СТАРИННЫЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ И МЕТОДИКА ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ

СТАРИННЫЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ И МЕТОДИКА ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ

Выполнила: Шойдак А. А.,

учитель математики

Абакан, 2015 г.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………...……..3

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ……………………………………………………………………..…..6

1.1. Сведения из истории использования задач в России………………....6

1.2. Понятие арифметической задачи, ее структура и роль…………......11

1.3. Методы решения арифметических задач…………………………….14

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СТАРИННЫХ ПРИЕМОВ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ…………………………………………………...17

2.1. Сравнительный анализ действующих учебников математики 5-6 классов на предмет наличия в них старинных приемов решения задач..........17

2.2. Правило решения задач на совместную работу…………..................19

2.3. Старинный способ решения задач на смешение веществ…………..22

2.4. Тройное правило……………………………….…………………...…27

2.5. Проверка девяткой………………………………………….………....28

2.6.Методические рекомендации по использованию старинных приемов решения арифметических задач при обучении математике…………………..35

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….40

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ….……………………………………………………43 ПРИЛОЖЕНИЕ….………………………………………………………………45

ВВЕДЕНИЕ

Одним из вопросов методики преподавания математики является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач, так как обучение математике на протяжении всех лет сопровождается решением задач, начиная с задачи- картинки в первом классе и заканчивая решением сложной задачи, требующей особых приемов и достаточно тонких рассуждений, в старших классах.

Арифметические задачи в обучении математике в 5-6 классах занимают важное место: это и цель, и средство обучения. Умение решать задачи –показатель обученности и развития учащихся. Научиться решать математические задачи очень важно, так как, зная подходы к решению математических задач, учащиеся тем самым обучаются взаимодействию с любой задачей, которых достаточно много в других школьных предметах и в жизни вообще. Тем самым формируется жизненная позиция ученика как активной, самостоятельной личности. Функции задач в обучении математики таковы, каковы функции, цели обучения самой математики: воспитание, развитие, обучение молодого поколения. Отдельная задача может нести в себе различную информацию из различных областей знаний, расширять кругозор, воздействовать на познавательные возможности, может нести эстетическую нагрузку. А в целом воспитательное воздействие оказывает общий подход к решению задач: система задач, место, методы и формы ее решения, стиль общения учителя и учащихся и учащихся между собой при решении задач.

Значение арифметических задач в последние десятилетия недооценивалось. Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счёт более раннего введения уравнений и функций, методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени. Однако такие приемы решения арифметических задач как раз и готовят ребёнка к овладению алгеброй. А когда это произойдёт, то алгебра доставит ученику более простые, чем арифметические, способы решения некоторых задач.

 «Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Ещё два десятка лет в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики (конца 60-х годов) превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим», – писал академик В.И. Арнольд [2]. Чуть ли не с первого класса школьники приучались к алгебраическим методам. Понадобилось более двух десятилетий почти абсолютного господства алгебры, чтобы преподаватели признали: без арифметической опоры обучение математике оказывается малоэффективным. Страдает логическая культура учащихся, оказываются ущербными навыки владения математическим аппаратом, в том числе и алгебраическим. Одним из выходов из сложившейся ситуации может являться возвращение в практику школьного обучения задач, решаемых арифметическими методами. Богатейшая коллекция таких методов содержится в старинных приемах решения арифметических задач. Между тем, школьные учебники старинные приемы решения арифметических задач либо не содержат, либо объем исторического материала невелик. Таким образом, возникает необходимость исследования проблемы: как использовать старинные приемы решения арифметических задач при обучении математике учащихся 5-6 классов.

Всё вышесказанное подтверждает актуальность выбранной темы.

Объект исследования: процесс обучения математике учащихся 5-6 классов.

Предмет: использование старинных приемов решения арифметических задач при обучении математике учащихся 5-6 классов.

Цель: теоретически обосновать и разработать методику использования старинных приемов решения арифметических задач при обучении математике учащихся 5-6 классов.

В соответствии с целью были поставлены следующие задачи:

1)                 провести анализ учебной и методической литературы по теме;

2)                 показать преимущество арифметических способов решения задач перед алгебраическими;

3)                 обосновать возможность использования старинных приемов решения арифметических задач в 5-6 классах;

4)                 привести методические рекомендации по использованию старинных приемов решения арифметических задач при обучении математике учащихся 5-6 классов.

Методы исследования: изучение литературных источников, теоретический анализ и синтез, абстрагирование, конкретизация, обобщение, систематизация.

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанные нами методические рекомендации по использованию старинных приемов решения арифметических задач могут быть применены учителями в процессе обучения математике учащихся 5-6 классов.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, основной части (двух глав), заключения, списка литературы и приложения.

В первой главе даются определения арифметической задачи, ее структура, методы решения арифметическим способом, определяется роль задач в курсе математики, а также исторические сведения. Во второй главе сначала описываются старинные приёмы решения арифметических задач, а потом даются методические рекомендации по использованию этих приёмов при обучении математике 5-6 классов.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

1.1. Сведения из истории использования задач в России

Математика – широкое поприще идей, ее история знакомит нас с некоторыми из благороднейших помыслов неисчислимых поколений (Стройк Д.Я.) [29].

Мы должны всегда помнить, что математические понятия – не произвольные творения ума, а отражение реального, объективного мира, пусть часто в весьма абстрактном виде. Это объясняет, почему математики различных эпох могли понимать друг друга.

На математику оказывали влияние земледелие, торговля и промышленность, военное дело, инженерное дело и философия, физика и астрономия.

Без элементарных навыков счета и правил измерения нельзя было ни говорить, ни даже обмениваться продуктами. Сохранились летописные сведения о создании школ, которые утверждались правлением князей Владимира Святослава и Ярослава Мудрого.

В 1-м тысячелетии у славян появилось первая денежная единица – рубль, название которого сохранилось до сих пор. Наверное, первые рубли были просто кусочками металла, отрубленными от полосы серебра или меди. Но ведь для того чтобы разрубить такую металлическую полосу на равные

и вычитать числа. А это уже задачи.

При Иване Грозном, в XVI веке, на Руси были написаны первые учебники по математике, они были рукописными. Позднее появились печатные книги о применении математики для разных практических нужд: «Книга сошного письма» об измерении земельных участков, «Устав ратных, пушечных и иных дел, касающихся до воинской науки» и др.

В 1134 г. новгородский монах Кирик написал сочинение « … о том, как узнать человеку числа всех лет». Это самый древний, дошедший до нас письменный памятник славянской математики.

Рукопись Кирика свидетельствует о том, что славяне в то время отлично владели четырьмя действиями арифметики, а также свободно обращались с очень большими целыми числами и очень маленькими дробями.

В 1682 г. в Москве вышла первая не рукописная, а напечатанная в типографии книга по математике «Считание удобное, которым всякий человек, купующий и продающий, зело удобно изыскати может число всякия вещи». В этой книге, кроме руководств по решению различных практических задач, содержалась таблица умножения (до 100 на 100), записанная славянскими цифрами.

Особенно важную роль в развитии русской науки сыграла книга «Арифметика, или наука числительная», написанная Леонтием Филипповичем Магницким, изданная при Петре I, в 1703 г. В ней кроме арифметики были начала алгебры, геометрии, тригонометрии и даже немного мореходной астрономии. В те времена это была настоящая энциклопедия по математике. Великий русский ученый М.В.Ломоносов знал её наизусть и называл вместе с учебником грамматики «вратами своей учености».

Замечательной книгой Магницкого закончилась многовековая история древнерусской математики. С тех пор математика в России стала бурно развиваться, а способы арифметических вычислений постепенно приобрели современный вид [27].

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой – пристальное внимание обучающих к текстовым задачам — почти исключительно российский феномен.

Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило».

В давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и пр.). При этом учащие мало заботились о сознательном усвоении учениками того или иного способа действия. Считалось, что понимать-то едва ли нужно было. «Это ничего, что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать», — утешал, бывало, наставник своего питомца и рекомендовал не заноситься, а выучить наизусть все, что задают, и потом стараться применить это к делу. Так в 1923 г. В.Беллюстин описывал практику обучения решению текстовых задач [5].

Одна из причин заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоение ими определенного набора вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия арифметики — линия числа — еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи.

Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Немаловажную роль играло также приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России и им отводилось так много времени при обучении математике в школе.

К середине ХХ в. в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики этой методики обоснованно отмечали, что учителя, стремясь ускорить процесс обучения, разучивали с учащимися способы решения типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам. Они считали также, что в процессе обучения решению текстовых задач школьников учат способам действий, которые не применяются или почти не применяются в жизни.

Например, из программы 5 – 6 классов исключили задачи на совместную работу ввиду их «нежизненности»! «Убийственный» аргумент критиков утрированно можно сформулировать в виде вопроса: «Где вы видели трактористов, которые не знают площади вспаханного ими поля и должны решать задачу, чтобы определить время окончания работы?»

Здесь очень уместен вопрос: так ли были глупы китайцы, решавшие во II в следующую задачу: дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся? .

Спору нет, не все было гладко с обучением решению задач. Методика и школьная практика нуждались в совершенствовании. Это и предполагалось в ходе реформы школьного математического образования конца 60-х. Тогда считалось, что раннее введение уравнений позволит по-новому организовать  обучение решению задач, что учащимся будут показаны преимущества алгебраического способа решения перед арифметическим. В дальнейшем предполагалось предоставить право выбора способа решения самим учащимся. Это написано в объяснительной записке программе по математике для IV-V классов на 1971/72 учебный год.

Хотели как лучше, а получилось... как всегда, ибо на практике новые идеи реализовывались уже потому, что способ решения задачи выбирали не ученики, а авторы единственного тогда учебника. Традиционных старинных приемов решения задач больше не изучали. В самом начале IV (теперь V) класса учащихся ориентировали на решение задач с помощью уравнений. Теперь учителя разучивают со школьниками практически единственный способ решения задач (с помощью уравнения), но результаты обучения от этого не стали лучше.

Как известно, мышление пятиклассников еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений, и получает мало пользы для своего развития от работы с уравнениями. Мышление ребенка конкретно,  и развивать его надо в деятельности с конкретными объектами и величинами или их образами, чем мы и занимаемся при старинных приемах решения арифметических задач. А волноваться за формирование способов действий, не имеющих непосредственного приложения к рационализации производства и т. п., не следует.

Насколько противоестественным для процесса обучения и развития детей оказалось раннее использование уравнений, можно судить даже по методической аранжировке самых обычных задач. Вот две задачи из начальной школы.

«В тарелке лежали апельсины. Затем 7 апельсина съели, 5 осталось. Сколько лежало апельсинов? »

Решая ее, составили уравнение:

Ваня сказал: «Я своим пятнадцати одноклассникам раздал 30 карандашей, всем поровну. Угадайте, поскольку карандашей я дал каждому».

Как записать условие этой задачи с помощью буквы x и как найти число x?

Аналогичное указание «Решите с помощью уравнения задачу» находим в учебнике Н.Я. Виленкина.

«На столе лежали несколько тетрадей. Попозже положили еще 4 тетрадей, их стало 15. Сколько тетрадей лежало на столе?»

Совершенно очевидно, что использование уравнений при решении задач такого типа противоестественно и не способствует развитию представлений учащихся о применении четырех арифметических действий и уяснению взаимосвязи между ними. Более того, такая методика искусственно разделяет прямые и обратные арифметические операции: учащихся учат применять сложение и умножение, действуя непосредственно с известными величинами или составляя уравнения, а обратные операции — при решении этих уравнений.

Тем не менее «метод уравнений» на долгие годы стал единственным известным учащимся методом решения арифметических задач. Это привело к тому, что школьники не получали должного развития речи, умения анализировать текст задачи, ставить вопросы, отвечать на них, то есть они были лишены возможности лучше усвоить естественный язык – язык не только общения, но и обучения. Они не учились различать разнообразные типы взаимосвязей известных и неизвестных величин, вести поиск решения задачи, отталкиваясь от условий задачи или от поставленного вопроса. Они получили один единственный способ для решения разнообразных задач, который никак не могут освоить до сих пор [35].

Очевидно, что не стоило отказываться от арифметических способов решения, если они стимулируют учащихся к поиску более простых решений, если с их помощью можно создавать разнообразные ситуации, развивающие способности учащихся к рассуждениям. В то время, как применение уравнений не дает такого разнообразия.

1.2. Понятие арифметической задачи, ее структура и роль

Чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что они собой представляют.

Для текстовой арифметической задачи различные авторы предлагают следующие определения.

1. Арифметической задачей называют требование найти числовое значение некоторой величины, если даны числовые значения других величин и существует зависимость, которая связывает эти величины, как между собой, так и с искомой (Богданович М.В.) .

2. В окружающей нас жизни возникает множество таких ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними, – это задачи (Бантова М.А.) .

3. Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий (Моро М.И., Пышкало А.М.) .

4. Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого- либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между его компонентами или определить вид этого отношения (Стойлова Л.П., Пышкало А.М.) .

5. Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в ней (Фридман Л.М., Турецкий Е.Н.) [32].

6. Под текстовыми арифметическими задачами подразумевают задачи, имеющие житейское, физическое содержание и решаемые с помощью арифметических действий (Дрозд В.Л.) .

Таким образом, четкого определения текстовой арифметической задачи нет, вводится лишь её понятие, причем, по мнению Метельского Н. В., это понятие является первичным (неопределяемым). Он отмечает, что « задача – понятие неопределяемое и в самом широком смысле слова означает то, что требует исполнения, решения. Иногда под задачей понимают упражнение, которое выполняется, решается посредством умозаключения, вычисления и т.п. Последнее толкование термина «задача» ближе к понятию «задача в обучении», которую можно назвать дидактической задачей. Математическая задача в обучении … является также неопределяемым понятием, подчиненным понятию «дидактическая задача»» [20].

Эти задачи имеют и другие названия: текстовые, практические, аналитические (задачи на составление уравнений или систем уравнений), сюжетные и т. д.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса).

В условии сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требование задачи – это указание того, что нужно найти.

С точки зрения не математика хочется назвать простой задачу, которая кажется легкой в решении и, по этой ассоциации, кажется, что другие задачи будут сложными.

Однако математики делят задачи на простые и составные (сложные) по другому признаку: количеству выполняемых арифметических действий. Простой называют задачу, которая решается при помощи одного действия, а под составной понимают задачу, в решении которой используют два или более действий.

Можно кратко определить значение арифметических  задач в школьном курсе математики.  Работа над задачей:

– развивает логическое мышление;

– помогает осмысливать и закреплять вычислительные навыки;

– имеет большое жизненно-практическое и воспитательное значение.

А.В.Шевкин так определяет роль арифметических задач в курсе математики:

1. Арифметические задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач.

2. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

3. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учётом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учётом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью обратной задачи, то есть формулировать и развивать важные общеучебные умения.

4. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом к изучаемому предмету.

4.                 Обучение и воспитание ребёнка во многом напоминает этапы развития человечества, поэтому использование старинных задач и разнообразных арифметических способов их решения позволяет вести обучение математике в историческом контексте, что повышает мотивацию учения, развивает творческий потенциал [35].

Оказывается, как таковой, однозначного определения «арифметической задачи» нет. Под текстовой задачей я понимаю такую задачу, в которой речь идёт о реальных объектах, процессах (движение, работа, наполнение и освобождение бассейнов, покупки, смеси  и др.), связях и отношениях. Такой терминологии придерживается А. В.Шевкин, кандидат педагогических наук, автор учебников и учебно-методических пособий по математике [35].

1.3. Методы решения арифметических задач

Решить задачу – это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи.

Существуют различные методы решения задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и др. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Например, при арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами; при алгебраическом методе решения задач составляются уравнения, неравенства, системы уравнений; при геометрическом – строятся диаграммы или графики; решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма. Решить задачу логическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения, при практическом – находится ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями.

Арифметические задачи – традиционное название сюжетных задач, решаемых без составления уравнений, путём прямых рассуждений, вытекающих из анализа конкретной ситуации (такой метод решения называют «арифметическим»). Конечно, большинство сюжетных задач можно решить «алгебраически», но, как отмечает выдающийся российский математик Григорий Яковлевич Перельман, на начальном этапе обучения арифметический метод полезней [26].

Дело в том, что арифметический метод лучше приспособлен к стилю мышления большинства учащихся 5-6 классов: все проводимые рассуждения «предполагают совершенно наглядное и конкретное, осмысленное в области тех величин, о которых идет речь, истолкование».

Таким образом, арифметический метод прямо требует от ученика построения наглядной модели, что важно при дальнейшем облучении: опыт показывает, что лучше составляют уравнения те учащиеся, которые хорошо умеют решать задачи арифметически.

Запись арифметического решения задачи может быть выполнена по-разному [24]:

1. По действиям с ответом;

2. По действиям с пояснениями после каждого действия;

3. С вопросами перед каждым действием;

4. По действиям с предварительной записью плана;

5. Числовым выражением;

6. Схематической моделью;

7. Комбинированным способом, включающим в себя несколько вышеперечисленных.

Проиллюстрируем возможные способы записи арифметического решения задач на примере задачи о мешках с капустой: с первого участка было собрано 5 одинаковых мешков капусты, а со второго – три такие же мешки, причем с первого участка собрали на 30 кг капусты больше, чем с первого. Сколько килограммов капусты собрали с каждого участка?

1. Запись решения по действиям с ответом

1)

2)  

3)  

4)  

Ответ: с первого участка собрали 75 кг капусты, а со второго – 45 кг.

2. Запись решения по действиям с пояснениями после каждого действия

1)  – больше с первого участка;

2)  – масса одного мешка;

3) – собрали с первого участка;

4)  – собрали со второго участка.

Ответ: с первого участка собрали 75 кг капусты, а со второго – 45 кг.

3. Запись решения задачи с вопросом к каждому действию

1) На сколько мешков больше собрали с первого участка?

2) Какова масса одного мешка?

3) Сколько килограммов капусты собрали с первого участка?

4) Сколько килограммов капусты собрали со второго участка?

Ответ: с первого участка собрали 75 кг капусты, а со второго – 45 кг.

4. Запись решения задачи с планом решения

1) Узнать, на сколько мешков больше на 1 участке (вычитание).

2) Узнать массу 1 мешка (деление).

3) Узнать массу капусты, собранной с первого участка (умножение).

4) Узнать массу капусты, собранной со второго участка (умножение).

1)

2)  

3)  

4)  

Ответ: с первого участка собрали 75 кг капусты, а со второго – 45 кг.

5. Запись решения задачи при помощи числового выражения

Данная задача в записи решения будет иметь не одно, а два числовых выражения. Это связано с тем, что в задаче практически два вопроса, на каждый из которых нужно ответить.

1)

2)

Ответ: с первого участка собрали 75 кг капусты, а со второго – 45 кг.

Таким образом, в заключение этой главы отметим, что арифметические задачи всегда играли, и будут играть важную роль в образовании в России, так как они имеют большое практическое значение для всестороннего развития детей. Есть множество способов решить арифметическую задачу, но в 5-6 классах арифметический метод предпочтительнее, потому, что их мышление еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений, и что лучше составляют уравнения те учащиеся, которые .хорошо умеют решать задачи арифметически.

 

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СТАРИННЫХ ПРИЕМОВ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ

Обучение математике на протяжении всех лет сопровождается решением задач. Каждый учитель математики знает, что с помощью решения арифметических задач формируются различные математические понятия, осмысливаются различные операции с числами. Велика роль задач и в развитии логического мышления учащихся, в выработке умения устанавливать зависимость между величинами, делать правильные заключения.

Добиться этого можно лишь решая, большое количество задач на уроках математики в 5-6 классах. И основная задача учителя показать как можно больше разных способов решения одной задачи.

К сожалению, не все известные способы решения учителя используют на уроках. Причиной тому отсутствие времени на качественную подготовку к уроку.

В учебниках арифметики средних веков и последующих можно встретить много различных правил для решения задач того или иного типа. Говорится о 26 таких правилах, обычных для учебника арифметики, но в дошедших до нас старых учебниках можно найти их больше.

В нашей работе рассмотрены следующие правила решения: правила решения задач на совместную работу, на смешение веществ, проверка девяткой и тройное правило.

2.1. Сравнительный анализ действующих учебников

математики 5-6 классов на предмет наличия в них старинных приемов решения задач

Мы проанализировали действующие школьные учебники по математике для 5-6 классов на наличие в них старинных приемов решения арифметических задач:

1) Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. Учреждений / Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 6–е изд. – М.: Мнемозина, 2000 [9].

2) Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. Учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова. ­–­ М.: Просвещение,2001[12].

3) Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. Учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 2009 [22].

4) Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. Учреждений / И.И.Зубарева, А.Г. Мордкович. – 3-е изд., дораб. и испр. – М.: Мнемозина, 2004 [15].

5) Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. Учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 11-е изд., стереотип. – М.: Мнемозина, 2002 [10].

6) Математика: учеб.  для 6 кл. общеобразоват. Учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. под. ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина.– 9-е изд. – М.: Просвещение, 2007 [13].

7) Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. Учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.­– 6-е изд. –М.: Просвещение, 2008 [23].

8) Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват.  Учреждений / И.И.Зубарева, А.Г. Мордкович. – 3-е изд., дораб. и испр. – М.: Мнемозина, 2004 [16].

Выяснилось, что в этих учебниках старинные приемы решения арифметически задач  практически отсутствуют, кроме учебника С.М. Никольского. В этом учебнике используется правило решения задач на совместную работу.

Рассмотрим наиболее известные старинные приемы решения арифметических задач.

2.2. Правило решения задач на совместную работу

В задачах на совместную работу обычно какую - либо работу выполняют несколько человек или механизмов, работающих с постоянной для каждого из них производительностью. Работа понималась как единое целое. Единицу делили на сумму обратных величин времени, необходимого каждому участнику в отдельности для выполнения всего объема данной работы.

Рассмотрим несколько стандартных задач, которые можно решить не только с конкретными числами, но и в общем виде. Это позволит решить целый класс однотипных задач, отличающихся лишь числовыми данными.

Вот две задачи одного типа с различными сюжетами.

Задача 1. Через первый насос бассейн наполняется за 20 мин, через второй насос – за 30 мин. За сколько мин бассейн наполнится через оба насоса? [37].

Задача 2. Первый маляр может покрасить стены в большом здании за 20 дней, а второй – за 30 дней. За сколько дней выполнят эту работу оба маляра, если будут работать вместе? [37].

Каждую из этих задач можно решить по действиям:

В каждой из них получится свой ответ: «за 12 мин» или «за 12 дней» – в зависимости от вопроса и от того, в каких единицах измеряется время.

Сформулируем задачу «на бассейны» в общем виде.

Задача 3. Через первый насос бассейн наполняется за  мин, через второй насос – за  мин. За сколько мин бассейн наполнится через оба насоса? [37].

Решим задачу по действиям:

Тот же результат можно получить, выразив х из равенства

где х (ч) – время наполнения бассейна через оба крана. Ответ к задаче выражается формулой

Сформулируем новую задачу, будем по  и  искать. Получим задачу, обратную задаче 3.

Задача 4. Бассейн наполняется через два насоса за  мин, а через одного из них – за  мин. За сколько мин наполнится бассейн через другой  насос? [37].

В качестве примера такой задачи приведем старинную задачу.

Задача 5. (из арифметики Л.Ф.Магницкого). Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с женою выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за сколько дней жена одна выпивает такой же бочонок кваса? [18].

Решение.

Пусть муж и жена пили квас  дней. За это время они выпили 14 бочек кваса, а один муж – 10 бочек, значит, одна жена за то же время выпила  бочки. Тогда на одну бочку кваса она тратит  дней.

Вернемся к решению задачи 4. Из равенства

выразим :

Увеличим число «действующих лиц» в задачах 3 и 4.

Задача 6. Через первый кран бассейн наполняется за а мин, через второй кран – за b мин, через третий кран – за с мин. За сколько минут бассейн наполнится через три крана при их совместной работе? [37].

Составим формулу для решения задачи. Из равенства

получим формулу для решения:

Задача 7. Первый зайчонок съест морковку за один час, второй – за два часа, а третий – за три часа. За какое время эти три зайчонка вместе съедят такую же морковку? [25].

Согласно приведенному выше правилу находим:

2.3. Старинный способ решения задач на смешение веществ

Таким способом можно решать задачи на смешивание (сплавление) любого числа веществ. Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Л. Ф. Магницкого.

Рассмотрим задачи, охватывающие большой круг ситуаций – смешение товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот разной концентрации, сплавление металлов с различным содержанием некоторого металла и пр.

Задача 8 (из арифметики Л.Ф.Магницкого). У одного продавца были для продажи вино двух сортов. Первое ценою 10 гривен за ведро, второе же – по 6 гривен. Захотелось ему сделать из тех двух вин, взяв по части, третье вино, чтобы ему цена была по 7  гривен. Какие части надлежит из тех двух вин взять к наполнению ведра третьего вина ценою в 7 гривен? [18].

Современное ее решение может быть таким. Пусть для составления одного ведра требуемой смеси нужно взять  ведер I сорта () и  ведер II сорта. Первая часть вина стоит  гривен, а вторая  гривен. Составим уравнение:

откуда

гривен за ведро.

В старые времена такие задачи решали иначе. Сокращая текст, который у Л. Ф. Магницкого занимает большие страницы, старинный способ решения задач на смеси можно описать так.

Запишем цены вин каждого сорта и цену смеси так: друг под другом пишутся стоимости имеющихся вин, слева от них и примерно посередине – стоимость вина, которое должно получиться после смешения. Соединив написанные числа черточками, получим такую картину:

Вычислим прибыль  (меньшую цену вычтем из цены смешанного вина, и результат поставим справа от большой цены) и убыток  (из большей цены вычтем цену смешанного вина, а то, что останется, напишем справа от меньшей цены) на каждом ведре и запишем результаты по линиям:

Таким образом, 3 части из четырех приходится на более дешевое вино и 1 часть – на более дорогое, т.е. для  получения  одного ведра вина ценою

ведра вина стоимостью 6 гривен за ведро, то получим одно ведро вина стоимостью

что и требовалось.

Вовсе не случайно, что в старые времена отношения масс смешиваемых вещей находили таким образом. Но вряд ли все ученики, получавшие правильные ответы описанным способом, понимали тогда смысл выполняемых действий.

Рассмотрим решение задачи 8 в общем виде. Обозначим количества ведер смешиваемых вин через  и , а стоимости ведра вина первого, второго сорта и смеси ,  и  соответственно. Так как стоимость смеси равна сумме стоимостей смешиваемых частей, то будет выполняться равенство:

Тогда отношение взятых частей двух вин равно:

Заполним старинную схему, пользуясь введенными обозначениями, учитывая, что

Теперь понятно, почему эта схема давала правильные результаты.

Вот одна из современных задач на смещение: имеется два раствора 68% – ной и 78% – ной серной кислоты. Сколько надо взять каждого раствора серной кислоты, чтобы получить 100 граммов 70% – ного раствора серной кислоты? [37].

Решение.

По изложенному выше способу имеем:

Таким образом, надо взять 80 г. 68% – ного и 20 г. 78% – ного растворов серной кислоты.

Задача 9. Некто имеет чай трех сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смещать эти три сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт? [18].

Вот решение из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого:

Здесь предлагается взять  частей чая ценой по 5 гривен и по одной части чая ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Указанный Л.Ф. Магницким способ состоит в следующем. Надо метод, изложенный при решении задачи 8, применить два раза: первый раз, взяв вещества с наименьшей и наибольшей стоимостью, а второй раз с наименьшей и средней стоимостью. При этом будут найдены доли, в которых нужно смешивать вещества наибольшей и средней стоимостью (в приведенном примере 1 и 1). Сложив затем доли дешевого вещества, найденные в первый и во второй раз (6+2=8), получим долю дешевого вещества в общей смеси.

Полученные числа являются одним из ответов к задаче: в самом деле,

ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой

Возникает вопрос: единственное ли решение имеют задачи на смещение трех веществ?

Ясно, что задачи на смещение трех веществ могут иметь не единственное решение. В задаче 9 чай стоимостью 6 гривен за фунт можно получить, смешивая цейлонский и китайский чай в соотношении 6:1 (смесь I) или цейлонский и индийский чай в соотношении 2:1 (смесь II). Способ решения, приведенный в условии задачи 6, также приводит к цели. Ведь соединив две смеси стоимостью в 6 гривен за фунт( в первой – 6 частей цейлонского и и 1 часть индийского чая, во второй – 2 части цейлонского и 1 часть индийского чая), мы также получим смесь стоимостью в 6 гривен за фунт ( в ней будет 8 частей цейлонского, 1 часть китайского и 1 часть индийского чая). Соединяя смеси I  и II в любой пропорции, мы будем получать различные смеси ценой по 6 гривен за фунт. Причем любая смесь, отвечающая условию задачи, может быть так получена. Действительно, предположим, что смесь, составленная из  фунтов цейлонского,  фунтов индийского и  фунтов китайского чая, имеет цену 6 гривен за фунт. Тогда

или

.

Значит, эта смесь может быть получена соединением  фунтов смеси I и  фунтов смеси II, другими словами, смешением их в соотношении .

2.4. Тройное правило

Задачи, решаемые тройным правилом, составляли во все времена большую часть задач практической арифметики у всех народов. Величины, находящиеся в прямой или обратной пропорциональной зависимости друг от друга, человек встречает на каждом шагу и он по здравому смыслу решал задачи о значениях таких величин.

Способ решения задач на тройное правило приведением к единице известен в Индии. Вне Индии первые следы этого способа находим у Николаса Рабдаса в Смирне в его «Политической арифметике» (XIV в.). Византийские тексты XV в. называют тройное правило «пророчицей числительного искусства» .

Само название «тройное правило» имеет индийское происхождение (Брамагупта). Простейшие задачи на тройное правило решают Арьябхата (VI в.) и Брамагупта (VII в.). Шридхара и Бхаскара (XII в.) рассматривают и сложное тройное правило. Устанавливается правило письма данных в задачах, и после этого решение задач сводится к механическим умножениям и делениям.

Строкой называется тройное правило у старых авторов и Магницкого потому, что для механизации вычислений данные писались в строку. Для величин прямо пропорциональных следовало писать данные в одном порядке, для величин обратно пропорциональных – в другом.

Видоизменившись, это правило фактически присутствует в школе и по сей день.

Примеры:

За 2 рубля можно купить 6 ручек. Сколько ручек можно купить на 4 рубля? [1].

20 строителей могут построить здание в 30 дней. Сколько строителей могут построить тот же здание в 5 дней? [1].

Данные этих задач нужно записать в строку так:

В обоих случаях нужно перемножить второе и третье числа и произведение разделить на первое. Это правило и сообщается учащемуся.

Правильность механического решения зависит целиком от правильности записи данных задачи.

2.5. Проверка девяткой

Добравшись после утомительных трудов до желанного конца арифметического действия, предки наши считали необходимым непременно проверить этот в поте лица добытый итог. Громоздкие приемы вызывали естественное недоверие к их результатам. На длинном, извилистом пути легче заблудиться, чем на прямой дороге современных приемов. Отсюда естественно возник старинный обычай проверять каждое выполняемое арифметическое действие – похвальное правило, следовать которому не мешало бы и нам.

Любимым приемом проверки был так называемый способ 9 – очень изящный прием, который полезно и теперь знать каждому. Он нередко описывается в современных арифметических учебниках, особенно иностранных, но почему-то теперь малоупотребителен на практике, что, впрочем, не умаляет его достоинств.

Проверка девяткой основана на «законе остатков», гласящем: остаток от деления суммы на какое-либо число равен сумме остатков от деления каждого слагаемого на то же число; точно так же, остаток произведения равен произведению остатков множителей. С другой стороны, известно также, что при делении числа на 9 получается тот же остаток, что и при делении на 9 суммы цифр этого числа; например, 758 при делении на 9 дает 2, и столько же получается в остатке от деления (7+5+8) на 9. Сопоставив оба свойства чисел, мы и приходим к приему проверки девяткой, то есть делением на 9.

Пусть требуется проверить правильность сложения следующего столбца [26]:

Составляем в уме сумму цифр каждого слагаемого, причем в получающихся числах также складываем цифры (это делается в самом процессе сложения цифр), пока, в конечном результате, не получим однозначного числа. Результаты эти (остатки от деления на 9) записываем, как показано на примере,  рядом с соответствующим слагаемым. Складываем все остатки – получаем 8. Такова же должна быть сумма цифр итога (5339177), если действие выполнено верно: 5+3+3+9+1+7+7 после всех упрощений, равно 8 (точнее: «равноостаточно с 8»).

Докажем, что эта проверка действительно приводит к верному результату.

Допустим, что, найдя сумму нескольких чисел, мы хотим убедиться в правильности сделанных вычислений. Прибавим друг к другу все цифры слагаемых и получившееся число разделим с остатком на 9. Остаток запомним. После этого сложим цифры вычисленной суммы и результат разделим на 9. Если получившийся при этом остаток отличен от остатка, найденного ранее, то вычисления выполнены неверно – в них вкралась ошибка.

Доказательство.

Пусть, например,  и  – 2-значные числа, то есть , . Сложим все  цифры слагаемых и делим на 9:

,

где – остаток от деления. А теперь находим сумму цифр вычисленной суммы и также делим на 9:

.

Получили равные остатки . Таким образом, мы доказали, что проверка девяткой правильности сложения нескольких чисел действительно приводит к верному результату.

Аналогично можно проверить это правило и для n-значных чисел.

Пример. Предположим, что в результате сложения чисел 9873, 9837, 17 976 была получена сумма 38 686. Нет ли ошибки в вычислении?

Сумма цифр слагаемых равна, как легко видеть, 27+27+30=84. Остаток от деления этого числа на 9 равен 3. Складывая цифры вычисленной суммы, найдем 31. Это число при делении на 9 дает в остатке 4. Так как , то сумма найдена с ошибкой. И действительно, правильная сумма равна 37 686.

Этот способ проверки в случае совпадения остатков, конечно, не дает полной уверенности в том, что сумма найдена правильно. Если, например, ошибка состояла в том, что мы случайно поменяли в сумме цифры десятков и единиц, остатки совпадут, а результат будет ошибочным. Вместе с тем указанный способ проверки иногда довольно быстро позволяет установить наличие ошибки.

Проверка вычитания выполняется точно так же, если принять уменьшаемое за сумму, а вычитаемое и разность – за слагаемое. Например [26]:

4+6=10, то есть 1.

Докажем, что эта проверка действительно приводит к верному результату.

Доказательство.

Пусть, например,  и  – 2-значные числа,.

.

Сложим цифры уменьшаемого и поделим на 9:

,

где – остаток от деления . А теперь вычислим сумму цифр вычитаемого и разности:

.

Таким образом, мы доказали, что проверка девяткой правильности вычитания  нескольких чисел действительно приводит к верному результату.

Для n-значных чисел проверяется аналогично.

Не сложна и проверка умножения, как видно из следующего примера [26]:

Если при такой проверке умножения обнаружена будет ошибочность результата, то, чтобы определить, где именно ошибка находится, можно проверить способом девятки каждое частное произведение отдельно; а если здесь ошибки не окажется, надо проверить еще и сложение частных произведений. Такая проверка сберегает время и труд, конечно, только при умножении многозначных чисел; при малых числах проще заново выполнить действие.

Так же, как проверялось сложение, можно проверять и умножение. Допустим, что, перемножив два числа, мы хотим проверить правильность вычислений. Для этого найдем суммы цифр сомножителей, затем разделим полученные суммы на 9 с остатком. Найденные остатки перемножим, и получившееся число опять разделим на 9. Остаток после этого деления запомним. Затем найдем сумму цифр вычисленного произведения и разделим ее с остатком на 9. Если получившийся при этом остаток не равен остатку, запомненному ранее, то произведение вычислено неверно.

Доказательство.

Пусть, например,  и  – 2-значные числа,

.

,,

 и – остатки сумм цифр сомножителей.  – произведение остатков.

Найдем сумму цифр вычисленного произведения:

После преобразований поделим на 9:

.

Таким образом, мы доказали, что проверка девяткой правильности умножения нескольких чисел действительно приводит к верному результату.

Аналогично можно проверить это правило и для n-значных чисел.

Пример. Допустим, что после умножения числа 7373 на 4521 получилось произведение 33 334 333.

Сумма цифр первого сомножителя равна 20, а второго – 12. Эти числа при делении на 9 имеют остатки 2 и 3. Произведение остатков равно 6, остаток от деления 6 на 9 также равен 6. Вычислим теперь сумму цифр найденного произведения. Она равна 25. Разделив это число на 9, получим в остатке 7. Так как , то произведение вычислено с ошибкой.

Авторы старинных рукописей предлагали для удобства располагать результаты вычислений в вершинах креста [25].

У концов вертикальной черты ставятся остатки от деления на 9 сумм цифр сомножителей. У левого конца горизонтальной черты ставится остаток от деления на 9 произведения чисел, стоящих у концов вертикальной черты, а у правого конца горизонтальной черты – остаток от деления на 9 суммы цифр вычисленного произведения. Если у горизонтальной черты стоят разные числа, то произведение найдено с ошибкой. На рис. 1 показано, как будут стоять числа в разобранном выше примере.

Конечно, совпадение чисел у концов горизонтальной черты не означает, что результат найден верно. Если, например, ошибка состояла в том, что мы случайно поменяли в произведении цифры десятков и единиц, остатки совпадут, а результат будет ошибочным.

Проверка деления по этому способу требует маленького пояснения. Если имеем случай деления без остатка, то проверка производится, как и при умножении: делимое рассматривается как произведение делителя на частное. В случае же деления с остатком пользуются тем, что

делимое = делителю × частное + остаток.

Подобная проверка, без сомнения, не оставляет желать лучшей в смысле быстроты и удобства. Нельзя сказать того же о ее надежности: ошибка может и ускользнуть от нее. Действительно, ведь одну и ту же сумму цифр могут иметь разные числа; поэтому не только перестановка цифр, но иной раз даже и замена одних цифр другими остаются при такой проверке необнаруженными. Укрываются от контроля также лишние девятки и нули, так как они не влияют на сумму цифр. Всецело полагаться поэтому на такой прием проверки было бы неосмотрительно. Предки наши сознавали это и не ограничивались одною лишь проверкой с помощью девятки, но производили еще дополнительную проверку – чаще всего с помощью семерки. Этот прием основан на том же «правиле остатков», но не так удобен, как «способ девятки», потому что деление на 7 приходится выполнять полностью, чтобы найти остатки (причем легко возможны ошибки в действиях самой проверки). Две проверки – девяткой и семеркой – уже являются гораздо более надежным контролем: что ускользнет от одной проверки, то будет уловлено другою. Ошибка не обнаружится лишь в том случае, если разность истинного и полученного результатов кратна числу 7 × 9 = 63. Так как это все же случайно возможно, то и двойная проверка не может дать полной уверенности в правильности результата. Впрочем, для обычных вычислений, где ошибаются чаще всего на 1 или на 2 единицы, можно ограничиться только проверкою девяткой. Дополнительная проверка семеркой чересчур обременительна. Всякий контроль хорош только тогда, когда не мешает работе.

2.6.Методические рекомендации по использованию старинных приемов решения арифметических задач при обучении математике

Вопрос об использовании элементов истории в преподавании математики не новый. Еще в конце XIX  и в начале XX в. он обсуждался на съездах преподавателей математики.

В разное время ученые и методисты по-разному определяли цели введения элементов истории математики в преподавание в зависимости от общественного строя той или иной страны и общих задач школы. Однако общими почти всегда были и остаются поныне следующие цели:

1. Повышение интереса учащихся к изучению математики и углубление понимания ими изучаемого фактического материала.

2. Расширение умственного кругозора учащихся и повышение их общей культуры.

Одно сообщение сведений по истории математики далеко не всегда способствует достижению тех целей, о которых говорилось выше. Знакомство учеников с историей математики означает продуманное планомерное использование на уроках фактов из истории науки и их тесное сплетение с систематическим изложением всего материала программы. Лишь такое сплетение может способствовать достижению указанных целей.

Использовать «исторические» задачи и «старинные» способы их решения в работе со всеми учащимися  надо значительно шире, чем это делалось до сих пор. Это позволит разнообразить приемы решения задач, расширить представления школьников о способах их решения в далекие и не очень далекие времена, будет способствовать развитию школьников, формированию у них интереса к решению задач и к самой математике.

В учебниках «Математика 5» и «Математика 6» разных авторов задачи разных видов «разбросаны», не систематизированы ни по сложности, ни по приёмам решения. Очевидно, для того, чтобы разрушить формирующиеся стереотипы решения, разнообразить способы деятельности учащихся. Наиболее целенаправленно арифметический подход  к решению текстовых задач раскрывается в учебниках «Арифметика 5», «Арифметика 6» С.М. Никольского и «Математика 5», «Математика 6» Г.В. Дорофеева.

Учителю следует избегать от хаотичного предложения учащимся задач на разные темы, так как это каждый раз ставит в тупик наименее подготовленных из них. Вместо этого на каждой теме дать задачи от самых простых, доступных всем учащимся, до сложных и очень сложных. Эти последние не всегда могут быть решены самими учащимися, они рассчитаны на разбор решения под руководством учителя. Необходимо больше уделять внимания опорным задачам, выстроить определенную цепочку рассуждений, научить связывать порознь усвоенные приемы решения, комбинировать их при поиске решений новых задач. И только после того, как приём освоен и сформирован навык по его применению, его можно использовать и при решении составных задач разных видов. С помощью старинного приема решения задач на совместную работу решаются в 5 классе в главе «Дробные числа» задачи «на процессы», готовящие учащихся к решению задач «на совместную работу» или «на бассейны». А в 6 классе этим же приемом можно решить задачи «на бассейны» в главе «Обыкновенные дроби». Их старинный прием решения способствует  углублению понимания учащимися смысла дроби.

При обучении учащихся к решению задач на совместную работу с помощью их старинного приема  решения следует сначала научить решать опорные задачи, которые помогут “открыть” решение составных задач на совместную работу, например:

1) Бассейн наполняется за 3 ч. Какая часть бассейна наполняется за 1 ч? [31].

Решение:

пройдет весь путь? [31].

Решение:

солярки. Сколько солярки израсходовали? [36].

Решение:

бассейна. Какую часть бассейна наполняют оба крана за 1 час совместной работы? [36].

Решение:

 – наполняют обе трубы за 1 час.

5) Первый  дежурный может убрать класс за 20 мин, а второй дежурный за 30 мин. За сколько минут они могут убрать класс, работая вместе? [36].

Решение:

Примем всю работу за единицу.

работе оба дежурных за 1 мин;

Ответ: 12 мин.

Дети учатся находить сначала указанную часть величины, а потом, увеличивая или уменьшая эту величину на найденную часть, потом построение схематического рисунка к условию задачи и его использование при решении, устанавливается соответствие между задачами на работу и аналогичными задачами на движение.

Задачи на смеси и сплавы относятся к традиционным арифметическим и алгебраическим задачам, при решении которых учащиеся испытывают затруднения. Эти задачи постоянно присутствуют в конкурсных экзаменах. Задачи на смешение разбросаны по учебникам математики 5-6 классов, нет определенной главы на эту тему. Старинный прием их решения позволяет легче запомнить последовательность действий при решении задач на смешивание и добиться автоматизма при выполнении самих действий. Для решения задач на смеси и сплавы нужно уметь рассуждать и уметь решать задачи на дроби и проценты. Например, объясните значение высказываний: «Молоко имеет 1,5 % жирности» (в 100 г молока содержится 1,5 г жира) [10].

Что же касается использования задач на прямую и обратную пропорциональность в современных учебниках, то в учебнике Н.Я. Виленкина и др. прямой и обратной пропорциональным зависимостям отведен пункт 22. В следующих пунктах учебника время от времени встречаются задачи «на пропорцию», но их немного и большинство из них также легко решить без пропорций.

Задачи на тройное правило являются хорошим материалом для приложения знаний о пропорциональной зависимости. Не имея большого практического значения, они в то же время дают повод для рассуждений, в процессе которых устанавливается, какие величины даны в задаче, какая величина является искомой, в каком отношении искомая величина находится к остальным данным величинам.

Каждое вычисление громадных чисел целесообразно заканчивать проверкой девятки, так как проверка решения задачи или вычислений является моментом очень ценным для развития сознательности и самоконтроля. Часто учащиеся записывают ответ, не задумываясь.

Заметим также, что несложные задачи ученики могут решать устно, так как большое значение при закреплении знаний имеют устные упражнения. Такие упражнения также развивает правильную математическую речь. Учитель может требовать от ученика излагать полно и связно всякого рода объяснения и рассуждения при решении задач.

При работе с арифметической задачей нельзя пройти мимо вопроса о самостоятельном составлении задач учениками. При решении задач того или другого вида проверить качество усвоения вопроса можно такими заданиями: придумать задачу, в которой надо найти одну из трёх величин, скорость протекания процесса, время или продукт его сначала с одним объектом, а потом с несколькими. Придумать задачу, в которой требуется найти часть от числа, составить задачу на прямую пропорциональную зависимость и т.д. При этом вначале, следуя принципу «от простого к сложному»,  предлагаются задачи в одно действие. Необходимо избегать шаблона в этой работе, когда составляется слишком большое количество задач совершенно однотипных. Такая работа для учеников мало продуктивна.

Таким образом, мы показали, как ориентируясь на поставленные цели, можно проводить уроки с использованием старинных приемов решения арифметических задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задачи (в широком смысле этого слова) играют огромную роль в жизни человека. Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди и обстоятельства жизни, направляют всю его деятельность, всю жизнь. Мышление человека главным образом состоит из постановки и решения задач.

Изучая историю математики, как и вообще историю любой науки, учащиеся встречают примеры личностей, относящиеся к самым разнообразным эпохам, беззаветно преданных делу науки, отдающих ему всю свою жизнь. Изучение истории математики устанавливает связь математики, ее развития, с развитием других наук и общественных отношений, а это расширяет кругозор учащихся, вырабатывает у них философский подход к явлениям окружающего мира, учит их мыслить критически и, в конечном счете, дает сильный импульс к общему развитию учащихся.

В конце 60-х годов ХХ века старинные приемы решения арифметических задач посчитали анахронизмом и перешли к раннему использованию уравнений.  Но практика показала, что раннее введение этого перспективного (в смысле использования в дальнейшем обучении) способа решения задач без достаточной подготовки мышления учащихся малоэффективно.

В ходе выполнения выпускной квалификационной работы были решены поставленные задачи и получены следующие результаты и выводы:

1) Анализ действующих учебников по математике 5-6 классов, проведенный в ходе исследования, показал, что в них старинные приемы решения арифметических задач  практически отсутствуют, кроме учебника С.М. Никольского.

2) При решении арифметических задач в 5-6 классах чаще всего используется уравнение. Но мышление их еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений. На данном этапе обучения арифметические способы решения задач имеют преимущество перед алгебраическими потому, что результат каждого шага по действиям нагляднее и конкретнее, не выходит за рамки опыта учащихся. Школьники лучше и быстрее решают задачи по действиям, чем с помощью уравнений. Детское  мышление конкретно, и развивать его надо на конкретных предметах и величинах или их образах, чем мы и занимаемся при арифметическом решении задач, затем постепенно переходить  оперированию абстрактными образами.

3) В ходе исследования мы пришли к выводу, что действительно возможно применение старинных приемов решения арифметических задач на уроках, внеклассных занятиях учителями в процессе обучения математике учащихся 5-6 классов.

4) В существующих программах по математике нет конкретных указаний на то, какие старинные приемы решения арифметических задач из истории математики следует сообщать учащимся, в каких классах и в каком объеме. В выпускной квалификационной работе нами разработаны методические рекомендации по использованию старинных приемов решения арифметических задач на уроках.

Таким образом, можно заключить, что существует множество старинных методов решения задач. Естественно, все их виды рассмотреть невозможно. Использование арифметических задач и интересных разнообразных старинных приемов их решения не только обогащает опыт мыслительной деятельности (а именно, интеллектуальных способностей) учащихся, но и позволяет им развивать важное культурно-историческое наследие человечества, связанное с поиском решения задач. Это важный внутренний (связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками, поощрениями и т.п.) стимул к поиску решений задач и изучению математики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.                     Александров, И. И. Методы решений арифметических задач / И. И. Александров, А. И. Александров; под ред. И. К. Андронова. – М.: УЧПЕДГИЗ, 1953.

2.                      Арнольд, В. И. Избранное-60 [Текст] / В. И. Арнольд. – М.: ФАЗИС, 1997.

3.                     Баврин, И. И. Занимательные задачи по математике: Б- ка учителя математики / И. И. Баврин, Е. А. Фрибус.– М.: Гуманит. изд. центр. ВЛАДОС, 2003.– 208 с.: ил.

4.                     Бантова, М. А. Методика преподавания математики в начальных классах / М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова. – М.: Просвещение, 1984.

5.                     Беллюстин, В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики / В. И. Беллюстин. –  М.-Петроград, 1923.

6.                     Берёзкина, Э. И.  «Математика в девяти книгах» / Перевод и примечания Э. И. Березкиной //  Историко-математические исследования – М.: ГИТТЛ, 1957.  – № 10. – С. 439–584.

7.                     Богданович, М. В. Методика розв’язування задач у початковiй школi: Навч.посiбник. / М. В. Богданович. – 3-е вид., перероб. I допов. – К.:Вища шк., 1990.

8.                     Верещагин, И. Сборник арифметических задач для средних учебных заведений, мужских и женских / И. Верещагин. – 21-е изд.– М.-Петербург, 1908.

9.                      Виленкин, Н. Я. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин [и др]. – 6–е изд. – М.: Мнемозина, 2000.

10.                  Виленкин, Н. Я. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин [и др.]. – 11–е изд., стереотип. – М.: Мнемозина, 2002.

11.                  Депман, И. Я. История арифметики [Текст] / И. Я. Депман. – М.: КомКнига, 2006.

12.                  Дорофеев, Г. В. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. уреждений / Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова. – М.: Просвещение, 2001.

13.                  Дорофеев, Г. В. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгина.–9–е изд. – М.: Просвещение, 2007.

14.                 Дрозд, В. Л. Методика начального обучения математике: учеб. пособие для пед. ин-тов / В. Л. Дрозд, А. Т. Касатонова, Л. А. Латотин и др.; под общ. ред. А. А. Столяра, В. Л. Дрозда. – М.: Выш. шк., 1988.

15.                  Зубарева, И. И. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. – 3-е изд., дораб. и испр. – М.:Мнемозина, 2004.

16.                  Зубарева, И. И. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. – 3-е изд., дораб. и испр. – М.:Мнемозина, 2004.

17.                 Ляпин, С. Е. Методика преподавания математики в восьмилетней школе / С. Е. Ляпин, С. А. Гастева, Б. И. Крельштейн, М. М. Шидловская; под общ. ред. С. Е. Ляпина. – М.: Просвещение, 1965.

18.                  Магницкий, Л. Ф. Арифметика, сиречь наука числительная / Л. Ф. Магницкий. – М., 1703.

19.                 Мерлина, Н. И. История математики: Счет и фольклорные математические задачи чувашей: учеб. пособие для учащихся 5-11 классов / Н. И. Мерлина, М. В. Яковлева. – Чебоксары: Руссика, 2004. 64 с.

20.                 Метельский, Н. В. Дидактика математики: общая методика и ее проблемы: учеб. пособие для вузов / Н. В. Метельский. – 2-е изд., перераб. – М.: Изд-во БГУ, 1982.

21.                 Моро, М. И. Методика обучения математике в 1-3 классах / М. И Моро, А. М. Пышкало. – М.: Просвещение, 1975.

22.                  Никольский, М. К. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / С. М. Никольский [и др.]. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 2009.

23.                  Никольский, М. К. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / С. М. Никольский [и др.]. –6-е изд. – М.: Просвещение, 2008.

24.                 Овчинникова, М. В. Методика работы над текстовыми задачами в начальных классах (общие вопросы): Учебно-методическое пособие для студентов специальностей «Начальное обучение. Дошкольное воспитание» / М. В. Овчинникова. – К.: Пед.пресса, 2001.

25.                  Олехник, С. Н. Старинные занимательные задачи / С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко, М. К. Потапов. – М.: Дрофа, 2002.

26.                 Перельман, И. Я. Занимательная арифметика / Я. И. Перельман. – Л.: Время, 1926

27.                 Социальная сеть работников образования nsportal.ru [Электронный ресурс]. – http://nsportal.ru/npo-spo/obrazovanie-i-pedagogika/library/vkr-reshenie-tekstovyh-zadach-algebraicheskim-metodom.

28.                 Стойлова, Л. П. Основы начального курса математики / Л. П. Стойлова, А. М. Пышкало – М.: Просвещение, 1988.

29.                 Стройк, Д. Я. Краткий очерк истории математики. Пер. с нем./ Д. Я. Стройк – 5-е изд., испр.– М.: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит., 1990.– 256 с.

30.                  Талызина Н. Ф. Формирование общих приемов решения арифметических задач / Н. Ф. Талызина // Формирование приемов математического мышления. М., 1995.

31.                  Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» [Электронный ресурс] – http://festival.1september.ru/articles/633165

32.                  Фридман, Л. М. Как научиться решать задачи. / Л. М. Фридман, Турецкий Е. Н. – 3-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 1989.

33.                 Чистяков, В .Д. Сборник старинных задач по элементарной математике с историческими экскурсами и подробными решениями / В. Д. Чистяков – Минск, 1962.

34.                 Чулков, П. В. Арифметические задачи / П. В. Чулков – М.: МЦНМО, 2009.

35.                  Шевкин А. В. Текстовые задачи в школьном курсе математики./А. В. Шевкин // Математика, 2005 – №17-20.

36.                  Шевкин, А. В. Текстовые задачи: 5-6 кл. / А. В. Шевкин – М.: ИЛЕКСА, 2011.

37.                  Шевкин, А. В. Текстовые задачи: 7-11 кл.: учебное пособие по математике. / А. В. Шевкин – М.: «ТИД «Русское слово – РС»»,2003.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Фрагмент урока в 6 классе

«Старинный способ решения задач на смешение веществ»

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели и задачи урока:

- образовательная: обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание учащимися старинного способа решения задач на смешение веществ;

- развивающая: развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

-воспитательная: воспитание познавательного интереса к предмету математики и ее истории; воспитание самостоятельности при решении учебных задач.

Оборудование: мультимедийная презентация.

Используемые методы и приемы обучения:

наглядно-иллюстративные, словесные, практические.

План урока

I.                  Организационный момент (1 мин.)

II.               Актуализация знаний (8 мин.)

III.            Объяснение нового материала (15 мин.)

IV.            Первичное закрепление(16 мин.)

V.               Подведение итогов учебного занятия.(3 мин.)

VI.            Домашнее задание (2 мин.)

Ход урока

I. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята!

Тема сегодняшнего урока «Старинный способ решения задач на смешение веществ». Перед нами стоит задача познакомиться со «старинным способом решения задач на смешение веществ». Задачи на смешение веществ в дальнейшем будут встречаться часто, поэтому понимание данной темы очень важно. Давайте запишем в тетрадях число, классная работа, и тему сегодняшнего урока.

III. Объяснение нового материала

Существует старинный способ решения задач на смеси и сплавы. Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Л.Ф.Магницкого.

Леонтий Филиппович Магницкий был преподавателем Математико- навигацкой (мореходной) школы, организованной Петром I, согласно его указу от 14 января 1701 года. Настоящая фамилия Магницкого другая. Магницким он стал называться по приказанию Петра I, который был восхищён его знаниями, притягивавшими к себе всех любознательных подобно магниту.

 «Арифметика» Магницкого– первый в России учебная энциклопедия по математике под заглавием «Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на славянский язык переведённая и во едино собрана и на две книги разделена…Сочинися сия книга через труды Леонтия Магницкого».

 «Арифметика» Магницкого как учебник была в школьном употреблении почти до середины XVIII века.

Ну, теперь давайте посмотрим задачу из этого учебника и его решение.

Задача 1 (из арифметики Л.Ф.Магницкого). У одного продавца были для продажи масла двух сортов. Первое ценою 10 гривен за ведро, второе же – по 6 гривен. Захотелось ему сделать из тех двух масел, взяв по части, третье масло, чтобы ему цена была по 7  гривен. Какие части надлежит из тех двух масел взять к наполнению ведра третьего масла ценою в 7 гривен?

Решение.

Что такое гривен, ребята? (Это старинная российская денежная единица. Первоначально основной денежной единицей была гривна. 1 гривна=10 копеек).

В центре пишем  цену первого масла – 6. Под ним, отступя вниз, пишем цену второго масла. Слева, примерно посередине между верхней и нижней цифрами пишем стоимость желаемого масла. Соединяем три  цифры черточками.  Получим такую картину:

Меньшую цену вычтем из цены смешанного масла (7-6=1), и результат поставим справа от большой цены, из большей цены вычтем цену смешанного масла (10-7=3), а то, что останется, напишем справа от меньшей цены. Соединив черточками, получим:

Затем определяем соотношение полученных справа величин между собой. Мы видим, что рядом с ценой дешевого масла стоит цифра 3, а рядом с ценой дорогого масла – цифра 1. Это означает, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т. е. для получения масла ценою 7 гривен, нужно взять масла  в пропорции 1 к 3, т.е. дешевого масла должно быть втрое больше, чем дорогого масла.

А как проверить?

В самом деле, если взять  ведра масла стоимостью 10 гривен и   ведра масла стоимостью 6 гривен за ведро, то получим одно ведро масла стоимостью

что и требовалось.

Задача 2. Однажды в парикмахерской подошел ко мне мастер с неожиданной просьбой:

– Не поможете ли нам разрешить задачу, с которой мы никак не можем справиться?

– Уж сколько раствора испортили из-за этого! – добавил другой мастер.

– В чем задача? – осведомился я.

– У нас есть два раствора перекиси водорода: 30% и 3% . Нужно получить 12 % раствор. Не поможете ли нам  правильно подсчитать пропорции?

Как мы будем решать эту задачу?

Решение.

В центре пишем  концентрацию  первого раствора – 30 %. Под ним, отступя вниз, пишем концентрацию второго раствора – 3% или 0, 03. Слева, примерно посередине между верхней и нижней цифрами пишем концентрацию желаемого раствора – 12% или 0, 2. Соединяем три цифры чёрточками.

Меньшую концентрацию вычтем из концентрации смешанного раствора (0,12-0,03=0,09), и результат поставим справа от большой концентрации, из большей концентрации вычтем концентрацию смешанного (0,3-0,12=0,18), а то, что останется, напишем справа от меньшей концентрации.

Соединяем все отрезками и получаем «рыбку»:

Соотношение полученных величин – 0, 09 и 0,018 – составляет 1 к 2, т. е. первого раствора концентрацией 30 % надо взять в 2 раза меньше, чем 3%-го раствора.

IV. Первичное закрепление

Решают вместе с учителем на доске.

Задача 3. Торговец продает орехи двух сортов: одни по 90 центов, другие по 60 центов за килограмм. Он хочет получить 50 кг смеси по 72 цента за килограмм. Сколько для этого потребуется орехов каждого сорта?

Задача 4 (самостоятельно). Из двух сортов чаю составлено 32 фунта смеси; фунт первого сорта стоит 3 р., фунт второго сорта 2 р. 40 коп. Сколько фунтов взято от того и другого сорта, если фунт смешанного чаю стоит 2 р.85 коп.? 

Задача 5(самостоятельно). Сколько фунтов меди должно сплавить с 75-ю фунтами серебра 72-й пробы, чтобы составить серебро 64-й пробы?

Задача 6 (самостоятельно).. Имеется два куска сплавов, содержащих 40% и 60% олова. В каком отношении (по массе) нужно сплавить части этих кусков, чтобы получить сплав с 45%-ным содержанием олова?