Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Стать "Подготовка к олимпиаде""

Стать "Подготовка к олимпиаде""

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

  1. Докажите, что при любом натуральном n выражение n3 + 23n делится нацело на 6.

Решение (авторское).

hello_html_m528a7e54.png

Уточнение.

n3 + 23 n = n(n2 – 1 + 24) = n(n – 1)(n + 1) + 24n.

Числа n - 1, n и n + 1 являются последовательными натуральными числами, а поэтому, по крайней мере, одно из них чётное и обязательно одно из них кратно трём, значит, их произведение кратно 6. Число 24n кратно 6 для любого n. Из этого следует, что выражение n3 + 23nделится нацело на 6. Ч.т.д.


Второй способ.

Докажем с помощью метода математической индукции (алгебра, 9 класс, п.29).

Утверждение верно при n = 1. Действительно, 13 + 23·1 = 24 и 24 делится на 6.

Пусть утверждение верно при n = k, то есть пусть k3 + 23k делится на 6. Докажем, что при n = k + 1 данное утверждение верно.

(k + 1)3 + 23 (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 23k + 23 = (k3 + 23k) + 3k2 + 3k + 24 = (k3 + 23k) + 3k(k + 1) + 24.

Слагаемое (k3 + 23k) делится на 6 по предположению, слагаемое 3k(k + 1) также делится на 6, т.к. оно делится на 3 и на 2, ведь числа k и k + 1 являются последовательными натуральными числами, а потому одно из них чётное. Число 24 кратно 6. Так как каждое слагаемое суммы кратно 6, то и сумма кратна 6. Ч.т.д.


  1. Докажите, что для любых действительных чисел хотя бы одно из уравнений hello_html_m35b44ee7.gifимеет действительный корень.


Решение (авторское). Сложив дискриминанты всех трех квадратных трехчленов, мы получим неотрицательную сумму (a – 1)2 + (b – 1)2 + (c + 1)2, откуда следует, что хотя бы один из дискриминантов неотрицателен.


Второй способ. Дискриминанты этих уравнений равны соответственно

b2 – 2c + 1, c2 – 2a + 1 и a2 – 2b + 1.

Если числа a, b и c неположительные, то дискриминанты больше или равны нулю и все уравнения имеют действительные корни.

Пусть числа a, b и c положительные и пусть abc. Тогда, например, a2 – 2b + 1 ≥ b2 – 2b + 1 = (b - 1)2 ≥ 0, т.е. a2 – 2b + 1 ≥ 0 и третье уравнение имеет действительные корни. Ч.т.д.


  1. Сколько нулей стоит в произведении всех натуральных чисел от 10 до 25?

Решение (авторское).

hello_html_22aefb61.png


  1. Сколькими нулями оканчивается 130! = 1·2·3·…·130?

Решение. Количество нулей равно количеству множителей, кратных 5, + количество множителей, кратных 25, + количество множителей, кратных 125, т.е. 26 + 5 + 1 = 32.

Пояснение: 25 = 5·5, 125 = 5·5·5.

Ответ: 32.


  1. Известно, что 9x2 + 16y2 + 144z2 = 169. Найдите наибольшее возможное значение выражения 6x – 4y + 24z.

Решение. Выражение 6x – 4y + 24z принимает своё наибольшее значение, когда x и z принимают свои наибольшие значения, а y - наименьшее. Выражение 9x2 + 16y2 + 144z2 является суммой квадратов, которая равна 169, поэтому каждое слагаемое суммы неотрицательное, из чего следует, что наибольшее возможное значение каждого слагаемого равно 169.

Итак, xmax = , ymin= , zmax = , max(6x – 4y + 24z) = .

Ответ: 65.


  1. Для скольких целых n число целое?

Решение. . Это выражение будет целым, если число 6 будет делиться на n+7 нацело, а это возможно, когда n+7 равно ±4, ±2 и ±1, т.е. в 6 случаях.

Ответ: для 6.


Пояснение. Преобразовывая данную дробь в виде суммы, мы фактически делили двучлен 2n + 20 на двучлен n + 7 (алгебра, 9 класс, п.16. Некоторые приёмы решения целых уравнений).


  1. Найти все натуральные значения n, при которых число является натуральным.

Решение. Выделим из данной дроби целую часть:

.

Так как число 14 имеет только четыре натуральных делителя (1; 2; 7 и 14), то данное выражение принимает натуральные значения, если 14 делится на (n + 1), то есть при n = 1; 6 и 13. (Заметим, что равенство n + 1 = 1 в натуральных числах неразрешимо.)

Ответ: 1; 6 и 13.

  1. Решить неравенство

.

Решение. ОДЗ: х ≠ 1. Используя свойство модуля |A| = |-A|, перепишем данное неравенство в виде:

.

Разделим многочлен х3 + х2 – 5х + 6 на двучлен х – 1, получается х2 + 2х – 3 и остаток 3, это значит, что данное неравенство равносильно неравенству .

Так как |A + B| ≤ |A| + |B| для любых А и В, то данное неравенство верно для любого х из ОДЗ.

Ответ: х ≠ 1.


  1. При каких значениях параметра a уравнение x4 + 2x2 + 8 = a не имеет корней?

Решение. x4 + 2x2 + 1 = a – 7, (x2 + 1)2 = a – 7.

Это уравнение не имеет корней, если a – 7 < 1, то есть если a < 8.

Ответ: a < 8.


Автор
Дата добавления 19.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров123
Номер материала ДБ-202612
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх