1.
Докажите, что при любом натуральном n выражение n3 + 23n делится нацело на 6.
Решение (авторское).
Уточнение.
n3 + 23 n = n(n2 – 1 + 24) = n(n – 1)(n + 1) + 24n.
Числа n - 1, n и n + 1 являются последовательными натуральными числами, а поэтому, по
крайней мере, одно из них чётное и обязательно одно из них кратно трём, значит,
их произведение кратно 6. Число 24n кратно 6 для любого n. Из этого следует, что выражение n3 + 23n делится нацело на 6. Ч.т.д.
Второй способ.
Докажем с помощью метода математической индукции (алгебра, 9 класс,
п.29).
Утверждение верно при n = 1. Действительно, 13
+ 23·1 = 24 и 24 делится на 6.
Пусть утверждение верно при n = k, то есть пусть k3
+ 23k делится на 6. Докажем, что при n = k + 1 данное утверждение верно.
(k
+ 1)3 + 23 (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 23k +
23 = (k3 + 23k) + 3k2 + 3k + 24 = (k3 + 23k) +
3k(k + 1) + 24.
Слагаемое (k3 + 23k) делится на 6 по предположению, слагаемое 3k(k + 1) также делится на 6, т.к. оно делится на 3 и на 2, ведь числа k
и k + 1 являются последовательными
натуральными числами, а потому одно из них чётное. Число 24 кратно 6. Так как
каждое слагаемое суммы кратно 6, то и сумма кратна 6. Ч.т.д.
2.
Докажите, что для любых действительных чисел
хотя бы одно из уравнений имеет действительный корень.
Решение (авторское). Сложив дискриминанты всех трех квадратных трехчленов,
мы получим неотрицательную сумму (a – 1)2
+ (b – 1)2 + (c + 1)2, откуда следует, что хотя бы один из дискриминантов
неотрицателен.
Второй способ. Дискриминанты этих уравнений
равны соответственно
b2 – 2c + 1,
c2 – 2a + 1 и a2 – 2b + 1.
Если числа a, b и c неположительные, то
дискриминанты больше или равны нулю и все уравнения имеют действительные корни.
Пусть числа a, b и c положительные и пусть a ≥ b ≥ c. Тогда,
например, a2 – 2b
+ 1 ≥ b2 – 2b + 1 = (b - 1)2 ≥ 0, т.е. a2 – 2b + 1 ≥
0 и третье уравнение имеет действительные корни. Ч.т.д.
3.
Сколько нулей стоит в произведении всех
натуральных чисел от 10 до 25?
Решение (авторское).
4.
Сколькими нулями оканчивается 130! =
1·2·3·…·130?
Решение. Количество нулей равно количеству множителей, кратных 5, +
количество множителей, кратных 25, + количество множителей, кратных 125, т.е.
26 + 5 + 1 = 32.
Пояснение: 25 = 5·5, 125 = 5·5·5.
Ответ: 32.
5.
Известно, что 9x2 + 16y2 + 144z2 =
169. Найдите наибольшее возможное значение выражения 6x – 4y + 24z.
Решение. Выражение 6x – 4y +
24z принимает своё наибольшее значение, когда x и z принимают свои наибольшие значения, а y
- наименьшее. Выражение 9x2 + 16y2 + 144z2 является суммой квадратов, которая равна
169, поэтому каждое слагаемое суммы неотрицательное, из чего следует, что
наибольшее возможное значение каждого слагаемого равно 169.
Итак, xmax = , ymin
= , zmax = , max(6x – 4y + 24z) = .
Ответ: 65.
6.
Для скольких целых n число целое?
Решение. . Это выражение будет целым,
если число 6 будет делиться на n+7 нацело, а это возможно, когда n+7 равно ±4, ±2 и ±1, т.е. в 6 случаях.
Ответ: для 6.
Пояснение. Преобразовывая данную дробь в виде суммы, мы фактически
делили двучлен 2n + 20 на двучлен n + 7 (алгебра, 9 класс, п.16. Некоторые приёмы решения целых уравнений).
7.
Найти все натуральные значения n, при которых число является натуральным.
Решение. Выделим из данной дроби целую часть:
.
Так как число 14 имеет только четыре натуральных делителя (1; 2; 7 и
14), то данное выражение принимает натуральные значения, если 14 делится на (n + 1), то есть при n = 1; 6 и 13. (Заметим, что
равенство n + 1 = 1 в натуральных числах неразрешимо.)
Ответ: 1; 6 и 13.
8.
Решить неравенство
.
Решение. ОДЗ: х ≠ 1. Используя свойство модуля |A|
= |-A|, перепишем данное неравенство в виде:
.
Разделим многочлен х3 + х2 – 5х + 6 на двучлен х
– 1, получается х2 + 2х – 3 и остаток 3, это значит, что данное
неравенство равносильно неравенству .
Так как |A + B| ≤ |A| + |B| для любых А и В, то данное неравенство верно
для любого х из ОДЗ.
Ответ: х ≠ 1.
9.
При каких значениях параметра a уравнение x4 + 2x2 + 8
= a не имеет корней?
Решение. x4 + 2x2 + 1 = a – 7, (x2 + 1)2 = a – 7.
Это уравнение не имеет корней, если a – 7 < 1, то есть если a < 8.
Ответ: a < 8.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.