Статистика на уроках математики

Статистика на уроках математики

Роль статистики в нашей жизни настолько значительна, что люди, часто не задумываясь и не осознавая, постоянно используют элементы статистической методологии не только в трудовых процессах, но и в повседневном быту. Работая и отдыхая, делая покупки, знакомясь с другими людьми, принимая какие-то решения, человек пользуется определённой системой имеющихся у него сведений, сложившихся вкусов и привычек, фактов, систематизирует, сопоставляет эти факты, анализирует их, делает выводы и принимает определённые решения, предпринимает конкретные действия. Таким образом, в каждом человеке заложены элементы статистического мышления, представляющего собой способности к анализу и синтезу информации об окружающем нас мире.

Актуальность темы заключается в том, что статистические представления являются важнейшей составляющей интеллектуального багажа современного человека. Они нужны в повседневной жизни.

Мы должны научиться жить в вероятной ситуации. А это, значит, извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать  обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами.

Цель нашей исследовательской работы – с помощью методов математической статистики выявить факторы, влияющие на успеваемость учащихся нашего класса, найти причины неуспешности или успешности изучения математики.

Задачи:

·       Выяснить, что изучает  математическая статистика

·       Собрать и обработать данные

·       Выяснить с помощью сбора информации и ее статистической обработки отношение учащихся 9 Б к учебе и подготовке к предстоящим экзаменам

Объект  исследования:  9 «Б» класс 

Гипотеза: Статистика позволяет выявить проблемы математического образования в нашем классе.

Методы исследования:

             -анализ литературы;

             -анкетирование;

             -статистический опрос;

             -статистическая обработка полученных данных;

            -анализ и сравнение полученных данных.

Что такое статистика?

Английский премьер – министр конца Х1Х века Б. Дизраэли ответил так: «Есть три вида лжи: обычная ложь, наглая ложь и статистика». Да весьма лестное определение. Термин «статистика» появился в середине 18 века. Он означал  «государствоведение».

        Математическая статистика как наука начинается с работ знаменитого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), который на основе теории вероятностей исследовал и обосновал метод наименьших квадратов, созданный им в 1795 г. и примененный для обработки астрономических данных (с целью уточнения орбиты малой планеты Церера). Его именем часто называют одно из наиболее популярных распределений вероятностей – нормальное, а в теории случайных процессов основной объект изучения – гауссовские процессы.

           В конце XIX в. – начале ХХ в. крупный вклад в математическую статистику внесли английские исследователи, прежде всего К.Пирсон (1857-1936) и Р.А.Фишер (1890-1962). В частности, Пирсон разработал критерий «хи-квадрат» проверки статистических гипотез, а Фишер – дисперсионный анализ, теорию планирования эксперимента, метод максимального правдоподобия оценки параметров.

           В 30-е годы ХХ в. поляк Ежи Нейман (1894-1977) и англичанин Э.Пирсон развили общую теорию проверки статистических гипотез, а советские математики академик А.Н. Колмогоров (1903-1987) и член-корреспондент АН СССР Н.В.Смирнов (1900-1966) заложили основы непараметрической статистики. В сороковые годы ХХ в. румын А. Вальд (1902-1950) построил теорию последовательного статистического анализа.

               Математическая статистика бурно развивается и в настоящее время. Так, за последние 40 лет можно выделить четыре принципиально новых направления исследований :

          - разработка и внедрение математических методов планирования экспериментов;

           - развитие статистики объектов нечисловой природы как самостоятельного направления в прикладной математической статистике;

          - развитие статистических методов, устойчивых по отношению к малым отклонениям от используемой вероятностной модели;

          - широкое развертывание работ по созданию компьютерных пакетов программ, предназначенных для проведения статистического анализа данных.

Статистика  –  это получение, обработка, анализ и публикация информации. В естественных науках понятие «статистика» означает анализ массовых явлений, основанный на применении методов теории вероятности.

Наблюдая за влиянием какого-то явления на группу людей, можно сделать вывод, касающийся уже всех людей. Например, к выводу о вреде курения врачи всего мира пришли не сразу, а лишь после анализа множества наблюдений за здоровьем курящих людей. Конечно, обследовалось здоровье не всех курящих людей планеты, но достаточно большое их количество, возможно, несколько миллионов. В результате на пачках с сигаретами появилась надпись: «Минздрав предупреждает: курить опасно для Вашего здоровья!».

В статистических исследованиях рассматривают и изучают многочисленную часть объектов какого-то явления (ее называют выборкой). При этом все объекты явления называют генеральной совокупностью. По результатам наблюдения за массовой выборкой делают выводы обо всей генеральной совокупности. Так, в нашем примере медики изучили влияние курения на здоровье нескольких миллионов человек (это выборка), сделали вывод о вреде курения для наблюдаемых и распространили этот вывод на всех людей планеты (на генеральную совокупность). И этот вывод уже равносилен закону, потому что он имеет массовое подтверждение.

Для изучения различных общественных и социально-экономических явлений, а также некоторых процессов, происходящих в природе, проводятся специальные статистические исследования. Всякое статистическое исследование начинается с целенаправленного сбора информации об изучаемом явлении или процессе. Этот этап называется этапом статистического наблюдения.

Для наглядного представления данных, полученных в результате статистического исследования, широко используются различные способы их изображения.

Одним из хорошо известных вам способов наглядного представления ряда данных является построение столбчатой диаграммы. РИС.1

Столбчатые диаграммы используют тогда, когда хотят проиллюстрировать динамику изменения данных во времени или распределение данных, полученных в результате статистического исследования.

Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой совокупности удобно использовать круговые диаграммы. РИС.2

Для построения круговой диаграммы круг разбивается на секторы, центральные углы которых пропорциональны относительным частотам, определенным для каждой группы данных.

Динамику изменения статистических данных во времени часто иллюстрируют с помощью полигона. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами – соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломанную, которую называют полигоном. РИС.3

Основные  статистические характеристики:

• Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество.
• Модой обычно называется число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто.
• Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных.
• Медианой – ряда, состоящего из нечётного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить.
• Дисперсия – мера разбора значений случайной величины относительно её математического ожидания
• Частота - количество появлений числа в ряду
• Полигон частот – один из способов графического представления плотности вероятности случайной величины, представляет собой ломаную, соединяющую точки, соответствующие серединным значениям интервалов.

Практическая часть исследовательской работы:

Исследование подготовки учащихся к экзамену по математике.

1.     Сбор и группировка статистических данных.

В нашем классе были проведены пробные тесты в форме ОГЭ по 1 части, содержащие 20 заданий, в конце декабря и в конце марта. Работы выполнили 25 учащихся. При проверке учитель отмечал число верно выполненных заданий. В результате был составлен такой ряд чисел:

		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
декабрььь	верно	14	18	16	17	15	3	7	14	15	12	9	13	9	15	12	13	9	14	9	13
март	верно	16	19	13	14	13	6	11	15	13	14	9	15	8	16	18	15	14	14	11	10

В результате ранжирования получили ряд

		3	7	9	9	9	9	12	12	13	13	13	14	14	14	15	15	15	16	17	18
декабрь	Частота	1	1	4				2		3			3			3			1	1	1
		6	8	9	10	11	11	13	13	13	14	14	14	14	15	15	15	16	16	18	19
март	Частота	1	1	1	1		2			3				4			3		2	1	1

ДЕКАБРЬ

Мода    9

Медиана 13

Размах от 3 до 18  (18-3=15)

Среднее арифметическое

(3*1+7*1+9*4+12**2+13*3+14*3+4*15+16+17+18):20=9,8

МАРТ

Мода    14

Медиана 14

Размах от 6 до 19  (19-6=13)

Среднее арифметическое

(6*1+8*1+9*1+11**2+13*3+14*4+3*15+16*2+17+18):20=13.2

Для того, чтобы удобно было анализировать, упорядочим этот ряд и представим в виде таблицы, которой для каждого числа верно выполненных заданий, записанного в верхней строке, укажем в нижней строке количество появлений этого числа в ряду, т. е. частоту. Такую таблицу называют таблицей частот.  

2.     Анализ информации.

При проведении статистического исследования после сбора данных переходят к их анализу. Используя для этого различные обобщающие показатели. Простейшими из них являются статистические характеристики. Как среднее арифметическое, мода, медиана, размах. Проанализируем результаты проведенной проверки работ учащихся.

Чтобы найти среднее арифметическое, надо общее число верно выполненных заданий разделить на число заданий. (3*1+7*1+9*4+12**2+13*3+14*3+4*15+16+17+18):20=9,8

Значит, в среднем учащиеся выполнили 9,8 заданий.

Наибольшее число верно выполненных заданий равно 18, а наименьшее равно 3. Значит размах ряда равен 18-3=16,т. е.различие в числе верно выполненных заданий достаточно велико. Из таблицы видно, что чаще всего встречаются работы, в которых верно выполнено 13,14,15 заданий, т. е. мода ряда.

МАРТ

Мода    14

Медиана 14

Размах от 6 до 19  (19-6=13)

Среднее арифметическое

(6*1+8*1+9*1+11**2+13*3+14*4+3*15+16*2+17+18):20=13.2 заданий

      

 Мы сделали вывод: за три месяца изменилось среднее арифметическое в лучшую сторону. И модуль «Реальная математика» учащиеся стали выполнять лучше, чем в декабре.

3.     Наглядное представление статистических данных.  (диаграммы)

4.     Мы проанализировала успеваемость нашего класса по итогам 2 четверти. В классе 25 человек. В таблице показано количество оценок по всем предметам. Мы видим, что оценку «5» получили 91 человек, «4» - 207, «3» - 120, «2» - 0.

Оценка	5	4	3	2
Количество	91	207	120	0

Опираясь на эти данные, построим диаграмму.

Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой совокупности удобно использовать круговые диаграммы.

Если результат статистического исследования представлен в виде таблицы относительных частот, то для построения круговой диаграммы круг разбивают на секторы, центральные углы которых пропорциональны относительным частотам, определенным для каждой группы данных. РИС.7

Вывод : Как видим, большинство учеников получили оценку «4».

Мы решили  проанализировать и сравнить успеваемость учеников нашего класса за последние 3 года.

	7 класс	8 класс	9 класс
«5»	3	3	1
«4»	11	10	11
«3»	13	12	10
«2»	-	-	2

Построили столбчатую  и круговую диаграммы . Высота каждого столбца соответствует количеству хорошистов и отличников класса. Более высокая успеваемость отмечена в 7 классе. Но в 9 классе появились неуспевающие учащиеся. РИС.8

5.     Выявление интереса школьников к школьным предметам математики.

Для  выявления отношения к школьной математике учащихся, трудностей при изучении математики и подготовке к экзамену  была составлена анкета, которая была предложена учащимся 9 Б класса.

Анкета

1.Сколько времени готовишь домашнее задание.

2.Сколько времени уходит на отдых.

3.Сколько времени вы спите.

4.Значимость предметов.

5.Какой предмет сложнее алгебра или геометрия.

6.Как ты оцениваешь свою подготовленность к предстоящим экзаменам на сегодняшний день.

7.Выбрал ли ты бы математику, если бы она была по выбору.

8.Как ты считаешь, подвержен ли ты стрессам.

9.Какие ощущения испытываешь в связи с предстоящими экзаменами.

10.Готовитесь ли вы к экзамену по математике самостоятельно.

11.Как вы готовитесь к экзамену:

·       только на уроке

·       добросовестно выполняю домашнюю  работу и тесты

·       недобросовестно выполняю домашнюю  работу и тесты

·       посещаю дополнительные занятия в школе

·       посещаю дополнительные занятия вне школы

·       готовлюсь с помощью специальных сайтов

·       другое

 11.Какие сайты использую для подготовки к экзамену по математике.

12.Тяжело ли вам дается подготовка к экзаменам.

13. Какой фактор мешает вам готовиться к экзаменам.

 14. Уверен  ли в успехе экзамена.

 15. Нужна ли вам помощь психолога перед сдачей экзаменов.

  16. Напишите свои пожелания, необходимые для успешной сдачи экзаменов.

 Результаты были проанализированы , составлены графики и сделаны выводы:

Причины трудностей, возникающих при обучении математике:

Нам захотелось узнать, с какими проблемами сталкиваются учащиеся при изучении  и подготовке к экзаменам предметов математического цикла. Найти причины.

Результаты опроса учителя  математики , учащихся 9 класса (в %). РИС.9

1.Несерьезное отношение к учебе. (17%)

2.Трудности при изучении учебного материала.(21%).

3.Отсутствие интереса к предмету. (12%)

4.Увлеченность другим делом. (15%)

5.Слабая математическая подготовка. (18%)

6.Другие причины.  (17%) .

 Мы исследовали наш распорядок дня и для этого составили таблицу относительных частот. РИС.10

Распорядок дня	Время, час.	Относительная частота, %
Занятия в школе	7	30
Выполнение домашнего задания	1,8	22
Отдых	3,5	15
Сон	8	33

Построим круговую диаграмму. Так как 360 : 100=3,6, то одному проценту соответствует центральный угол, равный 3,6 . Учитывая это, определим для каждой группы соответствующий центральный угол:

 Вывод. Результаты нашего исследования показали, что занятия в школе и сон занимают большую часть нашего времени. На выполнение домашнего задания тратят мало времени.

Динамику изменения статистических данных во времени часто иллюстрируют с помощью полигона. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами – соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломанную, которую называют полигоном. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами - соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломаную, которую называют полигоном. Степень трудности изучения предмета. РИС.11

Вывод. Математика занимает третье место по уровню сложности для учеников нашего класса. Для 6 учащихся – это алгебра, для 19- это геометрия, 8 человек оценивают свои знания по математике оценкой «3 и 4», 4 человека «2», 5 человек  считают, что они знают математику на «5». Что соответствует выводам учителя математики.

Выбор математики  по желанию . На вопрос «Выбрал бы ты сдавать математику по желанию?» «Да»- ответили 33%, «Нет»-67% РИС.12

Мы провели социологический опрос «Как ты готовишься к экзамену по математике?»

	Кол-во	%
Как вы готовитесь к экзамену по математике? •      Только на уроке •      Добросовестно выполняю домашнюю  работу и тесты •      Недобросовестно выполняю домашнюю  работу и тесты •      Посещаю дополнительные занятия в школе •      Посещаю дополнительные занятия вне школы •      Готовлюсь с помощью специальных сайтов •      Другое	7 12 2 11 7 15 3	29% 50% 8% 46% 29% 63% 13%
Какие сайты использую для подготовки к экзамену по математике? Решу ГИА (Д.Гущин) ФИПИ.	15 15	63% 63%

Вывод. 50% класса не добросовестно готовятся к экзамену. Это только работа на уроке. Оставшаяся половина готовятся, посещают дополнительные занятия и пользуются сайтами открытого банка данных. . Наиболее популярными оказались: Решу ГИА (Гущин) и ФИПИ. Также большинство учащихся предпочитает добросовестно выполнять домашнее задание и тесты и посещать дополнительные занятия в школе и вне школы.

Уверенность в успехе экзамена РИС.13

10 чел	42%	Уверены в успехе
9 чел	38%	Уверены слабо
4 чел	17%	Не уверены

Какие ощущения вызывает экзамен

Статистика	Вопросы анкеты
33%	Неуверенность
31%	Волнение
20%	Страх
8%	интерес
8%	равнодушие

Уровень тревожности

Высокая тревожность	46 %
средняя	31%
низкая	23%

Причины плохой подготовки к экзамену: ничего, пропуски, загруженность, усталость, лень, нет желания.РИС.14

6.     Выводы и рекомендации.

Подводя итоги, хотелось бы сказать, что статистическое наблюдение – интересная и занимательная область математики.

Наша исследовательская работа предлагает способы поиска и анализа различных проблем изучения математики в школе. Собранные данные, их обработка и анализ позволяют ответить на главный вопрос: что влияет на успеваемость учащихся. Мы нашли причины неуспешности или успешности, выявили положительные и отрицательные аспекты изучения математики учеников в нашем классе, собрали данные, которые помогут изучить проблемы подготовки учеников к экзамену. В нашей исследовательской работе мы отразили интересующие и наболевшие проблемы изучения математики с нашей точки зрения, т. е. ученической.

Мы предлагаем проанализировать результаты наших исследований классным руководителям, учителям – предметникам, психологу для использования их в дальнейшей работе в школе в рамках повседневного и дополнительного образования учащихся.

                                    ПРИЛОЖЕНИЕ

РИС.1                                          РИС.2                        РИС.3

РИС.7

 

РИС.8

РИС.11

 

РИС.9                                                                                                           

 

РИС.10

                                                                                                               

РИС.13

 

РИС.12         

РИС.14