Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Старинный способ решения задач на процентное содержание

Старинный способ решения задач на процентное содержание

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_7ae634ac.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifСтаринный способ решения задач на процентное содержание

(Н.Г.Зинина г.Арзамас)

На первом этапе основной школы на изучение темы «Проценты» отводится непродолжительное время. В это время учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. На последующих этапах обучения повторного обращения к этой теме не предусматривается. В учебниках встречаются задачи на проценты, но в них отсутствует компактное и чёткое изложение вопроса. Текстовые задачи включены в материал итоговой аттестации за курс основной и полной средней школы. Однако задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся, многие из них не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчёты в настоящее время необходимо каждому человеку: прикладное значение велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социальную и другие стороны нашей жизни. В данной работе я покажу применение математического аппарата к решению задач на процентное содержание старинным способом.

Существуют различные способы решения задач на процентное содержание или концентрацию. Сейчас я покажу арифметический способ решения таких задач, которым пользовались ещё в древности, поэтому его часто называют старинным.

Для решения задачи исследуем процесс изменения концентрации. Возьмём по 100 г каждого раствора и в соответствии с процентным составом разделим их содержимое на кислоту и воду:



5

95


40

60



Затем сравним исходные составы с тем, что должно получится после смешивания:



30

70


30


70



В результате сравнения приходим к выводу, что необходимо 25 г воды в первом растворе заменить кислотой, а 10 г кислоты во втором – водой. Так как мы можем оперировать растворами только с данными составами, напрашивается мысль об обмене 10 г кислоты из второго раствора на воду из первого.



5


10



30

10




вода

кислота

Результат взаимообмена:



5

15

10

70


30

70



Получили необходимый состав для 100 г второго раствора. Но в первом осталось ещё 15 г воды, которую нужно заменить кислотой. Где её взять? Возникает следующая идея: нужно взять ещё 100 г второго раствора, а за тем 50 г и выполнить те же действия. Окончательный результат выглядит так:









5

5

10

10

70

100г

30

10




30

5


30

10000


100 г

50 г

Таким образом, следует, что на каждые 100 г первого раствора необходимо взять 250 г второго, т. е. в отношение 10 : 25, обратном соотношению между недостатком и избытком кислот в исходных растворах.

После рассмотрения принципа взаимообмена весь процесс можно представить в таком виде:



5

5

10

10

70


30

10


Недостаток избыток



Рассмотренный способ является арифметическим. Его ценность определяется тем, что он рассчитан на образное мышление, а так же позволяет легче запомнить последовательность действий при решении задач на смешивание и добиться автоматизма при выполнении самих действий. Этот способ экономит время, по этому им часто пользовались купцы.[7]

Задача №1.

При смешивании 5% раствора кислоты с 40% раствором кислоты получили 140 г. 30% раствора. Сколько грамм каждого раствора было для этого взято?



Решение:

Теперь выведем схему для решения задач.

Пусть смешали х(г), а %-ного раствора кислоты hello_html_m3705ec13.gif(г), у(г) –

в %-ного раствора кислоты hello_html_1dd71319.gif(г).

Получили х+у(г), с %-ного раствора hello_html_m74288eba.gif, где a<c<в, если cили c<a, то задача неразрешима.

Уравнение:

hello_html_m1e8f6995.gif

ах + ву = сх + су

ву – су = сх – ах

у(в – с) = х(с – а)

hello_html_m4391aa58.gif

Это отношение составляет старинный способ решения задач.



а в - с

с Общий вид схемы

в с - а



5 10

30

40 25

Значит надо взять:

10 частей – 5 %-ного раствора

25 частей – 40 %-ного раствора

140 : (10 + 25) = 4(г) – 1 часть

4 × 10 = 40(г) – 5%

4 × 25 = 100(г) – 40%

Ответ: 40 г; 100 г.





Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Краткое описание документа:

На первом этапе основной школы на изучение темы «Проценты» отводится непродолжительное время. В это время учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. На последующих этапах обучения повторного обращения к этой теме не предусматривается. В учебниках встречаются задачи на проценты, но в них отсутствует компактное и чёткое изложение вопроса. Текстовые задачи включены в материал итоговой аттестации за курс основной и полной средней школы. Однако задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся, многие из них не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчёты в настоящее время необходимо каждому человеку: прикладное значение велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социальную и другие стороны нашей жизни. В данной работе я покажу применение математического аппарата к решению задач на процентное содержание старинным способом.

Автор
Дата добавления 13.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров318
Номер материала 278514
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх