Статистика и теория вероятностей. Материалы для учителя на урок.

• 1 слайд

  Статистика и теория вероятностей
  

• 2 слайд

  В результате изучения курса алгебры обучающиеся должны:
  знать/понимать
  вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов;
  Уметь
  проводить несложные доказательства, получать простейшие следствия из известных или ранее полученных утверждений, оценивать логическую правильность рассуждений, использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для опровержения утверждений;
  извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;
  решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения;
  вычислять средние значения результатов измерений;
  находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;
  
  
  

• 3 слайд

  находить вероятности случайных событий в простейших случаях;
  использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
  выстраивания аргументации при доказательстве (в форме монолога и диалога);
  распознавания логически некорректных рассуждений;
  записи математических утверждений, доказательств;
  анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц;
  решения практических задач в повседневной и профессиональной деятельности с использованием действий с числами, процентов, длин, площадей, объемов, времени, скорости;
  решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов;
  сравнения шансов наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией;
  понимания статистических утверждений.
  

• 4 слайд

  УМК, количество часов, тематика.
  1.Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра. Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. М., «Просвещение», 2012.
  2.Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра. Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. М., «Просвещение», 2012.
  3.Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. М., «Просвещение», 2012.
  7 класс.
  Среднее арифметическое, размах и мода – 2 ч.
  Медиана, как статистическая характеристика – 2 ч.
  8 класс.
  Сбор и группировка статистических данных – 2 ч.
  Наглядное представление статистической информации – 2 ч.
  9 класс.
  Относительная частота случайного события – 2 ч.
  Вероятность равновозможных событий – 1 ч.
  

• 5 слайд

  МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РЕКОМЕНДАЦИИ
  

• 6 слайд

  Тема №1. Представление данных (таблицы, диаграммы)
  Основная идея. Таблицы применяются для упорядочивания большого количества числовых данных. При этом таблицы особенно удобны, когда имеется несколько характеристик одного объекта. Например, у одного поезда есть множество интересных пассажиру свойств – номер, категория, регулярность движения, время отправления и время прибытия. Диаграммы бывают разных видов. Они используются для наглядного представления данных. При этом диаграмма может не обеспечивать высокую точность, зато она позволяет быстро на глаз сравнивать величины между собой. Диаграмма лучше запоминается, чем таблица. Рассматриваются диаграммы трёх видов – столбчатая, круговая и диаграмма рассеивания.
  

• 7 слайд

  Тема №2.Описательная статистика и случайная изменчивость
  Основная идея. Познакомить учащихся с тем, как с помощью всего нескольких чисел можно составить представление о больших наборах чисел, описать их в среднем. В этом и заключается одна из главных задач описательной статистики. Дать представление о том, что точных величин в окружающем нас мире мало, что реальность полна изменчивости в самых разных проявлениях. Одновременно закладывается важная мысль, что в случайной изменчивости тоже могут быть свои закономерности. Отдельное внимание уделяется точности измерений (насколько точны должны быть измерения тех или иных изменчивых величин).
  

• 8 слайд

  Тема №3 .Введение в теорию вероятностей.
  Основная идея. Качественное описание случайных событий и их вероятностей. Дать представление о случайном опыте, о том, что такое вероятность и частота наступления события, о том, как они связаны.
  Тема №4 . События и вероятности.
  Основная идея. Развивать представление о случайном событии, приписывая каждому из них некоторую вероятность – численное выражение шансов на осуществление этого события, возможность прогнозирования событий на основе знания вероятностей. Осуществить переход от качественного описания событий к их математическому описанию. Ввести понятия: элементарные события, равновозможности, равновероятности и вероятности элементарных событий. Напомнить, что
  любое случайное событие требует условий, в которых оно может осуществиться;
  случайный опыт порождает случайные события, событие без опыта невозможно;
  в результате опыта наступает одно и только одно событие.
  Решение каждой задачи следует начинать с описания множества элементарных событий и благоприятствующих элементарных событий.
  

• 9 слайд

  Тема №5 . Элементы комбинаторики
  Основная идея. Дать учащимся различные способы описания всех возможных элементарных событий в различных типах случайного опыта. Познакомить учащихся с перестановками и факториалом числа, правилом умножения и числом сочетаний, построением треугольника Паскаля. Формулировки Комбинаторные задачи желательно формулировать на простых, понятных и запоминающихся примерах из жизни, а не в формальных терминах перестановок и сочетаний и т.п. Кроме того, полезно начинать знакомство с тем или иным комбинаторным правилом методом простого перебора и обращать внимание, что его можно использовать для поверки применяемой формулы, если перебор не велик.
  

• 10 слайд

  Тема №6 . Испытания Бернулли
  Основная идея. Схема испытаний Бернулли является не только относительно простой, полезной и распространённой на практике моделью однотипных повторяющихся независимых опытов с двумя возможными исходами. Она играет в теории вероятностей важную методическую роль, определяя алгоритм приближенного поиска вероятностей многих интересующих нас событий. Если учитель не сочтёт возможным касаться всех вопросов этой темы в основном курсе, а остановится только на самой схеме Бернулли, то он должен хорошо понимать, что здесь им закладывается основа для углубленного знакомства учащихся с теорией вероятностей. Сама по себе схема испытаний Бернулли объединяет целый ряд понятий и методов, введённых ранее. Это представление о множестве элементарных событий, понятие о независимости событий, правило умножения вероятностей, число сочетаний.
  

• 11 слайд

  Тема №7 . Геометрическая вероятность
  Основная идея. Познакомить учащихся с одним из возможных способов задания вероятности в специфическом классе задач. С методической точки зрения геометрическую вероятность иногда используют для формирования представления о более сложных событиях, событиях составленных из бесконечного множества элементарных событий. Однако на этом пути много сложностей, обсуждение которых в школьном курсе неуместно. Поэтому материал по этому вопросу занимает отчасти изолированное место в школьном курсе теории вероятностей и больше служит для повторения уже пройденного и закрепления навыков формализации текстовых вероятностных задач с помощью геометрических фигур. При обсуждении темы могут возникнуть некоторые трудности. Говоря о том, что элементарным событием в опыте выбора произвольной точки из фигуры является точка, учитель столкнётся с двумя проблемами. Число элементарных событий становится не только бесконечным, но и несчетным. А вероятность каждого отдельного элементарного события при этом равняется нулю. Отсюда вытекает, что вычисление вероятности события как суммы вероятностей составляющих его элементарных событий приводит к необходимости разрешения неопределённости типа «∞∙0». Геометрический способ задания вероятности событий в этом случае служит одним из возможных путей ответа на вопрос.
  

• 12 слайд

  Тема №8 . Случайные величины
  Основная идея. Данная тема в настоящее время не входит в образовательный стандарт, но без неё материал курса получается логически не завершённым. Значительная часть материала предыдущих тем уже подготовила учащихся к работе со случайными величинами.
  Тема №9 .Закон больших чисел
  Основная идея. На практике вероятности многих событий и случайных величин невозможно рассчитать, их можно узнать только экспериментальным методом, и для этого требуется свойство близости частоты и вероятности. С помощью минимума математических средств мы высказываем одну из основных идей, лежащих в основе современных исследований в естествознании и социальных науках: выборочный метод обследования позволяет не только получить содержательные результаты, но и оценить их точность.При этом объём выборки не зависит от численности обследуемой совокупности (группы населения, популяции животных или партии товара).
  

• 13 слайд

  Тема №10 .Бином Ньютона, треугольник Паскаля
  Основная идея. Эти темы не имеют непосредственного отношения к курсу теории вероятностей и статистики, они опираются на более высокий уровень формализма в записи выражений. Обращаться к этим темам стоит лишь после того, когда завершено прохождение материала по статистике и теории вероятностей. В этом случае появляется возможность показать, как содержательно используется этот материал в теории вероятностей.
  ,
  =
  В результате изучения данной темы обучающийся должен:
  знать алгоритм вычисления числа сочетаний
  формулу бинома Ньютона;
  понимать смысл биномиальных коэффициентов;
  иметь представление о треугольнике Паскаля.
  

• 14 слайд

  Анализ и решение данных задач можно осуществлять по следующей схеме:
  Уясните, в чем состоит рассматриваемое в задаче испытание.
  Обозначьте буквами события, рассматриваемые в условии
  задачи.
  С помощью введенных обозначений выразите событие, вероят­ность наступления которого необходимо найти.
  Если требуется найти вероятность суммы событий, выясните,
  совместны или несовместны рассматриваемые события. Если же
  требуется найти вероятность произведения событий, выясните,
  зависимы или независимы рассматриваемые события.
  Выберите соответствующую условию задачи формулу и вы­
  полните необходимые вычисления.
  

• 15 слайд

  Тема: Введение в теорию вероятностей.
  

• 16 слайд

  Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний, умений и навыков.
  Цели урока: познакомить с элементами теории вероятности и научить решать задачи на заданную тему.
  Д.З. предварительное : Определения теории вероятностей из книг, интернета.
  

• 17 слайд

  1.Организационный момент.
  Учащиеся рассаживаются по группам. Учитель приветствует учеников.
  2. Вводная беседа. Актуализация знаний.
  Задача. Студент при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что студенту достанется на экзамене выученный билет?
  Как вы понимаете, что такое «теория вероятностей»?
  Многие учащиеся класса при подготовке к нашему уроку показали своё стремление к самостоятельному изучению этой темы. Они просмотрели много книг, энциклопедических словарей, интернет и выбрали основные понятия теории вероятностей и вероятности вообще.
  

• 18 слайд

  Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
  Боровков, А. А. «Теория вероятностей»,
  М.: Наука, 1986.
  Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по данным вероятностям одних событий находить вероятности других событий, связанных каким-либо образом с первыми.
  Б.А. Введенский. Энциклопедический словарь. изд. «Большая Советская Энциклопедия». М.1955.
  

• 19 слайд

  Элементы теории вероятностей.
  Эксперимент (или опыт) заключается в наблюдении за объектами или явлениями в строго определенных условиях и измерении значений заранее определенных признаков этих явлений.
  Исходом (n) эксперимента называют значение наблюдаемого признака, полученного по окончании эксперимента. Каждый эксперимент заканчивается одним и только одним исходом.
  Событием (А), наблюдаемым в эксперименте, называют появление исхода, обладающего заранее указанным свойством.
  Эксперимент может закончиться появлением сразу нескольких событий, но он никогда не может закончиться появлением сразу нескольких исходов.
  Учитель: Поясните, пожалуйста, как вы это понимаете? Приведите примеры.
  

• 20 слайд

  Все события можно разделить на:
  а). Невозможные, которые в данных условиях произойти не могут.
  б). Достоверные, которые в данных условиях обязательно произойдет.
  в). Случайные, которые в данных условиях может произойти, а может и не произойти.
  г). Совместные и несовместные.
  д). Равновозможные и неравновозможные.
  е). Противоположные.
  ж). Зависимые и независимые.
   
  Учитель: Рассмотрим каждое событие отдельно при решении задач.
  

• 21 слайд

  Задача: Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным. Сегодня в Сочи барометр показывает нормальное атмосферное давление. При этом: 1). Вода в кастрюле закипела при t=800С, 2). Когда температура упала до -50С, вода в луже замерзла.
  

• 22 слайд

  Численное значение вероятности рассчитывается из классического определения, по которому вероятность равна отношению числа случаев, «благоприятствующих» данному событию, к общему числу «равновозможных» случаев. Математическую вероятность случайного события сопоставляют с частотой повторения этого события, т.е. имеется в виду следующее: при конечном числе n повторений заданных событий доля числа случаев m равна частоте m/n, которая, как правило, мало отличается от вероятности этого случая Р. Чем больше число повторений n, тем реже встречаются сколько-либо значительные отклонения частоты m/n от вероятности Р. Для пояснения этого обстоятельства рассмотрим пример подбрасывания монеты, в котором вероятность появления орла и решки одинаковы и равны 1/2. При десяти подбрасываниях (n = 10) появление десяти орлов или десяти решек очень мало вероятно. Но и утверждать, что орел выпадет ровно пять раз, нет достаточных оснований. Более того,
  утверждая, что решка выпадает 4, 5 или 6 раз, мы, все равно, сильно рискуем ошибиться. А вот при ста подбрасываниях монеты можно уже без риска заранее утверждать, что число выпавших орлов будет от 40 до 60.
  Учитель: Итак, запишем, как рассчитывается вероятность события.
  

• 23 слайд

  Если опыт, в котором появляется событие А, имеет конечное число n равновозможных исходов, то вероятность события А равна P (A) = m n , где
  m - количество исходов, при которых событие А появляется.
  Учитель: Вот теперь мы вернемся к решению задачи, которую я поставила перед вами в начале урока.
  

• 24 слайд

  Задача. Студент при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что студенту достанется на экзамене выученный билет.
  Решение. Общее число билетов n=25; выбор каждого билета равновозможен. Событие A- «студенту достанется на экзамене выученный билет»; количество благоприятствующих исходов m=25-1=24. Вероятность события A:
  
  
  .
  

• 25 слайд

  5.Решение задач в группах.
  Учитель: А теперь перейдем к работе в группах. Ваша задача: решить задачи, оформить их в тетрадях, провести эксперимент и рассказать о проделанной совместной работе. Листочки с заданиями, таблицы и материалы для экспериментов на столах. Если вам надо вспомнить материал предыдущих тем,- воспользуйтесь учебником или моей помощью. Помогайте друг другу при решении.
  (Учитель, в процессе работы учащихся, оказывает помощь каждой группе).
  

• 26 слайд

  А). Задачи 1 группы.
  Задача 1. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?
  Задача 2. В кооперативном доме 93 квартиры, из которых 3 находятся на 1 этаже, 6 – на последнем. Квартиры распределяются по жребию. Какова вероятность того, что жильцу не достанется квартира, расположенная на 1 или на последнем этаже?
  Задача3. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное. Вы открыли эту книгу на любой странице и прочитали первое попавшееся существительное. Оказалось, что:
  В написании выбранного слова есть гласная буква
  В написании выбранного слова есть буква «О»
  В написании выбранного слова есть мягкий знак.
  В написании выбранного слова нет гласных букв
  

• 27 слайд

  Задача 5. Чемодан можно открыть, если правильно набрать шифр 22075 (при наборе шифра цифра каждого ряда может быть любой от 0 до 9). Какова вероятность того, что человек, набрав произвольно номер из 5 цифр, сможет открыть чемодан?
  

Краткое описание документа:

Именно учебная деятельность как универсальный способ учения определяет особую деятельностную образовательную технологию: переход от «ситуации успеха» к «ситуации разрыва» через рефлексивную оценку (постановку учебной задачи); моделирование и конструирование (этап решения учебной задачи); продвижение от диагностической работы на «входе» через коррекцию к диагностической работе на «выходе» (этап решения частных задач); проверочная работа как переход от одной учебной задачи к другой (констатирующая оценка); перенос способов действий и средств в квазиреальные ситуации (этап решения проектных задач).

Основной принцип построения деятельностной технологии — цикличность (ритмичность) разворачивания образовательного процесса, в котором выделяются три цикла: пятилетний, годовой и тематический.

В рамках реализации деятельностной технологии необходимо особое внимание уделять контрольно-оценочной деятельности. Целесообразно развести контроль и оценку как учебные действия младших школьников и контроль и оценку как педагогические действия.

При деятельностной технологии педагогом создаются разные образовательные пространства: