674079
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаСтатьиСтатья "Ещё раз о графическом моделировании движения"

Статья "Ещё раз о графическом моделировании движения"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

В чем состоит метод графического моделирования ситуаций в задачах на движение?

Поясним на примерах. Предположим, что точки движутся слева направо. Будем отмечать изменение их перемещения с течением времени в системе координат, представленной на рис.1. Ось абсцисс – вертикальная ось времени t, ось ординат – горизонтальная ось перемещения s. На уроках математики и физики мы чертим графики в двухмерной декартовой системе координат, где ось абсцисс - горизонтальная прямая с направлением вправо, а ось ординат – вертикальная прямая с направлением вверх. Казалось бы, зачем менять привычное? Всё дело в том, что как раз естественнее работать с задачами на движение в системе координат, изображённой на рисунке 1.

hello_html_522ab9a5.png

Рис.1

Этому я вижу две причины.

Во-первых, пишем мы и читаем (тексты ли, графики) слева направо, начиная с верхней строчки, с последующим переходом вниз. Это обусловлено тем, что подавляющее большинство человечества – правши, а сверху вниз писать просто удобнее: глаза видят то, что написала рука, можно проверить написанное и к тому же это позволяет чернилам высохнуть.

Во-вторых, вспомним рисунки к задачам на движение для 5-6 классов, которые мы делаем на доске для учащихся: пункт начала движения располагаем слева, пункт прибытия справа. Если же движение сложное, например, мотоциклист выезжает позже велосипедиста, обгоняет его и завершает движение в пункте В, а велосипедист в этот момент отстаёт от него на некотором расстоянии, то одним рисунком не обойдёшься. На первом рисунке мы показываем момент выезда мотоциклиста из пункта А, при этом положение велосипедиста отмечается на некотором расстоянии от А. На втором рисунке, который мы располагаем под первым, сохраняя положение пунктов А и В, показываем момент, когда мотоциклист прибыл в пункт В, а велосипедист находится на определённом расстоянии от В (рис.2).

Соединив точку начала движения мотоциклиста на первом рисунке с точкой завершения его пути на втором, мы получаем график его движения. Аналогично строится и график движения велосипедиста за это время. Появляется место их встречи – точка пересечения графиков (рис.3). Продолжив линию графика велосипедиста вверх и вниз, получаем момент его выезда из А и момент прибытия в В (рис.4). Посмотрите: мы смоделировали ключевые ситуации задачи на движение с помощью графиков!



hello_html_m7746ba4e.pnghello_html_4d01ff7a.pnghello_html_m68662da6.png

Рис.2 Рис.3 Рис.4

Как известно, графиком зависимости перемещения точки от времени прямолинейного равномерного движения является прямая линия, угловой коэффициент которой численно равен скорости этого движения. Но даже если известны не скорости двух движущихся точек, а их отношение (например, скорость велосипедиста в 4 раза больше скорости пешехода, т.е. x км/ч – скорость пешехода, 4х км/ч – скорость велосипедиста), то графически это можно представить вполне наглядно. Угловой коэффициент прямой, являющейся графиком движения пешехода, равен 1, а для велосипедиста он равен 4.

hello_html_7c9c275e.pnghello_html_m5b93ea43.png

Рис.5 Рис.6

Пример 1. Из пункта А выехал велосипедист. Через 2 часа вслед за ним выехал скутер. Ещё через 1,5 часа они встретились, после чего через час скутер прибыл в пункт В, а велосипедист был от него на расстоянии а. Во сколько раз скорость скутера больше скорости велосипедиста? На каком расстоянии был велосипедист в момент выезда скутера из А?

Решение.

Построим графическую модель ситуаций движения велосипедиста и скутера. Введём оси координат t и s(t). Пусть на оси времени одному часу соответствуют две клетки, а начало отсчёта – это момент выезда велосипедиста из пункта А (рис.6). На оси перемещения единичный отрезок не вводится. Примем скорость велосипедиста за 1, поэтому из начала координат проводим прямую с угловым коэффициентом 1. Это график движения велосипедиста. Из точки А на оси времени, соответствующей 2 часам, проводим график движения скутера таким образом, чтобы он пересекал график велосипедиста в точке Р, соответствующей 3,5 часам. Рисунок показывает, что угловой коэффициент графика скутера равен . Это значит, что его скорость в раз больше скорости велосипедиста.

На графике скутера отметим точку В с абсциссой 4,5 ч. На графике велосипедиста этой абсциссе соответствует точка С. Расстояние ВС равно а. Коэффициент подобия треугольников АМР и ВСР равен 1,5, поэтому АМ равно 1,5а. Это расстояние, на котором находился велосипедист в момент выезда скутера.

Ответ: ; 1,5а.

Задача № 2. Велосипедист отправляется из А в В и после 15-минутного отдыха в пункте В возвращается в пункт А. На пути из А в В велосипедист догоняет в 11 часов пешехода, который движется из А в В со скоростью, в 4 раза меньшей, чем у велосипедиста. В 12 часов происходит вторая встреча пешехода и велосипедиста. Определить время отправления велосипедиста из пункта A, если известно, что велосипедист возвращается в пункт А одновременно с прибытием пешехода в пункт В.

Решение. Составим графическую модель движения пешехода и велосипедиста. В этой задаче мы не можем начертить оси координат, так как неизвестно начало отсчёта – момент выхода пешехода из пункта А. Но расположение осей координат мы вполне можем выбрать. Из условия понятно, что осями координат будут ось времени t и ось перемещения s.. Для удобства пусть 1 часу соответствуют 4 клетки плоскости, тогда 1 клетка – это 15 минут.

  1. Проводим горизонтальные прямые t1 = 11 и t2 =12. Расстояние между прямыми равно 4 клеткам. Они соответствуют 11 и 12 часам времени. На прямой t1 = 11 произвольно отмечаем точку С1, то есть момент первой встречи велосипедиста с пешеходом (рис.1).



hello_html_67c8b1c2.pnghello_html_502390de.png

Рис.7 Рис.8

  1. Примем за единицу скорость пешехода, тогда скорость велосипедиста равна 4. Через точку С1 проводим прямую а с угловым коэффициентом 1 и прямую b1 c угловым коэффициентом 4. Это графики движения пешехода и велосипедиста. Прямая а пересекает прямую t2 = 12 в точке С2, это вторая встреча пешехода и велосипедиста (рис.2).

  1. После остановки велосипедист с той же скоростью возвращается в пункт А. Через точку С2 проводим прямую b2 с угловым коэффициентом, равным – 4 (рис.3).





hello_html_12bee93.pnghello_html_m6676913c.png

Рис.9 Рис.10

  1. По условию, велосипедист в пункте В остановился на 15 минут. Проводим вертикальную прямую с (прямую пункта В) так, чтобы стоянка была 15 минут (В1В2 = 1 клетка). Точка В1 лежит на прямой b1, а точка В2 на прямой b2 (рис.4).



  1. Прямые а и с пересекаются в точке В3. Это значит, что пешеход добрался до пункта В. Через точку В3 проводим горизонтальную прямую. Мы видим, что она соответствует 13 часам, т.к. расстояние между этой прямой и прямой t = 12 равно 4 клеткам. Прямая t = 13 пересекает прямую b2 в точке А1. Эта точка значит, что велосипедист прибыл в пункт А, что совпадает по времени с прибытием пешехода в пункт В (рис.5).


hello_html_a9ca617.pnghello_html_m796516ae.png

Рис.11 Рис.12

  1. Через точку А1 проводим ось времени t. Она пересекается с прямой а в точке О. Точка О – момент выхода пешехода из пункта А, это начало отсчёта. Проводим через точку О горизонтальную ось перемещения s. Отмечаем на оси s положение пунктов А и В (рис.6). Моделирование закончено.



  1. Время выезда велосипедиста из пункта А составляет 10 ч 15 мин. Для этого находим точку пересечения прямой b1 с осью времени t (рис.6).

Ответ: 10 ч 15 мин.

Задача № 4 (Телеканал Россия-Культура. «Чёрные дыры. Белые пятна». 24.11.2011). Из пункта А в пункт В отправились одновременно велосипедист и автомобилист, скорость которого в 5 раз больше. На середине пути автомобиль сломался и дальше автомобилист пошёл пешком со скоростью, в два раза меньшей скорости велосипедиста. Кто из них раньше доберётся до пункта В?

Решение. Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать, поэтому решим эту задачу с помощью графиков. Пусть скорость велосипедиста равна 1, тогда скорость автомобиля равна 5, а скорость пешехода – 0,5. Расстояние АВ выбираем произвольно. Построив графики движения автомобилиста и велосипедиста на клетчатой бумаге, видим, что велосипедист добирается до пункта В раньше (рис.13).

hello_html_f16e01c.png

Заметим, что от выбора длины расстояния АВ ответ не зависит (рис.14).

hello_html_m3f6f22b7.png

Ответ: велосипедист.

Задача № 5 (Демонстрационный вариант 2011г. № 23) Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдёт плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течений реки?

Решение. Пусть 1 – скорость течения реки, тогда скорость катера в стоячей воде равна 4, скорость катера по течению - 5, а против течения - 3.

hello_html_772e9679.png

Построим графическую модель движения. Для этого примем расстояние АВ, равным 20 клеткам. Зададим направление течения – слева направо. Из точки А проведем прямую с угловым коэффициентом, равным 1. Это график движения плота. Из точки В проведём прямую с угловым коэффициентом -3. Это график движения катера, идущего навстречу плоту. От точки пересечения первых двух графиков проведём третью прямую, угловой коэффициент которой равен 5. Это график движения катера по течению реки. В тот момент, когда катер прибыл в пункт В, плот был на расстоянии АМ от пункта А. Из рисунка видно, что это расстояние равно 8. Итак,

Ответ: плот проплыл всего пути.

Задача 6 . Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Первый автомобиль проехал расстояние от А до В за 15 часов, а второй прибыл в пункт А через 4 часа после встречи с первым. Найти время, через которое они встретились.

hello_html_m245776b4.png

Решение. Примем скорость первого за 1, тогда расстояние АВ равно 15 и диагональ АС квадрата АВСD график движения первого автомобиля. Пусть ВМ – график движения второго автомобиля, тогда МК равно 4. Пусть искомое время равно х часов, тогда АК = КР = х и АМ = х + 4. Треугольники АВD и КРМ подобны. Из пропорции получаем: х = 6.

Ответ: 6.



Задача.
Лодка прошла по течению реки расстояние между двумя пристанями за 6 часов, а обратный путь она совершила за 8 часов. За сколько времени пройдет расстояние между пристанями плот, пущенный по течению реки?



Задача.
Турист шел 2 ч пешком из пункта А в пункт В, затем в В он сел на катер, скорость которого в 4 раза больше скорости туриста как пешехода, и ехал на катере 1,5 ч до пункта С. В С он сел на автобус, скорость которого в 2 раза больше скорости катера, и ехал на нем 2 ч до пункта D. С какой скоростью ехал турист на автобусе если известно, что весь его путь от А до D составил 120 км?


Общая информация

Номер материала: ДБ-202618

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.