Инфоурок Математика СтатьиСтатья "Подготовка к олимпиаде""

Стать "Подготовка к олимпиаде""

Скачать материал

1.       Докажите, что при любом натуральном n выражение  n3 + 23n  делится нацело на 6.

Решение (авторское).

Уточнение.

n3 + 23 n = n(n2 – 1 + 24) = n(n – 1)(n + 1) + 24n.

Числа n - 1, n и n + 1 являются последовательными натуральными числами, а поэтому, по крайней мере, одно из них чётное и обязательно одно из них кратно трём, значит, их произведение кратно 6. Число 24n кратно 6 для любого n.  Из этого следует, что выражение n3 + 23n  делится нацело на 6. Ч.т.д.

 

Второй  способ.

Докажем с помощью метода математической индукции (алгебра, 9 класс, п.29).

Утверждение верно при n = 1. Действительно, 13 + 23·1 = 24 и 24 делится на 6.

Пусть утверждение верно при n = k, то есть пусть k3 + 23k делится на 6. Докажем, что при n = k + 1 данное утверждение верно.

(k + 1)3 + 23 (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 23k + 23 = (k3 + 23k) + 3k2 + 3k + 24 = (k3 + 23k) + 3k(k + 1) + 24.

Слагаемое (k3 + 23k) делится на 6 по предположению, слагаемое 3k(k + 1) также делится на 6, т.к. оно делится на 3 и на 2, ведь числа k и k + 1 являются последовательными натуральными числами, а потому одно из них чётное. Число 24 кратно 6. Так как каждое слагаемое суммы кратно 6, то и сумма кратна 6. Ч.т.д.

 

2.       Докажите, что для любых действительных чисел  хотя бы одно из уравнений имеет действительный корень.

 

Решение (авторское). Сложив дискриминанты всех трех квадратных трехчленов, мы получим неотрицательную сумму (a – 1)2 + (b – 1)2 + (c + 1)2, откуда следует, что хотя бы один из дискриминантов неотрицателен.

 

Второй способ. Дискриминанты этих уравнений равны соответственно

b2 – 2c + 1, c2 – 2a + 1  и  a2 – 2b + 1.

Если числа a, b и c неположительные, то дискриминанты больше или равны нулю и все уравнения имеют действительные корни.

Пусть числа a, b и c положительные и пусть abc. Тогда, например, a2 – 2b + 1 ≥ b2 – 2b + 1 = (b - 1)2 ≥ 0, т.е. a2 – 2b + 1 ≥ 0 и третье уравнение имеет действительные корни. Ч.т.д.

 

3.       Сколько нулей стоит в произведении всех натуральных чисел от 10 до 25?

Решение (авторское).

 

4.       Сколькими нулями оканчивается 130! = 1·2·3·…·130?

Решение. Количество нулей равно количеству множителей, кратных 5, + количество множителей, кратных 25, + количество множителей, кратных 125, т.е. 26 + 5 + 1 = 32.

Пояснение: 25 = 5·5, 125 = 5·5·5.

Ответ: 32.

 

5.       Известно, что 9x2 + 16y2 + 144z2 = 169. Найдите наибольшее возможное значение выражения 6x – 4y + 24z.

Решение.  Выражение 6x – 4y + 24z принимает своё наибольшее значение, когда x и z принимают свои наибольшие значения, а y  -  наименьшее. Выражение 9x2 + 16y2 + 144z2 является суммой квадратов, которая равна 169, поэтому каждое слагаемое суммы неотрицательное, из чего следует, что наибольшее возможное значение каждого слагаемого равно 169.

Итак, xmax = , ymin = , zmax = max(6x – 4y + 24z) = .

Ответ: 65.

 

6.        Для скольких целых n число  целое?

Решение. . Это выражение будет целым, если число 6 будет делиться на n+7 нацело, а это возможно, когда n+7 равно ±4, ±2 и ±1, т.е. в 6 случаях.

Ответ: для 6.

 

Пояснение. Преобразовывая данную дробь в виде суммы, мы фактически делили двучлен 2n + 20  на двучлен n + 7 (алгебра, 9 класс, п.16. Некоторые приёмы решения целых уравнений).

 

7.       Найти все натуральные значения n, при которых число  является натуральным.

Решение. Выделим из данной дроби целую часть:

.

Так как число 14 имеет только четыре натуральных делителя (1; 2; 7 и 14), то данное выражение принимает натуральные значения, если 14 делится на (n + 1), то есть при n = 1; 6 и 13. (Заметим, что равенство n + 1 = 1 в натуральных числах неразрешимо.)

Ответ: 1; 6 и 13.

8.       Решить неравенство

.

Решение. ОДЗ: х ≠ 1. Используя свойство модуля |A| = |-A|, перепишем данное неравенство в виде:

.

Разделим многочлен х3 + х2 – 5х + 6 на двучлен х – 1, получается х2 + 2х – 3 и остаток 3, это значит, что данное неравенство равносильно неравенству .

Так как |A + B| ≤ |A| + |B| для любых А и В, то данное неравенство верно для любого х из ОДЗ.

Ответ: х ≠ 1.

 

9.       При каких значениях параметра a уравнение  x4 + 2x2 + 8 = a  не имеет корней?

Решение. x4 + 2x2 + 1 = a – 7,  (x2 + 1)2 = a – 7.

Это уравнение не имеет корней, если a – 7 < 1, то есть если a < 8.

Ответ: a < 8.

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Статья "Подготовка к олимпиаде"""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Директор детского оздоровительного лагеря

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 626 985 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 19.09.2016 2765
    • DOCX 87.7 кбайт
    • Рейтинг: 5 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Мясникова Татьяна Федоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Мясникова Татьяна Федоровна
    Мясникова Татьяна Федоровна
    • На сайте: 8 лет и 5 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 105615
    • Всего материалов: 64

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Копирайтер

Копирайтер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Применение компьютерных моделей при обучении математике и информатике в рамках ФГОС ООО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 47 человек из 24 регионов

Курс повышения квалификации

Психолого-педагогические аспекты развития мотивации учебной деятельности на уроках математики у младших школьников в рамках реализации ФГОС НОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 154 человека из 51 региона

Мини-курс

Маркетинг в сфере услуг: от управления до рекламы

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 24 человека из 13 регионов

Мини-курс

ЕГЭ по биологии

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Сенсорная интеграция: типовые и инновационные методы

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 64 человека из 30 регионов