по трем сторонам).        Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.		Дано:                         ΔABC, ΔA1B1C1,                             AB=A1B1,  АС=А1С1, ВС=В1С1                                Доказать:                                     ΔABC= ΔA1B1C1	Доказательство:   Приложим треугольник A1B1C1 к треугольнику ABC так, чтобы вершина A1 совместилась с вершиной A, вершина B1 совместилась с вершиной B, точки C1 и C лежали по разные стороны от прямой AB. При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC1 и угла ACB.
	I.  Луч CC1 проходит внутри угла ACB.Проведём отрезок CC1. По условию AC=A1C1 и BC=B1C1, поэтомутреугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1.          По свойству равнобедренного треугольника, ACC1= AC1C и BCC1= BC1C.    Если к равным углам прибывать равные углы, то получим равные углы:  ACB= ACC1+ BCC1     AC1B= AC1C+ BC1C Таким образом, ACB= AC1B.                                                                                                   Точки A1 и A, B1 и B совмещены, то есть AC1B и A1C1B1 — один и тот же угол. Для треугольников ABC и A1B1C1 имеем: AC=A1C1, BC=B1C1 (по условию), ACB= A1C1B1 (по доказанному). Следовательно, ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).
	II. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.                                                                 Так как AC=A1C1 и BC=B1C1, треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1 и ACC1= AC1C и BCC1= BC1C (как углы при основании).                                                  Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:                          ACB= ВСС1- АСС1                                                                                         АС1В= ВС1С- АС1С                                                                                                          Таким образом, ACB= AC1B и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).
	III. Луч CC1 совпадает со стороной угла ACB.                                                                           По условию BC=B1C1, поэтому треугольник BCC1 — равнобедренный с основанием CC1.   Отсюда C1= C (как углы при основании) и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).                                                                                                                                  Что и требовалось доказать.

Свойства равнобедренного треугольника
1) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.		Дано: ∆ ABC,          AC=BC                    Доказать: A= B.	Доказательство: Проведем в  треугольнике ABC биссектрису CF. Рассмотрим ∆ ACF и ∆ BCF. 1)              AC=BC (по условию) 2)              CF — общая сторона 3)              ACF= BCF (так как CF — биссектриса). Следовательно, ∆ ACF=∆ BCF (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: A= B. Что и требовалось доказать.
2) В равнобедренном треугольнике                                — медиана,                                  — биссектриса                             — и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой и высотой.

Дано: ∆ ABC,  AC=BC,             CF — медиана.       Доказать: CF — биссектриса и высота.

Рассмотрим треугольники ACF и BCF.                                                1)             AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника )) 2)             AF=BF (так как CF — медиана по условию) 3) CAF= CBF (как углы при основании равнобедренного треугольника). Следовательно, ∆ ACF=∆ BCF (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. Значит, 1) ACF= BCF. Отсюда, CF — биссектриса треугольника ABC. 2) AFC= BFC. А так как эти углы — смежные, значит, они прямые: AFC= BFC=90º. Значит, CF — высота треугольника ABC. Что и требовалось доказать.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.		Дано:∆ AB,              AC=BC,                   CF — биссектриса.           Доказать: CF — медиана и высота.	Доказательство:Рассмотрим  треугольники ACF и BCF (важно правильно их назвать!)      1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника)) 2) ACF= BCF (так как CF — биссектриса по условию). 3) сторона CF — общая. Значит, ∆ ACF=∆ BCF (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов. Таким образом, AF=BF, следовательно, CF — медиана. AFC= BFC. А так как эти углы — смежные, значит, они прямые: AFC= BFC=90º. Значит, CF — высота. Что и требовалось доказать.
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его медианой и биссектрисой.		Дано: ∆ ABC,          AC=BC,                   CF -высота.             Доказать:                 CF -медиана и биссектриса.	Рассмотрим треугольники ACF  и BCF.                                               1)             AC=BC (по условию(как боковые стороны  равнобедренного треугольника))   2)             сторона CF — общая                  AFC= BFC=90º (как смежные) A= B (как углы при основании равнобедренного

			треугольника) Сумма углов треугольника равна 180º. Если из 180º вычесть сумму равных углов, то получим равные углы:                                    ACF=180º- ( AFC+ A)                BCF= 180º- ( BFC+ B)              Таким образом, имеем: 3) ACF= BCF. Следовательно, 1) CF — биссектриса треугольника ABC; 2) ∆ ACF=∆ BCF ( по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AF=BF. Поэтому CF является также медианой треугольника ABC. Что и требовалось доказать.
3) В равнобедренном треугольнике                                — биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;                                          — высоты, проведенные из вершин при основании, равны;                                           — медианы, проведенные из вершин при основании, равны.

I. Биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника (проведенные к боковым сторонам), равны.

Дано:∆ ABC,           AC=BC,                   AN и BM — биссектрисы.           Доказать: AN=BM.

Рассмотрим треугольники ACN  и BCM (не забываем, как важно правильно назвать равные треугольники!).                                1)             AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника))   2)             C — общий                                3)             CAN= CBM (как углы, на которые биссектрисы делят равные углы при основании равнобедренного   треугольника)  Следовательно, ∆ACN=∆BCM (по стороне и двум прилежащим к ней углам).                                    Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AN=BM.                                           Что и требовалось доказать.

II. Высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.

Дано:∆ ABC,           AC=BC,                   AP и BH — высоты.          Доказать: AP=BH

Рассмотрим треугольники ACP  и BCH.                                              1)             AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника))   2)             C — общий                                APC= BHC=90º (так как AP и BH — высоты (по условию)).        Сумма углов треугольника равна 180º .                                         В треугольнике ACP CAP=180º — ( APC+ C)=180º — 90º — C=90º — C. В треугольнике BCH CBH=180º — ( BHC+ C)=180º — 90º — C=90º — C. Отсюда, 3) CAP= CBH. Следовательно, треугольники ACP и BCH равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AP=BH. Что и требовалось доказать.

III. Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.		Дано: ∆ ABC, AC=BC, AK и BF — медианы.  Доказать:  AK=BF	Рассмотрим треугольники ACK и BCF.                                               1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника))   2) CK=CF (так как медианы AK и DF проведены к равным сторонам AC и BC, то и половины этих сторон равны между собой)                                   Следовательно, ∆ACK=∆BCF (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AK=BF. Что и требовалось доказать.
Свойства треугольников, следующие из свойств равнобедренного треугольника
1) В равнобедренном треугольнике против равных сторон лежат равные углы
2) В равнобедренном треугольнике   медиана,  биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.
3) В равностороннем треугольнике все углы равны
4) В равностороннем треугольнике медиана,  биссектриса и высота, проведенные из одной вершины совпадают

Признаки равнобедренного треугольника
1) Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный		Дано: ∆ ABC, A= B Доказать: ∆ ABC — равнобедренный.	Проведем биссектрису CF.                   Рассмотрим треугольники ACF и BCF. 1)             ACF= BCF (так как CF — биссектриса (по построению)) 2)             CF — общая сторона                        A= B (по условию) Сумма углов треугольника равна 180º. В треугольнике ACF AFC=180º — ( A+ ACF). В треугольнике BCF BCF =180º — ( B+ BCF). Из 180º вычли сумму равных углов. Получили равные углы:                        Таким образом, имеем: 3)              AFC= BFC. Следовательно, ∆ACF = ∆BCF (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC. Значит, треугольник ABC —

			равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника). Что и требовалось доказать.
2) Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник — равнобедренный.		Дано: ∆ ABC, CF — высота и медиана Доказать: ∆ ABC — равнобедренный.	Рассмотрим ∆ AFC и ∆ BFC. 1) AFC= BFC=90º (так как CF — высота треугольника ABC по условию). 2)                AF=BF (так как CF — медиана треугольника ABC по условию). 3)                Сторона CF — общая. Следовательно, ∆ AFC = ∆ BFC (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC. Значит, ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника). Что и требовалось доказать.
3) Если в треугольнике биссектриса является также его высотой, то такой треугольник — равнобедренный.		Дано: ∆ ABC, CD —  биссектриса и высота. Доказать: ∆ ABC — равнобедренный.	Рассмотрим ∆ ADC и ∆ BDC. 1)                ACD= BCD (так как CD — биссектриса треугольника ABC по условию). 2)                ADC= BDC=90º (так как CD — высота треугольника ABC по условию). 3)                Сторона CD — общая. Следовательно, ∆ ADC = ∆ BDC (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

			Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC. Значит, ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).Что и требовалось док.
4) Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник — равнобедренный.		Дано: ∆ ABC, CK — медиана и биссектриса Доказать: ∆ ABC — равнобедренный.	На луче CK отложим отрезок KE, KE=CK. Рассмотрим треугольники AKE и BKC: 1)              AK=BK (так как CK — медиана по условию) 2)              KE=CK (по построению) 3)              AKE= BKC (как вертикальные). Следовательно, ∆ AKE=∆ BKC (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AE=BC и соответствующих углов: AEK= BCK. По условию,  BCK= AСK. Поэтому AEK= AСK. Таким образом получили, что в треугольнике ACE два угла равны. Значит, ∆ ACE — равнобедренный с основанием CE (по признаку). Следовательно, его боковые стороны равны: AE=AC. А поскольку уже доказали, что AE=BC, то и  AС=BС. Поэтому ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению).

Свойства серединного перпендикуляра
I) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.		Дано: AB- отрезок, C — середина AB, m — серединный перпендикуляр к AB, M m. Доказать: AM=BM.	1.                 Если точка M совпадает с точкой C. Так как AC=BC по условию, то и AM=BM. 2.                 Если точка M не совпадает с точкой C. Рассмотрим треугольники ACM и BCM   то есть треугольники ACM и BCM — прямоугольные.                                         C=BC (по условию), CM — общий катет. Следовательно, ∆ ACM=∆ BCM (по двум катетам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AM=BM. Что и требовалось доказать.
II) И обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.		Дано: AB — отрезок, C — середина AB, m — серединный перпендикуляр к AB, AK=BK. Доказать: K m.	Так как AK=BK (по условию), то треугольник AKB — равнобедренный с основанием AB (по определению). Так как C — середина AB, то KC — медиана треугольника AKB. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является также его высотой, то есть

Окружность
Окружность	геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной    точки, называемой/центром, на заданное неотрицательное расстояние,           называемое её радиусом.	определение
Окружность	это совокупность всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки О, которая называется центром окружности.	определение
Круг	геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга.	определение
Круг	часть плоскости, ограниченная окружностью	определение
Радиус окружности (R)	расстояние (а также отрезок) от центра окружности О до любой точки окружности.	определение
Хорда	Отрезок, соединяющий две точки окружности	определение
Диаметр окружности (D)	хорда, которая соединяет две точки окружности и проходит через ее центр.	определение
Дуга	Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности.	определение
Полуокружность	Дуга называется полуокружностью, если отрезок,  соединяющий её концы, я вляется диаметром.	определение
Касательная окружности	прямая, которая касается окружности только в одной точке.	определение
Секущая окружности	прямая,  проходящая через две различных точки окружности
Формулы длины окружности и площади круга
Формула длины окружности через радиус	L = 2πr	формула
Формула длины окружности через диаметр	L = πD	формула
Формула площади круга через радиус	𝑆=𝜋𝑟2	формула
Формула площади круга через диаметр	𝑆=𝜋𝑑2/4	формула

Основные свойства касательных к окружности
Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точку касания		Дано: окружность (O;R), R=OA, a — касательная к окружности, A — точка касания.     Доказать: а⊥ОА	Доказательство: Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что радиус OA и прямая a не перпендикулярны.                                Опустим из точки O на прямую a перпендикуляр OB. Тогда OA — наклонная, проведенная из точки O на прямую a. По свойству перпендикуляра и наклонной, любая наклонная больше перпендикуляра. Значит, OA>OB. Получается, расстояние от точки O до прямой a — длина перпендикуляра OB — меньше радиуса. Из этого следует, что прямая a и окружность имеют две общие точки. Противоречие получили, так как предположили, что радиус OA и касательная a не перпендикулярны. Значит, касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания:  а⊥ОА                                                            Что и требовалось доказать.
Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности	Признак касательной к окружности	Дано: ОА – радиус окружности А ∈ р р ⊥ОА   Доказать : р- касательная к окружности	ОА – радиус окружности (по условию) (ОА=r) ОА – перпендикуляр из О к прямой р (ОА =d) Значит, r=ОА=d , значит прямая р и окружность имеют одну общую точку. Следовательно , прямая р – касательная к окружности. ч.т.д.

Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности	Следствие
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности .		Дано : окр. (О ; r) АВ и АС – касательные к окр. (О; r) Доказать: АВ=АС <3 = < 4	1)                 ОВ АВ, ОС АС, как радиусы , проведенные в точку касания (свойство касательной)     2)                 Рассмотрим тр. АОВ и тр. АОС – п/у АО – общая ОВ=ОС (как радиусы) Значит , АВО = АОС (по гипотенузе и катету). Следовательно,   АВ =АС , <3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.
Теоремы
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду  пополам.		Дано: диаметр АВ перпендикулярен к хорде СD                       Доказать: СЕ = ЕD	Соединим точки С и D с центром окружности О. В равнобедренном  треугольнике  СОD отрезок ЕО является высотой, проведённой из вершины О на основание СD; следовательно, ОЕ является и медианой и биссектрисой, т. е. СЕ = ЕD
Если диаметр делит хорду пополам, то он перпендикулярен этой хорде.		Дано: окружность (O;R), AB — диаметр, CD — хорда, CD ∩ AB=P, CP=PD. Доказать: СD АВ	Соединим концы хорды CD с точкой O — центром окружности. Так как OC=OD (как радиусы), то треугольник COD — равнобедренный с основанием CD. Так как CP=PD, то OP — медиана треугольника COD, проведённая к основанию. По свойству равнобедренного треугольника, OP является также его высотой. Следовательно, СD ОР, а значит, и СD АВ                                                                  Что и требовалось доказать.

Описанная и вписанная окружности
Описанная окружность	Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника	определение
	Если окружность описана около треугольника, то треугольник вписан в окружность.	следствие
	Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну	Теорема
	Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке	свойства
	Центр окружности, описанной около треугольника - это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон	свойства
	Расстояние от любой вершины треугольника до центра описанной окружности равно радиусу этой окружности.	определение
	Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, лежит внутри треугольника.	определение
	Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.	определение
	Если центр окружности, описанной около треугольника принадлежит его стороне, то треугольник - прямоугольный	следствие
	Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника (напротив тупого угла, за большей стороной).	определение
	Центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на медиане (высоте, биссектрисе), проведенной к его основанию	определение
	Центр описанной окружности равностороннего треугольника является точкой пересечения его биссектрис	определение
Вписанная окружность	Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон	определение
	Если окружность вписана в треугольник, то треугольник описан около окружности	следствие
	В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну	Теорема
	Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке	свойства
	Центр окружности, вписанной в треугольник, - это точка пересечения его биссектрис	свойства
	Отрезки соединяющие центр вписанной окружности с точками касания, перпендикулярны сторонам треугольника (как радиусы, проведенные в точку касания)	свойства
	Вписанная в треугольник окружность делит стороны треугольника на 3 пары равных отрезков (как отрезки касательных, проведенные из одной точки).	свойства
Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник	определяется по формуле, где r – радиус вписанной окружности,  а и b - катеты,  c - гипотенуза	формула
	Центр вписанной окружности равнобедренного треугольника лежит на медиане (высоте,биссектрисе), проведенной к его основанию	определение

Определения и свойства
Тема: Точки и прямые
Точка	Самая простая геометрическая фигура	определение
Прямая	Геометрическая фигура,обладающая определенными свойствами	определение
Свойство прямой	Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну	аксиома
Пересекающиеся прямые	Две прямые, имеющие общую точку	определение
	Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку	теорема
Перпендикулярные прямые	Две прямые, при пересечении которых образовался прямой угол	определение
Перпендикулярные отрезки	Два отрезка, лежащие на перпендикулярных прямых	определение
Теорема о единственной прямой перпендикулярной данной	Через каждую точку прямой проходит только одна прямая, перпендикулярная данной	теорема
Тема: Отрезок и его длина		определение
Отрезок	Часть прямой, ограниченная с двух сторон	определение
Равные отрезки	Отрезки, которые можно совместить наложением	определение
Единичный отрезок	Любой отрезок, с помощью которого измеряют длину (1см, 1мм, 3см, 5 клеток…)	определение
Свойство длины отрезка	Если точка С является внутренней точкой отрезка АВ, то отрезок АВ равен сумме отрезков АС и СВ, т.е. АВ=АС+СВ	аксиома
Длина отрезка	Растояние между точками А и В называют длину отрезка. Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю	определение

Середина отрезка	Серединой отрезка АВ называют такую точку С, что АС=СВ	определение
Тема: Луч. Угол. Измерение углов
Луч или полупрямая	На прямой поставим точку О. Эта точка О разбивает прямую на два луча с началом в точке О	определение
Дополнительные лучи	Два луча, лежащие на одной прямой и имеющие общее начало	определение
Угол	Два луча, имеющие общее начало. Лучи - стороны угла, точка начала - вершина угла	определение
Развернутый угол	Угол, стороны которого являются дополнительными лучами	определение
Равные углы	Углы, которые можно совместить наложением	определение
Биссектриса угла	Луч, с началом в вершине угла, делящий этот угол на два равных угла	определение
Острый угол	Угол, градусная мера которого меньше 90◦	определение
Прямой угол	Угол, градусная мера которого равна 90◦	определение
Тупой угол	Угол, градусная мера которого больше 90◦, но меньше 180◦	определение
Свойство величины угла	Если луч ОС делит угол АОВ на два угла АОС и СОВ, то ∟АОВ=∟АОС+∟СОВ	аксиома
Смежные углы	Углы, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами	определение
Смежные углы	Сумма смежных углов равна 180◦	свойство
Вертикальные углы	Два угла, отличные от развернутого, называют вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами другого	определение
Вертикальные углы	Вертикальные углы равны	свойство
Тема: Треугольники
Треугольник	Часть плоскости, ограниченная с трех сторон отрезками	определение
Периметр	Сумма длин всех сторон	определение
Остроугольный треугольник	Все углы острые	определение
Прямоугольный треугольник	Один угол - прямой	определение
Тупоугольный треугольник	Один угол - тупой	определение
Равные треугольники	Треугольники, которые можно совместить наложением	определение
Свойство равенства треугольников	Для данного треугольника АВС и луча А1М существует треугольник А1В1С1, равный треугольнику АВС, такой, что АВ=А1В1, ВС =В1С1, АС=А1С1, и сторона А1В1 принадлежит лучу А1М, а вершина С1 лежит в заданной полуплоскости относительно прямой относительно прямой А1М	свойство
Равные фигуры	Фигуры, которые можно совместить наложением	определение
Высота треугольника	Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону	определение
Медиана треугольника	Отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны	определение
Биссектриса треугольника	Отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны	определение
Серединный перпендикуляр	Прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину	определение
Равнобедренный треугольник	Треугольник, у которого две стороны равны	определение
Равносторонний треугольник	Треугольник, у которого все стороны равны	определение
Разносторонний треугольник	Треугольник, у которого длины всех сторон различны	определение

Как определить, что перед вами равнобедренный треугольник
1) Если в треугольнике две стороны равны, то он равнобедренный	Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием равнобедренного треугольника. Вершина равнобедренного треугольника — это та вершина, которая лежит напротив основания. Угол, лежащий напротив основания — угол при вершине равнобедренного треугольника. Два другие угла — углы при основании равнобедренного треугольника. Виды равнобедренных треугольников: 1)                остроугольный — все углы острые; 2)                прямоугольный — угол при вершине — прямой (при основании — острые); 3) тупоугольный — угол при вершине — тупой (при основании — острые); 4) равносторонний — все стороны равны и все углы равны.	по определению
2) Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный		по признаку
3) Если в треугольнике совпадают: — медиана и высота; — биссектриса и высота; — медиана и биссектриса,  то этот треугольник — равнобедренный		по признаку
4) О том, что треугольник равнобедренный, известно из условия.

	Параллельные прямые
	Если две прямые не пересекаются, то они	определение
	Две прямые перпендикулярные третьей прямой, параллельны	Теорема
	Через данную точку М, не принадлежащую прямой а, можно провести прямую b, параллельную прямой а	следствие
Основное свойство параллельных прямых	Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной	аксиома
	Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны	Теорема
	Если две прямые  а и b пересечь третьей прямой с, то   прямая  с называется секущей по отношению к прямым  а и  b.	определение
	Если две прямые  а и b пересечь третьей прямой с, то  образуются 8 углов:
	накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;	определение
	односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;	определение
	соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.	определение

Признаки параллельности двух прямых
1 Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.		Дано: прямые а и b, секущаяАВ,∠1 и ∠2 накрест лежащие, ∠1=∠2.   Доказать: а ǁ b	1  случай                                                                      Предположим, что    ∠1 = ∠2 =  90º , т.е. эти углы прямые, получим а⊥АВ, b⊥АВ ,  следовательно    а ǁ b (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны).                            2  случай                                                                      Предположим, что ∠1 и ∠2  не прямые.  Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой . На прямой  от точки В отложим отрезок ВН1 такой, что ВН1 = АН и проведем отрезок ОН1.                               Получим Δ ОНА= ΔОН1В по 1 признаку равенства треугольников (по построению ВН1=АН,АО=ОВ, так как О-середина  АВ, ∠1=∠2 по условию, следовательно,  ∠3=∠4     ∠5=∠6.                                                                       Из равенства  ∠3=∠4  следует, что точка Н1 лежит на продолжении луча ОН, т.е. точки О, Н и Н1 лежат на одной прямой,  а из равенства ∠5=∠6 следует, что ∠ 6 - прямой, также как и ∠5 (т.к по построению ОН⊥а ).                                Получаем, НН1⊥а и НН1⊥b, значит а ǁ b (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны). Что и требовалось доказать.
2 Если при пересечении двух прямых секущей  сумма односторонних    углов равн а 180◦, то прямые параллельны.		Дано: прямые а и b, секущаяАВ,   ∠1 и ∠2 односторонние, ∠1+∠2=180◦.           Доказать: а ǁ b	Углы 3 и 2 - смежные, значит по свойству смежных углов ∠3+∠2=180◦, откуда ∠3= 180◦ - ∠2, при этом ∠1+∠2=180◦, откуда ∠1= 180◦ - ∠2. Тогда ∠3=∠1,  а углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно а ǁ b (смотри теорему 1)                 Что и требовалось

					доказать.
3 Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.				Дано: прямые а и b, секущаяАВ, 1 и 2 соответственные, 1= 2.                     Доказать: а ǁ b	По условию 1= 2,  3= 2 т.к.они вертикальные, откуда 1= 3, при этом углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно а ǁ b (смотри теорему 1)                                                    Что и требовалось доказать.
Теоремы о свойствах параллельных прямых
1 Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны				Дано: а ǁ b            Доказать: накрест лежащие  1= 2.	1)Допустим, что  1 ≠ 2;                                        2)Отложим от луча MN PMN =  2, так чтобы   PMN и  2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых MP и b секущей MN;  3)По построению эти накрест лежащие углы равны, поэтому  MP ǁ b.                                           4)Мы получили, что через точку М проходят 2 прямые параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых.      5)Значит, наше допущение неверно и 1 = 2
2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны				Дано: а ǁ b            Доказать: соответственные  4= 2.	3= 2 т.к.они накрест лежащие                              3= 4 т.к.они вертикальные                                   Следовательно 4= 2.
3 Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма ОДНОСТОРОННИХ углов равна 180◦.				Дано: а ǁ b            Доказать: сумма односторонних 1+ 2= 180◦.	3= 2 т.к.они накрест лежащие                              3 и 1 смежные, поэтому 1+ 3= 180◦               Следовательно  1+ 2= 180◦
Следствие из свойства параллельных прямых
Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой		Дано: а ǁ b    с а   Доказать: с b

Сумма углов треугольника Взаимосвязь углов и сторон треугольника
	Сумма углов треугольника равна 180◦	теорема
	Среди углов треугольника хотя бы два острые	следствие
Внешний угол	Угол, смежный с углом этого треугольника	определение
	Как построить внешний угол треугольника? Нужно продлить сторону треугольника.                                                                                                      На рисунке: 3 — внешний угол при вершине А, 2 — внешний угол при вершине С, 1 — внешний угол при вершине В.
	Сколько внешних углов у треугольника? При каждой вершине треугольника есть два внешних угла. Чтобы построить внешний угол при вершине треугольника, можно продлить любую из двух сторон, на которых лежит данная вершина. Таким образом получаем 6 внешних углов.                                                                                   Внешние углы каждой пары при данной вершины равны между собой (как вертикальные): 1= 4,  2= 5,  3= 6. Поэтому, когда говорят о внешнем угле треугольника, не важно, какую из сторон треугольника продлили.
	Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним	теорема
	Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним	следствие
Неравенство треугольника	Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон	теорема
Соотношение между углами и сторонами треугольника	В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, наоборот, против большего углалежит большая сторона	теорема

Прямоугольный треугольник
Катеты	Две стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол				определение
Гипотенуза	Противоположная прямому углу сторона				определение
Признаки равенства прямоугольных треугольников
по двум катетам	Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
по катету и гипотенузе	Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
по гипотенузе и острому углу	Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
по катету и прилежащему острому углу	Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
по катету и противолежащему острому углу	Если катет и противолежащий от него острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему от него острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
Свойства прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого катета
Если из одной точки, не лежащей на прямой, к этой прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной					следствие
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 300
Теорема о сумме углов треугольника
Сумма углов треугольника равна 180◦ Дано: ∆АВС            1) Через точку В проведем прямую BF, Доказать: параллельную прямой AC: BF∥AC.                  ∠А+∠В+∠С=180º. 2) ∠ACB=∠FBC (как внутренние накрест лежащие при BF∥AC и секущей BC).    3) ∠ABF=∠ABC+∠FBC.                                                   4) ∠ABF+∠CAB=180º(как внутренние односторонние при BF∥AC и секущей AB).       5) В последнее равенство заменяем ∠ABF на сумму ∠ABC+∠FBC: ∠ABF+∠CAB=∠ABC+∠FBC+∠CAB= ∠FBC заменяем на ∠ACB: =∠ABC+∠ACB+∠CAB=∠A+∠C+∠B=180º. Теорема о сумме углов треугольника доказана.
Теорема о внешнем угле треугольника
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним			Дано: ∆АВС, ∠1 — внешний угол при вершине С. Доказать: ∠1=∠А+∠В.	Так как сумма углов треугольника равна 180º, ∠А+∠В+∠С=180º. Следовательно, ∠С=180º-(∠А+∠В). ∠1 и ∠С (∠АСВ) — смежные, поэтому их сумма равна 180º, значит, ∠1=180º ∠С=180º-(180º-(∠А+∠В))=180º180º+(∠А+∠В)=∠А+∠В. Что и требовалось доказать.

Со	отношения между сторонами и углами треугольника
В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол;		1) Дано: ∆ ABC, AC>AB. Доказать: B> C.	Отложим на стороне AC отрезок AK: AK=AB. Так как AC>AB, то точка K лежит между точками A и C. Следовательно, ABC= ABK+ KBC, то есть ABC> ABK. Так как AK=AB, то треугольник ABK — равнобедренный с основанием BK. Значит, у него углы при основании равны: ABK= AKB. Для треугольника BCK  AKB — внешний.                     Поэтому AKB= KBC+ C, а значит, AKB> C. Имеем:
2) против большего угла лежит большая сторона.		2) Дано: ∆ ABC, B> C. Доказать: AC>AB.	(методом от противного). Предположим, что неравенство AC>AB — неверное. Тогда либо AC=AB, либо AC<AB. Если AC=AB, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC и у него углы при основании равны: B= C, что противоречит условию. По доказанному в пункте 1), против большей стороны лежит больший угол. Поэтому, если AC<AB, то B< C. Снова пришли к противоречию. Значит, выдвинутое нами предположение неверно. Следовательно, AC>AB. Что и требовалось доказать.

Признаки равенства прямоугольных треугольников
Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.		Дано: ΔABC, ΔA1B1C1, C=90°, C1=90°, AC=A1C1, BC=B1C1. Доказать: ΔABC= ΔA1B1C1	В треугольниках ABC и A1B1C1  1)  AC=A1C1; 2)  BC=B1C1; 3)   C= C1 (по условию). Следовательно, ΔABC= ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать.
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны		Дано: ΔABC, ΔA1B1C1, C=90°, C1=90°, BC=B1C1, AB=A1B1, Доказать: ΔABC= ΔA1B1C1	I.                   На луче BC с другой стороны от точки C отложим отрезок CD, CD=CB. Соединим точки A и D отрезком. На луче B1C1 с другой стороны от точки C1 отложим отрезок C1D1, C1D1=C1B1. Проведём отрезок A1D1. II.                 В треугольниках ACD и ACB:                                           1)                 ACD= ACB=90° (так как угол, смежный с прямым, прямой); 2)                 CD=CB (по построению);                                                 3)                 AC — общая сторона. Следовательно, ΔACD= ΔACB (по двум катетам).
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны		Дано: ΔABC, ΔA1B1C1, C=90°, C1=90°,        B= B1, AB=A1B1, Доказать: ΔABC= ΔA1B1C1	По условию, в треугольниках ABC и ΔA1B1C1: 1)  AB=A1B1; 2)   B= B1;                                                                              3)Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов,     то есть A= A1. Следовательно, ΔABC= ΔA1B1C1(по стороне и двум прилежащим к ней углам). Что и требовалось доказать.

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.		Дано: ΔABC, ΔA1B1C1, C=90°, C1=90°, BC=B1C1,  B= B1 Доказать: ΔABC= ΔA1B1C1	По условию, в треугольниках ABC и ΔA1B1C1: 1)                 BC=B1C1; 2)                  C= C1; 3) B= B1. Следовательно, ΔABC= ΔA1B1C1(по стороне и двум прилежащим к ней углам). Что и требовалось доказать.
Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.		Дано: ΔABC, ΔA1B1C1, C=90°, C1=90°, BC=B1C1, A= A1 Доказать: ΔABC= ΔA1B1C1	По условию, в треугольниках ABC и ΔA1B1C1: 1)  BC=B1C1; 2)   C= C1;                                                                              3)Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°,                то есть  B= B1. Следовательно, ΔABC= ΔA1B1C1(по стороне и двум прилежащим к ней углам). Что и требовалось доказать.