Интеграция истории в математику,
как способ получения метапредметных результатов обучения.
Григорий Григорьевич Воронцов
учитель математики и физики, первой
категории
ГБОУ СОШ №1148 имени Ф.М. Достоевского
Рассказ об исторических аспектах
возникновения и развития математических понятий и операций развивает у учащихся
особый вид деятельности – изучение исторического материала на занятиях
математикой. Систематическое использование в школьном курсе математики элементов
исторической науки способствует развитию у учащихся интереса к предмету, более
глубокому и прочному усвоению математики, формированию у школьников широкого научного
мировоззрения.
Показывая интернациональный характер математического
творчества, учитель воспитывает учащихся в духе интернационализма (что очень важно в современном
поликультурном мегаполисе), а рассказ о великих ученых народов нашей страны
реализует патриотическое
воспитание (важность которого
даже не обсуждается), вызывая у ребят чувство гордости за нашу Родину.
Вместе с тем рассказ о влиянии математики
на различные сферы человеческой деятельности обеспечивает развитие
межпредметных связей (что формирует целостное научное мировоззрение) и
мотивирует учащихся к применению своих знаний в проектно-исследовательской
деятельности.
Поясним сказанное некоторыми ситуационными
примерами.
1.
Арабские
цифры — так называют первоначально арабско -
индийские, а ныне вошедшие во всеобщее употребление 10 цифровых знаков (включая
нуль), из которых каждый, кроме абсолютного значения своего, имеет еще и
относительное, в зависимости от своего положения в ряду … (Энциклопедический
словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона). При упоминании римских цифр учащиеся
радостно заявляют, что знают их и знают как записать число этими цифрами! Но
как только попросишь кого-нибудь записать год своего рождения - «народ
безмолствует…». Тогда предлагается прочитать число 2013, записанное римскими
цифрами…
2.
Десятичная
система счисления. Пришла в Европу из Индии, где она
появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра
стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют
число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа
показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число
сотен и т.д. Интересно видеть недоумение у учащихся, задав им вопрос:
«Десятичная система связана как-то с количеством пальцев на руках (все
соглашаются). Как изменились бы наши привычные навыки счета, если бы у нас было
на руках по 6 пальцев?». Не буду описывать бурный поток предположений...
Далее
можно перейти к пониманию двоичной системы счисления (а это уже переход к
информатике… и физике).
3.
Николай
Иванович Лобачевский — создатель неевклидовой геометрии (геометрии
Лобачевского). Открытие Лобачевского (1826, опубликованное 1829-30), не
получившее признания современников, совершило переворот в представлении о
природе пространства, в основе которого более 2 тыс. лет лежало учение Евклида
и оказало огромное влияние на развитие математического мышления. Далее можно
перейти к медицине (микрохирургии глаза – ведь поверхность глазного яблока
можно рассматривать в первом приближении как сферическую…).
4.
Джеймс
Клерк Максвелл описал электромагнитное поле системой из
20 уравнений с 12 неизвестными, что затрудняло пользование теории. И лишь после
того как Оливер Хэвисайд сумел преобразовать ее в систему из 4-х
дифференциальных уравнений (создав для этого новые разделы в векторном
исчислении) теорией можно было пользоваться практически. К сожалению, эти новые
уравнения так же носят название уравнения Максвелла!
5.
Исторический экскурс
к конструкциям выдающегося русского инженера Шухова
Владимира Григорьевича ,(телебашня его конструкции на Шаболовке в Москве
объявлена памятником ЮНЕСКО), как основоположника применения ажурных
конструкций в инженерии, позволил в старших классах при изучении тел вращения
лучше понять тему, но и «спровоцировал» проектно-исследовательскую работу
учащихся на тему «Гиперболоид вращения и повышение сейсмоустойчивости зданий»,
занявшую 3-е место в конкурсе НТТМ-2012 г. , ЮВУО г. Москвы.
История математики неразрывно связана с
историей цивилизации, поэтому каждый образованный человек должен стремиться ее
знать. Человек, который незнаком с историей предмета не достигнет больших
успехов в науке или выбранной сфере деятельности, если не будет обращаться к их
прошлому. Очень часто в каких-то вопросах все происходит по пословице
«Новое-это хорошо забытое старое» но, добавим от себя, - на более современном
уровне. Опыт показывает, что без знания прошлого трудно понять настоящее и
невозможно правильно представить будущее.
Некоторые рекомендации методического
характера, иллюстрируем на конкретных примерах.
1.
Историзм.
Историко-математические сведения хорошо
запоминаются, а математика предстает перед учащимся творческим процессом и
позволяют видеть движущие силы ее развития (а в некоторых случаях, наоборот,
влияние математических абстракций на формирование научного мировоззрения
общества).
Примеры.
При изучении начал тригонометрии полезными
окажутся сведения из истории древнего востока. В 13 веке создатель Марагинской
(Восточный Азербайджан, Иран) обсерватории Урди изготовил 3-метровую модель
подвижного прямоугольного треугольника. Его можно назвать синус-инструментом,
т.к. он позволяет без вычислений находть значение этой тригонометрической
функции (т.е. по сути он представляет собой подвижную номограмму для решения
задач по теме «Решение прямоугольных треугольников»-важнейшую тему на ГИА и ЕГЭ
по математике). Когда учитель знакомит учащихся с приемами косвенного измерения
недоступных элементов при помощи построения соответствующих фигур (в основном
это треугольники) он может задать вопрос: «Зачем понадобилось средневековому
астроному создавать такой большой инструмент?» (Ассоциативная память сработает
– и , зная правила приближенных вычислений, ученик 9 класса вполне правильно
ответит на этот вопрос). Протянется ассоциативная цепочка к решению
прямоугольных треугольников!
Есть несколько видов использования
исторического экскурса на занятиях математикой:
А) Эпизодический: ссылки на
первооткрывателя формулы, теоремы, метода решения и т.п. при ознакомлении
учащихся с конкретным материалом; рассмотрение определенной исторической задачи
или доказательства (например, доказательство Евклида (Александрия, 3 век до
н.э.) бесконечности множества простых чисел.
Б) Обзор жизни и творчества отдельных
выдающихся математиков : Э.Галуа(1811-1832), французский математик,
исследования которого оказали исключительно сильное влияние на развитие
алгебры, убитый на дуэли в возраст 21 год ; Н.И. Лобачевский (1792-1856)-русский
математик, создатель «неевклидовой» геометрии; С.В.Ковалевской (1850—1891) —
математик, писательница и публицист. К слову, ее автобиографическое произведение.
"Воспоминания детства" (1890) входит в число важных источников по
биографии Ф. М. Достоевского.
В) Обзор математических результатов
полученных в ту или иную историческую эпоху или относящихся к развитию
определенных математических теорий:
например, тот же Э.Галуа(1811-1832),
который в письме к другу, написанном накануне дуэли, формулирует основные
теоремы об интегралах от алгебраических функций, вновь открытые значительно
позже в работах Римана.
Г)
Изучение определенной темы, например: история математической символики; история
систем счисления (от древних вавилонян –от них сохранились значение числа 60 в
нашей практической жизни (60 секунд в минуте, 60 минут в часе и т.д.)- до
компьютера: тут целесообразно коснуться значения компьютерных вычислений.
Важным (но не единственным) примером является понятие «суперкомпьютер» и иго
роль в обеспечении исторически необходимого экономического прорыва России в
современном мире. Современный самолет невозможно создать без использования
компьютерных вычислений, быстрота выполнения которых зависит как от создания
самого «суперкомпьютера», так и от создания математических методов
моделирования и методов вычислений. Именно в очень большой степени обеспечивает
сокращение времени создания самолета (или чего – то другого). Можно привести
интересные сведения про выдающегося математика и организатора науки Келдыша
М.В. (1911-1978), заслугой которого определяется огромный скачек в развитии в
нашей стране прикладной (вычислительной) математике, именно благодаря которой
мы были первыми в космосе! Можно привести интересный факт о том, что выдающийся
американский кардиохирург Майкл Эллис Дебейки (1908-2008) сделал абсолютно
бесплатно операцию на сердце М.В.Келдышу, заявив, что жизнь Келдыша М.В. исключительно
важна для мировой науки (операцию на сердце Б.Ельцину он сделал за большие
деньги).
2.
Занимательность.
Очень важным в занятиях является принцип
«занимательности», использование которого идет от Н.И.Лобачевского, который
считал, что занимательность есть необходимое средство возбуждать и поддерживать
внимание и интерес, без которых и преподавание и обучение не может быть
интересным. Занимательность может и должна поддерживаться многими средствами:
привлечением историко-математического материала (для показа прошлого и
настоящего науки, перспектив ее развития и развития возможностей общества на
основе ее достижений). Справедливость этих педагогических суждений
Н.И.Лобачевского подтверждается исследовательской работой и многолетним опытом
работы школ.
Пример:
Рассмотрим занятие на тему «Делимость
чисел».
Учитель формулирует задачу из учебника
алгебры: «Доказать, что число а(а2-1) при любом натуральном а делится на 6,
которую они решали, разлагая данное выражение на множители. Далее предлагалось
доказать, что при любом натуральном пчисло 122п+1 +11п+2 делится на 133. После некоторого
обдумывания учащимся задается вопрос: «Почему не применяете известный метод
разложения числа на множители?». Выясняется, что этот способ здесь неприменим,
т.к. слагаемые 122п+1=12∙122п и 11п+2=11п∙112=121∙11п не имеют общих множителей. Итак,
прежних знаний явно не хватает. Необходим какой-то другой, скорее всего,
принципиально другой метод решения. Вот оно – противоречие между поставленной
задачей и имеющимися знаниями! Противоречие – двигатель прогресса! Если никто
из учащихся не предлагает новой идеи, надо поставить «наводящие вопросы»:
-делится ли каждое из данных слагаемых на
133? (верно ли, что если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их
сумма делится на это число? А наоборот?). Взять числа 12 и 13 делятся на 5, а
каждое из них – нет? Оказывается, дело в остатках от их деления на 5. А если
взять числа 12 и 11 и порассуждать? Таким образом становится ясно, что все дело
в остатках от деления, вернее в их сумме. Оказывается, мы «нащупали» способ
решения исходной задачи через сравнение их остатков от деления.
Существует специальная отрасль математики,
изучающая свойства указанных сравнений. Она так и называется - теория
сравнений. Далее доказываются соответствующие теоремы об остатках произведения
двух чисел, от деления степени и т.д. Таким образом учащиеся подводятся к
изучению теории деление по mod (d)
(отсылаем к учебнику «Алгебра и начала анализа 10» по редакцией С.Никольского.
Решение же данной задачи следущее:
1-е слагаемое = 122п+1=12∙144п; 2-е слагаемое = 11п21=121∙11п;
144=11(mod133); 144п=(144-133)п(mod133)=11п(mod133);
12∙144п=12∙11п(mod133)
Т.е 122п+1=12∙11п( mod133),далее:
121=-12 (mod133); 121∙11п=-12∙11п (mod133),
т.е. 11п+2=-12∙11п (mod133), складывая соответствующие сравнения получаем 122п+1+11п+2=0
(mod133), что и требовалось доказать.
Данный пример показывает целесообразность
применения (исследовательского) проблемного метода обучения, т.к. позволяет
развивать исследовательские способности учащихся. В истории науки много
примеров, когда поиски решения одной задачи приводили к созданию целой
математической теории.
3. Активизация познавательной деятельности
учащихся.
Активизация познавательной деятельности
(проблемный метод обучения) отличается от пассивного тем, что оно вскрывает
процесс получения знаний, показывает происхождение и логику открытия. Но здесь
есть некоторые сомнения. Вспомним из истории , что даже такие великие
математики как Декарт, Ферма и даже гений математики Эйлер не смогли дать
безупречной математической теории комплексных или иррациональных чисел.
Основываясь на закономерностях психологии творческой деятельности профессор М. Клайн (1882- 1960)считает (вслед за другими
математиками – Остроградский, Лобачевский, Стеклов), что доказательство должно
«появляться постепенно», соответственно уровню математического развития
обучаемого. Способность оценить строгость того или иного математического
доказательства приобретается постепенно и, к сожалению, разновременно… Таким
образом, имеются «за» и «против» проблемного обучения. Как всегда критерием
истины является практика. Кроме того, опыт показывает, что установление
взаимосвязей между различными разделами математики является необходимым
условием сознательного
изучения математической
науки. И чем больше связей между разделами математики установлено и закреплено
в сознании учащегося, тем прочнее его знания.
Примеры:
1.
Для
формирования умений применять методы математики (например, при изучении темы
«Графической решение на максимум и миним функции») можно с учащимися 8-9
классов рассмотреть следующую задачу: «Имеется 160 м проволоки. Этой проволокой
надо оградить прямоугольный участок так, чтобы площадь участка была наибольшей.
Найти длину и ширину такого участка. Пусть Х- ширина такого участка, тогда (80-Х) есть длина этого участка, а площадь
равна Х(80-Х). Построив
график функции у = Х(80-Х) учащиеся без труда определят
максимальное значение площади (у), а затем и ширину 40м и длину 40м. Здесь
можно помочь учащимся сделать следующий обобщающий вывод: при фиксированном
периметре прямоугольника максимальной площадью обладает квадрат.
2.
Очень полезно
вернуться к данной задаче в старших классах. Графический способ нагляден, ясен
и … чаще всего неточен, т.к. построение достаточно точных графиков требует
специальной бумаги («миллиметровки»), вычислений, графических навыков и т.д.
Эти трудности графического метода лишь подчеркнут преимущества решения задач
такого типа через производные.
Опыт показывает, что при практическом
отсутствии в школах предмета «Черчение» ознакомление учащихся с графическими
методами решения задач, графической обработкой результатов измерений (физика)
неизменно интересны учащимся, т.к. им хочется что-то делать руками и
инструментами по результатам работы головы. Все это способствует совместной
реализации нескольких методических подходов при изучении школьного курса
математики, а именно:
-дидактика математики;
-межпредметная интеграция;
-проблемно-поисковые технологии
(исследовательская, проектная) и др.
4. Логика
Основы логики – это разделенное единство
следующих областей знания: элементы математической логики, элементы формальной
логики элементы логики научного исследования*.
Примечание*: логика научного исследования
включает в себя наблюдение частных случаев и формирование гипотезы (чаще всего
на основе интуиции), аналогии, догадок, обобщения, подтверждение (или
опровержение) выдвинутого предположения на практике, проведение дедуктивного
доказательства и поиск практических приложений.
Для учащихся при беседе о логике (а именно
об «алгебре логики») достаточно ограничится следующими понятиями: -квантор
общности (перевернутая заглавная буква А); -предикат Р(х)(утверждение), знак
импликации (следует) =>, знак логической эквивалентности <=>.
Примеры:
1) Обозначим через Р (х) предикат «x делится
на 5». Используя квантор общности, можно формально записать следующие
высказывания (конечно, ложные):
-любое натуральное число кратно 5;
-каждое натуральное число кратно 5;
-все натуральные числа кратны 5;
следующим образом:
2)Следующие
(уже истинные) высказывания используют квантор существования:
-
существуют натуральные числа, кратные 5;
-
найдётся натуральное число, кратное 5;
-
хотя бы одно натуральное число кратно 5.
Их
формальная запись:
Использование
кванторов на уроках геометрии существенно сокращает запись формулировок и
доказательств.
3)Приведем определение параллелограмма
(геометрия 8 класс):
ABCD-параллелограмм <=> AB ││ CD и
AD ││ BC
Ни у кого не вызывает сомнений, что овладение
элементами логики повышает не просто «знание математики», но и математическую
культуру, а вслед за этим и понимание красоты математики. При рассмотрении
доказательства важной алгебраической теоремы один крупный математик сказал:
«Это доказательство недостаточно красиво, чтобы быть верным», и в итоге
оказался прав.
5. Математика и окружающий мир
Очевидно, что с экологией в нашей стране
«не все в порядке»- одна проблема утилизации бытового мусора чего стоит!
Серьезная озабоченность ученых всех стран проблемами охраны природы и
рационального использования заставляет искать пути осуществления совместных
мероприятий по защите окружающей среды. Создателем науки о биосфере как единого
целого является великий русский ученый В.И.Вернадский (1863-1945). Согласно его
мнению, термин «биосфера» нужно понимать широко, включая в него: -«живое
вещество»( совокупность живых организмов); - биогенное вещество (минеральные и
органические продукты жизнедеятельности «живого вещества» - нефть, каменный
уголь, торф, горючие газы и т.п.); - «биокосное вещество» (результат
взаимодействия живых организмов и неживой природы – осадочные породы, вода,
газы нижних слоев атмосферы и др.
В последнее время промышленное потребление
кислорода постоянно растет. На примере нарушения круговорота кислорода в
природе (потребление-воспроизведение) можно рассмотреть баланс соотношений
между основными химическими соединениями, баланс энергии, выяснить тенденции,
скорости нарушения взаимодействия этих балансов и искать пути к устранению этих
нарушений.
Балансовые соотношения можно записать так: ΣАк – ΣВр = ∆. Первая сумма-это количество кислорода,
поступающего из разных источников (от растений и океана). Вторая сумма – это
количество потребляемого кислорода (природные и промышленные окислительные
процессы).
Примечание: причем (с учетом выделения и
потребления кислорода) в итоге больше всего кислорода на планете от растений
поступает, как это ни парадоксально, от сибирской тайги.
Нас интересует скорость изменения величины ∆ , то мы получаем дифференциальное
уравнение ∆I= ΣАI к – ΣВI р. Какие величины представляют собой
слагаемые Ак и Вк ? Они определяются из наблюдений и
зависят они от многих переменных (определением таких зависимостей занято все
мировое научное сообщество). Разработкой методов решения таких уравнений,
содержащих производные, занимается целая отрасль современной математики –
теория дифференциальных уравнений (к сожалению, теория решения простейших
дифференциальных уравнений, которые описывают развитие явлений во времени, и
так необходимая для создания математических моделей исследуемых процессов, не
дается в школе далее уравнения радиоактивного распада). Это общемировая задача
- сохранить нашу любимую уникальную планету и человечество на ней. Поэтому и
вычислительная математика и создатели «суперкомпьютеров» не стоят в стороне.
Коллективные международные усилия – залог успеха!
Очень краткое заключение
Макс Лауэ (1879-1960, Нобелевский лауреат
по физике) однажды сказал: «Математика
есть непосредственное переживание истины».
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.