Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Статьи / Статья "Ещё раз о графическом моделировании движения"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Статья "Ещё раз о графическом моделировании движения"

библиотека
материалов

В чем состоит метод графического моделирования ситуаций в задачах на движение?

Поясним на примерах. Предположим, что точки движутся слева направо. Будем отмечать изменение их перемещения с течением времени в системе координат, представленной на рис.1. Ось абсцисс – вертикальная ось времени t, ось ординат – горизонтальная ось перемещения s. На уроках математики и физики мы чертим графики в двухмерной декартовой системе координат, где ось абсцисс - горизонтальная прямая с направлением вправо, а ось ординат – вертикальная прямая с направлением вверх. Казалось бы, зачем менять привычное? Всё дело в том, что как раз естественнее работать с задачами на движение в системе координат, изображённой на рисунке 1.

hello_html_522ab9a5.png

Рис.1

Этому я вижу две причины.

Во-первых, пишем мы и читаем (тексты ли, графики) слева направо, начиная с верхней строчки, с последующим переходом вниз. Это обусловлено тем, что подавляющее большинство человечества – правши, а сверху вниз писать просто удобнее: глаза видят то, что написала рука, можно проверить написанное и к тому же это позволяет чернилам высохнуть.

Во-вторых, вспомним рисунки к задачам на движение для 5-6 классов, которые мы делаем на доске для учащихся: пункт начала движения располагаем слева, пункт прибытия справа. Если же движение сложное, например, мотоциклист выезжает позже велосипедиста, обгоняет его и завершает движение в пункте В, а велосипедист в этот момент отстаёт от него на некотором расстоянии, то одним рисунком не обойдёшься. На первом рисунке мы показываем момент выезда мотоциклиста из пункта А, при этом положение велосипедиста отмечается на некотором расстоянии от А. На втором рисунке, который мы располагаем под первым, сохраняя положение пунктов А и В, показываем момент, когда мотоциклист прибыл в пункт В, а велосипедист находится на определённом расстоянии от В (рис.2).

Соединив точку начала движения мотоциклиста на первом рисунке с точкой завершения его пути на втором, мы получаем график его движения. Аналогично строится и график движения велосипедиста за это время. Появляется место их встречи – точка пересечения графиков (рис.3). Продолжив линию графика велосипедиста вверх и вниз, получаем момент его выезда из А и момент прибытия в В (рис.4). Посмотрите: мы смоделировали ключевые ситуации задачи на движение с помощью графиков!



hello_html_m7746ba4e.pnghello_html_4d01ff7a.pnghello_html_m68662da6.png

Рис.2 Рис.3 Рис.4

Как известно, графиком зависимости перемещения точки от времени прямолинейного равномерного движения является прямая линия, угловой коэффициент которой численно равен скорости этого движения. Но даже если известны не скорости двух движущихся точек, а их отношение (например, скорость велосипедиста в 4 раза больше скорости пешехода, т.е. x км/ч – скорость пешехода, 4х км/ч – скорость велосипедиста), то графически это можно представить вполне наглядно. Угловой коэффициент прямой, являющейся графиком движения пешехода, равен 1, а для велосипедиста он равен 4.

hello_html_7c9c275e.pnghello_html_m5b93ea43.png

Рис.5 Рис.6

Пример 1. Из пункта А выехал велосипедист. Через 2 часа вслед за ним выехал скутер. Ещё через 1,5 часа они встретились, после чего через час скутер прибыл в пункт В, а велосипедист был от него на расстоянии а. Во сколько раз скорость скутера больше скорости велосипедиста? На каком расстоянии был велосипедист в момент выезда скутера из А?

Решение.

Построим графическую модель ситуаций движения велосипедиста и скутера. Введём оси координат t и s(t). Пусть на оси времени одному часу соответствуют две клетки, а начало отсчёта – это момент выезда велосипедиста из пункта А (рис.6). На оси перемещения единичный отрезок не вводится. Примем скорость велосипедиста за 1, поэтому из начала координат проводим прямую с угловым коэффициентом 1. Это график движения велосипедиста. Из точки А на оси времени, соответствующей 2 часам, проводим график движения скутера таким образом, чтобы он пересекал график велосипедиста в точке Р, соответствующей 3,5 часам. Рисунок показывает, что угловой коэффициент графика скутера равен . Это значит, что его скорость в раз больше скорости велосипедиста.

На графике скутера отметим точку В с абсциссой 4,5 ч. На графике велосипедиста этой абсциссе соответствует точка С. Расстояние ВС равно а. Коэффициент подобия треугольников АМР и ВСР равен 1,5, поэтому АМ равно 1,5а. Это расстояние, на котором находился велосипедист в момент выезда скутера.

Ответ: ; 1,5а.

Задача № 2. Велосипедист отправляется из А в В и после 15-минутного отдыха в пункте В возвращается в пункт А. На пути из А в В велосипедист догоняет в 11 часов пешехода, который движется из А в В со скоростью, в 4 раза меньшей, чем у велосипедиста. В 12 часов происходит вторая встреча пешехода и велосипедиста. Определить время отправления велосипедиста из пункта A, если известно, что велосипедист возвращается в пункт А одновременно с прибытием пешехода в пункт В.

Решение. Составим графическую модель движения пешехода и велосипедиста. В этой задаче мы не можем начертить оси координат, так как неизвестно начало отсчёта – момент выхода пешехода из пункта А. Но расположение осей координат мы вполне можем выбрать. Из условия понятно, что осями координат будут ось времени t и ось перемещения s.. Для удобства пусть 1 часу соответствуют 4 клетки плоскости, тогда 1 клетка – это 15 минут.

  1. Проводим горизонтальные прямые t1 = 11 и t2 =12. Расстояние между прямыми равно 4 клеткам. Они соответствуют 11 и 12 часам времени. На прямой t1 = 11 произвольно отмечаем точку С1, то есть момент первой встречи велосипедиста с пешеходом (рис.1).



hello_html_67c8b1c2.pnghello_html_502390de.png

Рис.7 Рис.8

  1. Примем за единицу скорость пешехода, тогда скорость велосипедиста равна 4. Через точку С1 проводим прямую а с угловым коэффициентом 1 и прямую b1 c угловым коэффициентом 4. Это графики движения пешехода и велосипедиста. Прямая а пересекает прямую t2 = 12 в точке С2, это вторая встреча пешехода и велосипедиста (рис.2).

  1. После остановки велосипедист с той же скоростью возвращается в пункт А. Через точку С2 проводим прямую b2 с угловым коэффициентом, равным – 4 (рис.3).





hello_html_12bee93.pnghello_html_m6676913c.png

Рис.9 Рис.10

  1. По условию, велосипедист в пункте В остановился на 15 минут. Проводим вертикальную прямую с (прямую пункта В) так, чтобы стоянка была 15 минут (В1В2 = 1 клетка). Точка В1 лежит на прямой b1, а точка В2 на прямой b2 (рис.4).



  1. Прямые а и с пересекаются в точке В3. Это значит, что пешеход добрался до пункта В. Через точку В3 проводим горизонтальную прямую. Мы видим, что она соответствует 13 часам, т.к. расстояние между этой прямой и прямой t = 12 равно 4 клеткам. Прямая t = 13 пересекает прямую b2 в точке А1. Эта точка значит, что велосипедист прибыл в пункт А, что совпадает по времени с прибытием пешехода в пункт В (рис.5).


hello_html_a9ca617.pnghello_html_m796516ae.png

Рис.11 Рис.12

  1. Через точку А1 проводим ось времени t. Она пересекается с прямой а в точке О. Точка О – момент выхода пешехода из пункта А, это начало отсчёта. Проводим через точку О горизонтальную ось перемещения s. Отмечаем на оси s положение пунктов А и В (рис.6). Моделирование закончено.



  1. Время выезда велосипедиста из пункта А составляет 10 ч 15 мин. Для этого находим точку пересечения прямой b1 с осью времени t (рис.6).

Ответ: 10 ч 15 мин.

Задача № 4 (Телеканал Россия-Культура. «Чёрные дыры. Белые пятна». 24.11.2011). Из пункта А в пункт В отправились одновременно велосипедист и автомобилист, скорость которого в 5 раз больше. На середине пути автомобиль сломался и дальше автомобилист пошёл пешком со скоростью, в два раза меньшей скорости велосипедиста. Кто из них раньше доберётся до пункта В?

Решение. Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать, поэтому решим эту задачу с помощью графиков. Пусть скорость велосипедиста равна 1, тогда скорость автомобиля равна 5, а скорость пешехода – 0,5. Расстояние АВ выбираем произвольно. Построив графики движения автомобилиста и велосипедиста на клетчатой бумаге, видим, что велосипедист добирается до пункта В раньше (рис.13).

hello_html_f16e01c.png

Заметим, что от выбора длины расстояния АВ ответ не зависит (рис.14).

hello_html_m3f6f22b7.png

Ответ: велосипедист.

Задача № 5 (Демонстрационный вариант 2011г. № 23) Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдёт плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течений реки?

Решение. Пусть 1 – скорость течения реки, тогда скорость катера в стоячей воде равна 4, скорость катера по течению - 5, а против течения - 3.

hello_html_772e9679.png

Построим графическую модель движения. Для этого примем расстояние АВ, равным 20 клеткам. Зададим направление течения – слева направо. Из точки А проведем прямую с угловым коэффициентом, равным 1. Это график движения плота. Из точки В проведём прямую с угловым коэффициентом -3. Это график движения катера, идущего навстречу плоту. От точки пересечения первых двух графиков проведём третью прямую, угловой коэффициент которой равен 5. Это график движения катера по течению реки. В тот момент, когда катер прибыл в пункт В, плот был на расстоянии АМ от пункта А. Из рисунка видно, что это расстояние равно 8. Итак,

Ответ: плот проплыл всего пути.

Задача 6 . Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Первый автомобиль проехал расстояние от А до В за 15 часов, а второй прибыл в пункт А через 4 часа после встречи с первым. Найти время, через которое они встретились.

hello_html_m245776b4.png

Решение. Примем скорость первого за 1, тогда расстояние АВ равно 15 и диагональ АС квадрата АВСD график движения первого автомобиля. Пусть ВМ – график движения второго автомобиля, тогда МК равно 4. Пусть искомое время равно х часов, тогда АК = КР = х и АМ = х + 4. Треугольники АВD и КРМ подобны. Из пропорции получаем: х = 6.

Ответ: 6.



Задача.
Лодка прошла по течению реки расстояние между двумя пристанями за 6 часов, а обратный путь она совершила за 8 часов. За сколько времени пройдет расстояние между пристанями плот, пущенный по течению реки?



Задача.
Турист шел 2 ч пешком из пункта А в пункт В, затем в В он сел на катер, скорость которого в 4 раза больше скорости туриста как пешехода, и ехал на катере 1,5 ч до пункта С. В С он сел на автобус, скорость которого в 2 раза больше скорости катера, и ехал на нем 2 ч до пункта D. С какой скоростью ехал турист на автобусе если известно, что весь его путь от А до D составил 120 км?



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 19.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров104
Номер материала ДБ-202618
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх