- 24.02.2015
- 9278
- 86
Выбранный для просмотра документ Spravochniy_material_Algebra_2Spravochniy_material_Algebra.doc
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Действия над многочленами
– (a + b
– c)x=–ax – bx + cx; (a + b
– c)(x + y)=ax + ay + bx + by – cx – cy
Дроби
;
; 
; 
; 
; 
Формулы сокращённого умножения
2= a2 ± 2ab + b2 (a ±
b)3 = a3 ± 3ab2 + 3a2b ± b3
a2 – b2 = (a–b)(a+b)
a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ± ab + b2)
Степени
Корни
Система двух уравнений первой степени
Квадратное уравнение
общего вида: с чётным 2–м коэффициентом
приведённое разложение трёхчлена на множители
теорема Виета для приведённого уравнения
Неравенства второй степени
|
D=b2–4ac |
a>0 |
график |
|
|
ax2 + bx + c>0 |
ax2 + bx + c<0 |
||
|
D>0 x1<x2 |
x<x1 x>x2 |
x1<x<x2 |
|
|
D=0 x1=x2 |
x<x1 x>x1 |
нет решений |
|
|
D<0 корней нет |
x |
нет решений |
|
Неравенства с переменной в знаменателе дроби
1. неравенство 
сводиться к системам: 2.неравенство 
сводится к системам:
1) 
2) 
1) 
2) 
ПРОГРЕССИИ
Арифметическая прогрессия
Общий член 
d – разность прогрессии, т.е. 
или 
Сумма n –
первых членов 
или 
Геометрическая прогрессия
Общий член 
где q – знаменатель прогрессии
сумма членов бесконечно
Свойства
геометрической прогрессии: 
убывающей прогрессии:
Сумма n –
первых членов 
или 
ЛОГАРИФМЫ
Логарифмом числа b по основанию a
называется показатель степени c, в которую нужно возвести основание a,
чтобы получилось число b. 
Основное логарифмическое тождество: 
Свойства логарифмов: 
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
;
ЗАМЕЧАНИЕ: все числа a , b , x , y – принимают положительные значения, а если они стоят в основании логарифма, то не равны единице.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. уравнения вида: 
1) при b<0,
уравнение решения не имеет
2) при 
3) при 
уравнение можно решить
логарифмируя по основанию а, 
2. уравнения вида: 
выражение, находящиеся
в скобках уравнения (2), является величиной постоянной; обозначим эту величину
буквой N, тогда уравнение (2) примет вид 
, при N ≠ 0 имеем: 
3. уравнение вида: 
(1) с помощью
подстановки 
обращается в обычное квадратное
уравнение 
, где y1 и y2
– корни. Далее решение уравнения (1) сводится к решению двух уравнений: 1) 
2) 
4. уравнение вида: 
легко привести к виду
уравнения (1) из 3.
разделив это уравнение на 
: 
С помощью подстановки 
, уравнение принимает вид: и сводится к решению двух уравнений: 1) 
2) 
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
1. 
1) при 
2)
при 
аналогично для неравенства 
.
2. для неравенства вида 
решение сводиться к
решению систем:
1) 
2) 
3) 
4) 
аналогично для неравенства: 
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
1. неравенство вида 
сводится к решению
одной из систем:
1) при a>1 
2) при 0<a<1 
аналогично для неравенства: 
2. неравенство вида 
сводиться к решению
двух систем:
1) 
2) 
аналогично для неравенства
ПРОИЗВОДНАЯ
значение производной функции в точке 
равно угловому коэффициенту касательной к
графику функции в этой точке. 
– уравнение
касательной к графику функции 
в точке 
ФОРМУЛЫ ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Определение 
Радианная мера углов 1радиан
= 1800/π ≈57,295779520;
10 = π/1800 радиан ≈ 0,001745 рад.
Знаки тригонометрических функций
|
|
sin α |
cos α |
tg α |
ctg α |
|
0< α <π/2 |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
π/2< α < π |
+ |
– |
– |
– |
|
π< α <3π/2 |
– |
– |
+ |
+ |
|
3π/2< α <2π |
– |
+ |
– |
– |
Значения функций характерных углов
|
радианы |
0 |
π/6 |
π/4 |
π/3 |
π/2 |
π |
3π/2 |
2π |
|
градусы |
00 |
300 |
450 |
600 |
900 |
1800 |
2700 |
3600 |
|
sin α |
0 |
½ |
√2/2 |
√3/2 |
1 |
0 |
–1 |
0 |
|
cos α |
1 |
√3/2 |
√2/2 |
½ |
0 |
–1 |
0 |
1 |
|
tg α |
0 |
√3/3 |
1 |
√3 |
∞ |
0 |
∞ |
0 |
|
ctg α |
∞ |
√3 |
1 |
√3/3 |
0 |
∞ |
0 |
∞ |
Формулы приведения. Чётность.
|
аргумент |
функция |
sin |
cos |
tg |
ctg |
|
–α |
–sinα |
cosα |
–tgα |
–ctgα |
|
|
π/2 ± α |
cosα |
|
|
|
|
|
π ± α |
|
–cosα |
|
|
|
Основные соотношения
sin2α + cos2α = 1; tgα · ctgα = 1; tgα = sinα/cosα = 1/ctgα; ctgα = cosα/sinα = 1/tgα;
1 + tg2α = 1/cos2α; 1 + ctg2α = 1/sin2α; secα = 1/cosα; cosecα = 1/sinα;
Периодичность
функции sinα и cosα имеют период 2π, а функции tgα и ctgα – период π.
sin(α + 2πn) = sinα, n
Z; cos(α + 2πn) = cosα, nZ; tg(α + πn) = tgα, nZ; ctg(α + πn) = ctgα, nZ;
Формулы для суммы и разности аргументов.
sin(α ± β) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ; cos(α ± β) = cosα · cosβ 
sinα · sinβ;
tg(α ± β) = (tgα ± tgβ) / (1 tgα · tgβ);
ctg(α ± β) = (ctgα · ctgβ 1) / (ctgβ ± ctgα);
Функции двойных углов
sin2α = 2sinα · cosα; cos2α = cos2α – sin2α = 1–2sin2α = 2cos2α – 1; tg2α = 2tgα / (1–tg2α);
ctg2α = (ctg2α – 1) / 2ctgα;
Функции половинного угла
sin(α/2)
= ± 
cos(α/2) = ± 
tg(α/2)
= ±
2sin2(α/2) = 1 – cosα; 2cos2(α/2) = 1 + cosα; sin2α = (1–cos2α) / 2
Функции полного угла
sinα = 2tg(α/2) / (1+ tg2(α/2)); cosα = (1–tg2(α/2)) / (1+tg2(α/2)); tgα = 2tg(α/2) / (1–tg2(α/2));
Функции тройного угла
sin3α = 3sinα – 4sin3α; cos3α = 4cos3α – 3cosα;
Произведения тригонометрических функций
sinα · cosβ = ½ · (sin(α + β) + sin(α – β)); cosα · cosβ = ½ · (cos(α + β) + cos(α – β));
sinα · sinβ = ½ · cos(α – β) – cos(α + β));
Сумма и разность тригонометрических функций
sinα + sinβ = 2 · sin((α + β)/2) · cos((α – β)/2); sinα – sinβ = 2 · sin((α – β)/2) · cos((α + β)/2);
cosα + cosβ = 2 · cos((α + β)/2) · cos((α – β)/2); cosα – cosβ = 2 · sin((α + β)/2) · sin((α – β)/2);
tgα
± tgβ = sin(α ± β) / (cosα · cosβ); cosα ± sinα = 
;
Тригонометрические уравнения
sinα
= a, α = (–1)n · arcsin a + π·n, nZ;
cosα = a, α = ± arccos a + 2π, nZ;
tgα
= a, α = arctg a + π·n, nZ; ctgα
= a, α = arcctg a + π·n, nZ;
Частные случаи
sin
x = ±1, x = ± π/2 + 2π, nZ; sin x = 0, x
= πn, nZ; cos x = –1, x = π + 2πn, nZ;
cos
x = 0, x = π/2 + πn, nZ; cos x = 1, x =
2πn, nZ;
Обратные тригонометрические функции отрицательного аргумента
arcsin(–α) = –arcsinα; arccos(–α) = π – arccosα; arctg(–α) = –arctgα; arcctg(–α) = –arcctgα;
ГЕОМЕТРИЯ
МЕТОД КООРДИНАТ
Пусть на (i, j, k) заданы 
,
тогда операции над ними будут равны:
; 
Пусть A ( x1; y1;
z1);
B (x2;
y2;
z2);
тогда:
вектор
; модуль вектора
ТРЕУГОЛЬНИК
внешний
угол СВД = 
; К – точка пересечения высот
(ортоцентр треугольника). ha, hb, hc – высоты треугольника на соответствующие
стороны.
где полупериметр 
.
М – точка
пересечения медиан треугольника (центр тяжести).
ma, mb, mc – медианы на соответствующие стороны. МВ:МД=МА:МЕ=МС:МК=2/1
Т – точка
пересечения биссектрис треугольника (центр вписанной окружности). La, Lb, Lc – биссектрисы соответствующих углов. ВМ:МС =
АВ:АС
r – радиус вписанной окружности. О – точка
пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр
описанной окружности). Радиус описанной окружности:
где SΔ – площадь треугольника; p – периметр треугольника; hc –
высота опущенная на соответствующую сторону с. На всех 4–х нарисованных треугольниках стороны одинаково обозначены, просто на 1–м они обозначены, а на остальных они опущены для упрощения рисунка. И вообще подразумевается, что все 4 треугольника абсолютно одинаковые.
MN – средняя линяя треугольника. MN=0.5AC; MN║AC.
ТЕОРЕМА СИНУСОВ
где R –
радиус описанной окружности.
ТЕОРЕМА
КОСИНУСОВ
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
где 
– длины сторон треугольника, а 
– высоты, опущенные на соответствующие стороны. 
– формула Герона.
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
тогда площадь 
ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
а и b – катеты, с – гипотенуза, ас и bc – проекции катетов на гипотенузу.
а2 + b2 = c2 – теорема Пифагора.
S= a·b/2 = c·hc/2; 
– радиус вписанной окружности.
R = c/2, –
радиус описанной окружности. 
sinA = a/c; cosA = b/c; tgA = a/b; ctgA = b/a; b2
= c·bc;
a = c·sinA = c·cosB = b·tgA = b·ctgB; c = a/sinA =
a/cosB = 2R;
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
ПРЯМОУГОЛЬНИК
РОМБ
КВАДРАТ
ТРАПЕЦИЯ
а и b – основания, h – высота
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
Длина окружности с =2πR. Площадь круга S = πR2 = πD2/4.
Длина дуги l = π·R·α/1800. Площадь сектора S = π·R2·α/3600.
где α – величина угла дуги в градусах.
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И КРУГ
Свойство вписанного четырёхугольника: 
ac + bd = ef, где a,b,c,d – стороны, e,f – диагонали.
Свойство описанного четырехугольника: a + c = b + d;
S = p·r, p – полупериметр.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Внутренний угол 
где n –
число сторон. an = 2R·sin(1800/n);
Sn = ½ ·n·an·r; Sn = ½ ·Pn·r; r = R·cos(1800/n);
ШЕСТИУГОЛЬНИК
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ПРИЗМА
Боковая поверхность наклонной призмы Sб.п. = P1·l, где P1 – периметр перпендикулярного сечения, l – ребро призмы. Боковая поверхность прямой призмы Sб.п. = Pосн ·l; Объём призмы Vпр=Sосн·h;
ПИРАМИДА
I. Если боковые рёбра пирамиды равнонаклонены к
плоскости основания (их длины равны), то высота проходит через центр окружности
описанной около многоугольника основания.
II. Если боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания (длины апофемы равны), то высота проходит через центр окружности, вписанной в многоугольник основания.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sб.пир.= ½ ·Pосн·ha , где ha – апофема.
Sб.пир.= Sосн /cosα , где α – угол наклона боковой грани к основанию.
Объём пирамиды: Vпир= ⅓·Sосн·h, где h – высота пирамиды.
Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды: Sбок= ½ ·(P1+P2)·ha , где P1, P2 – периметры оснований (верхнего и нижнего); ha – апофема.
Объём усечённой пирамиды: 
где Q1 и Q2 – площади оснований.
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
ЦИЛИНДР
Площадь боковой поверхности: Sбок =2·π·R·h; Площадь всей пов–ти: S=2·π·R·(R + h); Объём: V = πR2·h;
КОНУС
Площадь пов–ти конуса: боковой Sб=πrl; полной Sп=πr ·(r + l); где l – образующая. Объём: V=πr2h/3;
УСЕЧЁННЫЙ КОНУС
Площадь боковой пов–ти: Sб.у.к.= π·l·(R + r); Объём: V=⅓·π·h(R2 + r2 +Rr); угол развёртки: α=(R–r)/l;
ШАР
Площадь пов–ти сферы: Sсф=4πR2; Объём шара: Vш=4/3·πR 3;
ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Действия над многочленами
– (a + b – c)x=–ax – bx + cx; (a + b – c)(x + y)=ax + ay + bx + by – cx – cy
Дроби
; ; ; ; ;
Формулысокращённогоумножения
2= a2 ± 2ab + b2 (a ± b)3 = a3 ± 3ab2 + 3a2b ± b3 a2 – b2 = (a–b)(a+b)
a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ± ab + b2)
Степени
Корни
Система двух уравнений первой степени
Квадратное уравнение
общего вида: с чётным 2–м коэффициентом
приведённое разложение трёхчлена на множители
теорема Виета для приведённого уравнения
Неравенства второй степени
D=b2–4ac
a>0
график
ax2 + bx + c>0
ax2 + bx + c<0
D>0 x1
xx2
x1
D=0 x1=x2
xx1
нет решений
D<0 корней нет
x R
нет решений
Неравенства с переменной в знаменателе дроби
1. неравенство сводиться к системам: 2.неравенство сводится к системам:
1) 2) 1) 2)
ПРОГРЕССИИ
Арифметическая прогрессия
Общий член d – разность прогрессии, т.е. или
Сумма n – первых членов или
Геометрическая прогрессия
Общий член где q – знаменатель прогрессии сумма членов бесконечно
Свойства геометрической прогрессии: убывающей прогрессии:
Сумма n – первых членов или
ЛОГАРИФМЫ
Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени c, в которую нужно возвести основание a, чтобы получилось число b.
Основное логарифмическое тождество:
Свойства логарифмов: ; ; ; ;
; ; ; ;
ЗАМЕЧАНИЕ: все числа a,b,x,y– принимают положительные значения, а если они стоят в основании логарифма, то не равны единице.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. уравнения вида: 1) при b<0, уравнение решения не имеет
2) при
3) при уравнение можно решить логарифмируя по основанию а,
2. уравнения вида: выражение, находящиеся в скобках уравнения (2), является величиной постоянной; обозначим эту величину буквой N, тогда уравнение (2) примет вид , при N ≠ 0 имеем:
3. уравнение вида: (1) с помощью подстановки обращается в обычное квадратное уравнение , где y1 и y2 – корни. Далее решение уравнения (1) сводится к решению двух уравнений: 1) 2)
4. уравнение вида: легко привести к виду уравнения (1) из 3.
разделив это уравнение на : С помощью подстановки , уравнение принимает вид: и сводится к решению двух уравнений: 1) 2)
6 663 611 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Чумакова Юлия Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.