Инфоурок / Математика / Научные работы / Статья "Гибкие образовательные материалы на уроках математики"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Статья "Гибкие образовательные материалы на уроках математики"

библиотека
материалов

А. С. Дмитриева

Гибкие образовательные материалы на уроках математики

Одна из наиболее актуальных проблем современной школы – проблема повышения эффективности процесса обучения и воспитания, а также преодоления школьной неуспеваемости. Для решения этой проблемы предполагается совершенствование методов и форм организации обучения, поиск более эффективных путей формирования знаний с учетом реальных возможностей учащихся и условий учебной деятельности.

Проблема неуспеваемости по математике – одна из центральных в методике преподавания математики. Учителя математики в большей мере сталкиваются с проблемой неуспеваемости, ведь часто главной причиной становится отсутствие мотивации к изучению математики и сложность предмета.

При работе с обучающимися, испытывающими трудности в усвоении предмета, прежде всего, необходимо помнить, что любой прием и метод обучения школьников, подачи материала и восполнения пробелов, будет иметь успех и давать ожидаемые результаты только тогда, когда работа будет носить системный характер.

При изучении темы «Тригонометрия» в 10 классе оказывается одной из самых сложных. Дифференцированная работа на всех этапах урока позволяет успешно работать с учениками любого уровня подготовки, давать посильную нагрузку для средних и сильных учеников, эффективнее устранять пробелы в знаниях, дифференцированно оценивать знания учащихся, усвоение ими тем, развивать мотивационную основу обучения математике, развивать пытливость и творческую направленность ума.

Одним из наиболее простых и эффективных способов подачи заданий разного уровня сложности являются гибкие образовательные материалы, составленные с учетом индивидуальных особенностей класса.

Гибкие образовательные материалы для учеников могут включать в себя исторический материал по теме, интересные факты, межпредметную информацию, что будет способствовать развитию мотивации к изучению математики, интереса к предмету и к науке, а также лучшему усвоению тем и развитию личности в целом.

Гибкие образовательные материалы, как средства обучения, имеют множество преимуществ: наглядность, быстрота диагностики знаний, повышение роли самостоятельной работы. Они помогают осуществлять дифференцированный подход (индивидуальный темп работы, подсказки), формировать всестороннюю картину мира, качественно закреплять знания, выявлять и, в дальнейшем, эффективно восполнять пробелы. И, как итог, эффективная индивидуальная работа с каждым учеником.

Примеры гибких образовательных материалов приведены в Таблице 1. Они включают исторические сведения: краткую справку из истории математики для слабых и сильных учащихся и историческую задачу для учеников с высоким уровнем знаний и низкой мотивацией.

Данный дифференцированный образовательный материал содержит подсказки для обучающихся, испытывающих трудности в усвоении материала.

Таблица 1.

Преобразование тригонометрических выражений

Некоторые тригонометрические формулы

(1)

(2)

(3)

hello_html_m46edef2.gifhello_html_m3b30b3f8.gif

cos 2x = cos2x – sin2x

cos 2x = 2cos2 – 1

cos 2x = 1 – 2sin2x

sin(x ± y) = sin xcos y ± cos xsiny

cos(x ± y) = cos x  cosy hello_html_m5d6d2b66.gif sinx siny

При решении укажи какие формулы ((1), (2) и (3)) были использованы для преобразования выражений.

А-1

А-2

Упростите выражения.

  1. hello_html_m348fd8b.gif;

  2. hello_html_53adaa21.gif;

  3. hello_html_74a0259.gif.

Докажите тождество:

hello_html_7efb36f2.gif

Тригонометрия возникла и развивалась в древности
как один из разделов астрономии.



Для составления астрономических таблиц были необходимы тригонометрические формулы. Так, например, индийский ученый Бхаскара, живший в XII веке, пользовался формулой, которую современным

математическим языком можно записать так:

hello_html_2aab854e.gif

hello_html_m313e474b.jpgБхаскара

где R – радиус исследуемой окружности.
В тригонометрии принято работать с единичной окружностью, поэтому эта формула трансформировалась в используемую нами формулу (3).

Б-1

Б-2

Упростите выражения. При решении запишите формулы, которые вы использовали:

  1. hello_html_4a160bf2.gif

  2. hello_html_2c1efa1.gif;

  3. hello_html_1c88fbcb.gif.

Докажите тождества:

  1. hello_html_m338c628.gif;

  2. hello_html_m65ef7ba.gif.

Еще древние индийцы знали формулу для двойного синуса. Абу-л-Вафа установил ее:

hello_html_m56f974fc.gif

Один из крупнейших   математиков и астрономов средневекового Востока. В честь Абу-л-Вафа даже назван кратер на Луне.



hello_html_5153f350.jpgАбу-л-Вафа


В-1

В-2

Упростите выражения:

  1. hello_html_m1a3bcfec.gif;

  2. hello_html_5ea61680.gif;

  3. hello_html_m3b61cf9.gif

Французский математик Франсуа Виет вывел несколько тригонометрических формул.

hello_html_5e37daa7.jpgФрансуа Виет

Ниже записана одна из них.



Докажите верность этой формулы.



hello_html_3c56a314.gif

Подпись


Исторические данные в части А работают на развитие мышления, метапредметных навыков, умения применять ранее полученные знания, закрепление пройденных тем. Так, например, замечание о том, что в тригонометрии рассматривается только единичная окружность, является напоминанием о том, что функции «косинус» и «синус» изменяются в пределах промежутка [–1; 1].

Гибкий образовательный материал для уровня Б в исторической справке содержит указание на применяемую формулу.

Историческое задание для уровня В предполагает применение более сложных формул тригонометрии.

При разработке подобной системы работы со школьниками необходимо задействовать все этапы обучения.

Дифференцированные домашние задания позволяют создать ситуацию успеха для каждого ученика, что в свою очередь меняет отношение к математике, предмет уже не представляется сухим и сложным. Он становится для школьников занимательным, важным, интересным, а это позволяет повысить качество усвоения материала.

В Таблице 2 приведен пример дифференцированного задания для домашней работы.

Таблица 2.

А-1

А-2

А-3

Вычислите:

Отметьте знаки тригонометрических функций на окружностях.

Вычислите:

hello_html_m6248391e.png

hello_html_mb7b3d6.png

hello_html_m6b350699.png

Б-1

Заполните таблицу:

Рад.

0

hello_html_m31b577a3.gif

hello_html_mcc372c2.gif

hello_html_m7b27624e.gif

hello_html_m7b13515e.gif

hello_html_6ce47521.gif

hello_html_m2cbff2d3.gif

hello_html_m4a32b3e3.gif

π

hello_html_21bcae1c.gif

hello_html_m61229a13.gif

hello_html_m645f0662.gif

hello_html_24641298.gif

hello_html_1be0fe0e.gif

hello_html_m6e2901b7.gif

hello_html_7ef00246.gif

2 π

Град.


















sinx


















cosx


















tg x


















сtg x




















Отметьте все углы на единичной окружности:

hello_html_c3d5908.png

В-1

Крупнейший физик X-XI вв., каирский ученый Ибн ал-Хайсам впервые пытался определить высоту атмосферы с помощью тригонометрических расчетов. Он полагал, что сумерки продолжаются до тех пор, пока солнце не опустится ниже горизонта на 19. О постановке задачи можно судить по рисунку, где N – высокое облако, отражающее на исходе сумерек луч SN к наблюдателю M. Этот луч образует с горизонтом угол, равный 19.

Найдите высоту атмосферы h = ONr, где r – радиус земли.

hello_html_5ce9a83d.png

Подсказка: какой тригонометрической функции равно отношение противолежащего угла к гипотенузе в прямоугольном треугольнике?


Ниже представлены еще несколько примеров дифференцированных образовательных материалов разделам темы «Тригонометрия» в 10 классе.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

А-1

Найдите значение арккосинусов в центральной колонке
и соедините их стрелкой. Здесь угол
 [0, hello_html_50661fa5.gif].

hello_html_m1e2b0459.gif

hello_html_42fcff1d.gif

hello_html_71288a80.gif

hello_html_3a34b502.gifhello_html_m3f568823.gif


0
hello_html_50661fa5.gif

hello_html_1efe9eb4.gifhello_html_351c7e71.gif

hello_html_m2bf5a2e4.gif

hello_html_m6c86ef82.gif

hello_html_68f628de.gif

hello_html_m6ff79591.gif

hello_html_m2d50c962.gifhello_html_32721492.gif

Отметьте данные углы на четверти окружности, приведенной ниже. На рисунке показан пример.

hello_html_m67f7e89a.png

А-2

Отметьте на окружности углы, которым соответствуют значение аркфункций в кружочках. Соедините кружочки с углами на окружности стрелкой.

hello_html_m1e4e60aa.png

Б-1

Б-2

Вычислите:

  1. hello_html_m6c86ef82.gif;

  2. hello_html_m7635b981.gif;

  3. hello_html_32721492.gif;

  4. hello_html_c7bb78f.gif;

  5. hello_html_36badf4d.gif;

  6. hello_html_m3f568823.gif;

  7. hello_html_m741751ec.gif;

  8. hello_html_68989f0b.gif;

  9. hello_html_4bfe401f.gif

  10. hello_html_75e43c30.gif.

Вычислите:

  1. hello_html_52e72685.gif

  2. hello_html_m579741c2.gif

  3. hello_html_2e507ee5.gif

В-1

В-2

Вычислите:

  1. hello_html_21155bad.gif

  2. hello_html_1a5a92b2.gif

  3. hello_html_5e4f1938.gif

Докажите, что для любых чисел х1 и х2 из неравенства
х1 < х2 следует, что
arcctg х1 > arcctg х2.
И расположите числа в порядке возрастания: arcctg 1,2; arcctg π; arcctg (−5).

Решение простейших тригонометрических уравнений.

А-1

А-2

Решите уравнение:

  1. hello_html_m788eb685.gif;

  2. hello_html_m251a5289.gif;

  3. hello_html_m46a7beae.gif.

Решите уравнения:

  1. hello_html_m57607330.gif;

  2. hello_html_65aa61e8.gif;

  3. hello_html_m46d52c3b.gif.


Б-1

Б-2

Заполните таблицу:



| a |  1

sin x = a



sin x = a

hello_html_m6c410134.gif



hello_html_m7aca40c6.gifhello_html_m1916de.gif

| a | > 1


hello_html_m6c410134.gif

a R

tg x = a



ctg x = a




Решите уравнения:

  1. hello_html_60d0cd3f.gif

  2. hello_html_m448546ac.gif

  3. hello_html_7250c902.gif

  4. hello_html_34506d76.gif

В-1

В-2

Решите уравнения:

  1. hello_html_m315db0bf.gif

  2. hello_html_6a273ba6.gif

  3. hello_html_71a7b198.gif

  4. hello_html_4996a2e3.gif

  5. hello_html_m55f25fb.gif

Найдите и объясните ошибки в решении уравнений, запишите верный ответ:

  1. hello_html_m7a0a01b4.gif

hello_html_8987cda.gif

hello_html_m5b5a61cc.gif

Ответ: hello_html_m1e795e01.gif

  1. hello_html_m51d880a6.gif

Приравняем оба множителя к нулю.

hello_html_7fb14d92.gif

hello_html_m125a1890.gif

hello_html_515c27f.gif

Ответ: hello_html_m32ace6f6.gif


Краткое описание документа:

Статья опубликована в

СБОРНИКЕ МАТЕРИАЛОВ научно-практической конференции «XIV БУШЕЛЕВСКИЕ ЧТЕНИЯ»

ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ

Петропавловск-Камчатский

25–27 марта 2015 г. (КамГУ им. Витуса Беринга Петропавловск-Камчатский, 2015)

Основная тема: дифференциация работы на уроках математики в старших классах при изучении темы "Тригонометрия".

Общая информация

Номер материала: ДВ-531034

Похожие материалы