Статья, "Гиперболические функции" 10 класс

Понятие гиперболической функции

    Гузаиров Гафур Мустафович, кандидат физико-математических наук, доцент;

Оренбургский Государственный Педагогический Университет, г.Оренбург

Сайфутдинова Мария Васильевна, студентка

Оренбургский Государственный Педагогический Университет, г.Оренбург

            Функция - это математическая модель, описывающая зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение перемен​ной у.

В школьном курсе математики изучаются свойства показательных  функций, а некоторые дробно-линейные комбинации функций e^x и e^-x - так называемые гиперболические функции - рассматриваются только в качестве дополнительного материала к разделу «Функции» [4, с.41].

Мы считаем, что в школьной математике необходимо изучать гиперболические функции, и перед тем, как изложить новый материал школьникам, следует вспомнить определения тригонометрических функций синуса и косинуса.

На окружности радиуса r с центром в начале координат (рис.1) возьмём точку Р(х,у). Тогда из уравнения окружности х² + у² = r²:

cosα =  = ,

sinα =     .

В качестве аргумента функций синус и косинус в данном случае принимается центральный угол α или ∪АР = α, причем угол и дуга α измеряются в радианах. Можно этот аргумент заменить другим на основании следующих соображений.

Площадь сектора АОР равна произведению длины дуги АР на половину радиуса, т.е. S_AOP = ∪ AP = rα =  .

Рис. 1

Тогда удвоенная площадь сектора АОР равна 2S_AOP = αr² .

Если принять радиус круга за единицу, то 2S_AOP = α , т.е. величина α, которая выражала величину дуги и была аргументом для определения тригонометрических функций, выражает удвоенную площадь сектора круга при радиусе, равном единице [5, с.96].

Таким образом, синус и косинус - это функции удвоенной площади сектора АОР единичной окружности.

Уравнение равнобочной гиперболы, отнесенной к центру и осям, имеет вид:

х² – у² = а² .

Возьмем на гиперболе (рис. 2) точку Р(х,у).

Отношение х/а, т.е. отношение абсциссы точки равнобочной гиперболы к вещественной полуоси называется гиперболическим косинусом и обозначается сhα, а отношение ординаты точки равнобочной гиперболы

к вещественной полуоси, т.е. у/а называется гиперболическим синусом и обозначается shα [3, с.191].

Рис. 2

Таким образом, удвоенная площадь сектора - аргумент для синуса и косинуса в окружности.

Если принять вещественную полуось равнобочной гиперболы за 1, то её уравнение примет вид:

х² –  у² = 1 .

Соответственно, выражения для гиперболического косинуса и гиперболического синуса примут вид:

сhα = х,

shα = у.

Возводя обе части последних двух равенств в квадрат, и вычитая, учитывая равенство х² – у² = 1, получим:

сh²α – sh²α = 1.

Из рис. 2 устанавливаем, что при α0, сhα убывает до 1, а shα убывает до 0, т.е.

сh0 = 1,

sh0 = 0.

С увеличением α, т.е. с увеличением площади, сhα и shα неограниченно возрастают.

Если точка Р будет перемещаться от вершины до той части кривой, где ординаты отрицательны (рис. 2), то по чертежу видно, что сhα будет величиной положительной и неограниченно возрастающей, а shα будет отрицателен и неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. получим:

сh(–α) = сhα ,

sh(–α) = – shα .

Если в равнобочной гиперболе (рис. 3) провести касательную к кривой в вершине А, то отношение отрезков АК и ОА, т.е. отношение отрезка касательной от вершины до пересечения с прямой, соединяющей точку Р с центром, к вещественной полуоси, называется гиперболическим тангенсом и

обозначается thα, т.е. .

 

Рис.3

Из подобия ∆ОМР и ∆ОАК, следует: .

При ОА=1, РМ= shα, ОМ=сhα, вытекает thα =  .

При увеличении α, т.е. когда точка Р по кривой удаляется в бесконечность, прямая ОР стремится слиться с асимптотой. В равнобочной гиперболе угол наклона асимптоты к оси Ох равен p/4, то в этом предельном случае АК стремится к а, следовательно, l= 1 .

Когда точка Р будет перемещаться по нижней части кривой, то АК будет иметь отрицательный знак, т.е.

th(–α) = thα,

 = –1.

Отношение сhα/shα называется гиперболическим котангенсом и обозначается сthα [2, с.31].

Соответственно: сth(–α) = – сthα .

При изменении  имеем:

- 1< cth α < 1 .

Таким образом, изменение гиперболических функций выражается Табл. 1

α	– ∞	0	+ ∞
shα	– ∞	0	+ ∞
сhα	+ ∞	1	+ ∞
thα	-1	0	+ 1
chα	-1	0	+ 1

                                                           Табл.1

Тригонометрические функции одного и того же аргумента связаны между собой рядом известных соотношений. Аналогичные соотношения имеют место и для гиперболических функций.

При этом основному тригонометрическому тождеству sin²x + cos²x = 1 соответствует тождество, связывающее гиперболические синус и косинус:

сh² x – sh ² x = 1 .

Это означает, что любую гиперболическую функцию аргумента x можно выразить через любую другую гиперболическую функцию одного и того же аргумента [13, с.26].

Литература

1.      Анкилов, А. В. Высшая математика : учебное пособие. В 2 ч. Ч. 1 / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников; под общей редакцией П. А. Вельмисова. – 2-е изд.– Ульяновск : УлГТУ, 2011. – 250 с.

2.      Белоусова В.И. Высшая математика: учебное пособие / В.И. Белоусова, Г.М. Ермакова, М.М. Михалева, Ю.В. Шапарь, И.А. Шестакова.-Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2016.- Ч.I.-296 с.

3.      Головизин В.В. Основы аналитической геометрии и линейной алгебры. Ч.1: учеб.-метод. пособие. Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», 2014. – 321 с.

4.      Покровский В.П. Методика обучения математике: функциональная содержательно-методическая линия : учеб. - метод. пособие / В. П. Покровский ; Владим. гос. ун-т им. А. Г. и Н. Г. Столетовых. – Владимир: Изд-во ВлГУ, 2014. – 143 с.

5.      Сурина О.П., Якунина О.В. Элементарная геометрия. Планиметрия: Учебное пособие для студентов физико-математического факультета. – Пенза: издательство ПГУ, 2013. – С.107

Краткое описание документа:

В курсе алгебры гиперболические функции почти не рассматриваются, поэтому эта статья может служить дополнительным материалом. Её можно также включить в раздел "Кому интересно". В этой статье рассматриваются гиперболические функции, общие понятия, формулы. Эта статья нужна обучающимся для расширения своего кругозора.