Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Статья Интеграция истории в математику, как способ получения метапредметных результатов обучения.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Статья Интеграция истории в математику, как способ получения метапредметных результатов обучения.

библиотека
материалов

hello_html_m39e07dca.gifhello_html_m39e07dca.gifИнтеграция истории в математику, как способ получения метапредметных результатов обучения.

Григорий Григорьевич Воронцов учитель математики и физики, первой категории ГБОУ СОШ №1148 имени Ф.М. Достоевского



Рассказ об исторических аспектах возникновения и развития математических понятий и операций развивает у учащихся особый вид деятельности – изучение исторического материала на занятиях математикой. Систематическое использование в школьном курсе математики элементов исторической науки способствует развитию у учащихся интереса к предмету, более глубокому и прочному усвоению математики, формированию у школьников широкого научного мировоззрения.

Показывая интернациональный характер математического творчества, учитель воспитывает учащихся в духе интернационализма (что очень важно в современном поликультурном мегаполисе), а рассказ о великих ученых народов нашей страны реализует патриотическое воспитание (важность которого даже не обсуждается), вызывая у ребят чувство гордости за нашу Родину.

Вместе с тем рассказ о влиянии математики на различные сферы человеческой деятельности обеспечивает развитие межпредметных связей (что формирует целостное научное мировоззрение) и мотивирует учащихся к применению своих знаний в проектно-исследовательской деятельности.

Поясним сказанное некоторыми ситуационными примерами.

  1. Арабские цифры — так называют первоначально арабско - индийские, а ныне вошедшие во всеобщее употребление 10 цифровых знаков (включая нуль), из которых каждый, кроме абсолютного значения своего, имеет еще и относительное, в зависимости от своего положения в ряду … (Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона). При упоминании римских цифр учащиеся радостно заявляют, что знают их и знают как записать число этими цифрами! Но как только попросишь кого-нибудь записать год своего рождения - «народ безмолствует…». Тогда предлагается прочитать число 2013, записанное римскими цифрами…

  2. Десятичная система счисления. Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д. Интересно видеть недоумение у учащихся, задав им вопрос: «Десятичная система связана как-то с количеством пальцев на руках (все соглашаются). Как изменились бы наши привычные навыки счета, если бы у нас было на руках по 6 пальцев?». Не буду описывать бурный поток предположений...

Далее можно перейти к пониманию двоичной системы счисления (а это уже переход к информатике… и физике).

  1. Николай Иванович Лобачевский — создатель неевклидовой геометрии (геометрии Лобачевского). Открытие Лобачевского (1826, опубликованное 1829-30), не получившее признания современников, совершило переворот в представлении о природе пространства, в основе которого более 2 тыс. лет лежало учение Евклида и оказало огромное влияние на развитие математического мышления. Далее можно перейти к медицине (микрохирургии глаза – ведь поверхность глазного яблока можно рассматривать в первом приближении как сферическую…).

  2. Джеймс Клерк Максвелл описал электромагнитное поле системой из 20 уравнений с 12 неизвестными, что затрудняло пользование теории. И лишь после того как Оливер Хэвисайд сумел преобразовать ее в систему из 4-х дифференциальных уравнений (создав для этого новые разделы в векторном исчислении) теорией можно было пользоваться практически. К сожалению, эти новые уравнения так же носят название уравнения Максвелла!

  3. Исторический экскурс к конструкциям выдающегося русского инженера Шухова Владимира Григорьевича ,(телебашня его конструкции на Шаболовке в Москве объявлена памятником ЮНЕСКО), как основоположника применения ажурных конструкций в инженерии, позволил в старших классах при изучении тел вращения лучше понять тему, но и «спровоцировал» проектно-исследовательскую работу учащихся на тему «Гиперболоид вращения и повышение сейсмоустойчивости зданий», занявшую 3-е место в конкурсе НТТМ-2012 г. , ЮВУО г. Москвы.

История математики неразрывно связана с историей цивилизации, поэтому каждый образованный человек должен стремиться ее знать. Человек, который незнаком с историей предмета не достигнет больших успехов в науке или выбранной сфере деятельности, если не будет обращаться к их прошлому. Очень часто в каких-то вопросах все происходит по пословице «Новое-это хорошо забытое старое» но, добавим от себя, - на более современном уровне. Опыт показывает, что без знания прошлого трудно понять настоящее и невозможно правильно представить будущее.

Некоторые рекомендации методического характера, иллюстрируем на конкретных примерах.

  1. Историзм.

Историко-математические сведения хорошо запоминаются, а математика предстает перед учащимся творческим процессом и позволяют видеть движущие силы ее развития (а в некоторых случаях, наоборот, влияние математических абстракций на формирование научного мировоззрения общества).

Примеры.

При изучении начал тригонометрии полезными окажутся сведения из истории древнего востока. В 13 веке создатель Марагинской (Восточный Азербайджан, Иран) обсерватории Урди изготовил 3-метровую модель подвижного прямоугольного треугольника. Его можно назвать синус-инструментом, т.к. он позволяет без вычислений находть значение этой тригонометрической функции (т.е. по сути он представляет собой подвижную номограмму для решения задач по теме «Решение прямоугольных треугольников»-важнейшую тему на ГИА и ЕГЭ по математике). Когда учитель знакомит учащихся с приемами косвенного измерения недоступных элементов при помощи построения соответствующих фигур (в основном это треугольники) он может задать вопрос: «Зачем понадобилось средневековому астроному создавать такой большой инструмент?» (Ассоциативная память сработает – и , зная правила приближенных вычислений, ученик 9 класса вполне правильно ответит на этот вопрос). Протянется ассоциативная цепочка к решению прямоугольных треугольников!

Есть несколько видов использования исторического экскурса на занятиях математикой:

А) Эпизодический: ссылки на первооткрывателя формулы, теоремы, метода решения и т.п. при ознакомлении учащихся с конкретным материалом; рассмотрение определенной исторической задачи или доказательства (например, доказательство Евклида (Александрия, 3 век до н.э.) бесконечности множества простых чисел.

Б) Обзор жизни и творчества отдельных выдающихся математиков : Э.Галуа(1811-1832), французский математик, исследования которого оказали исключительно сильное влияние на развитие алгебры, убитый на дуэли в возраст 21 год ; Н.И. Лобачевский (1792-1856)-русский математик, создатель «неевклидовой» геометрии; С.В.Ковалевской (1850—1891) — математик, писательница и публицист. К слову, ее автобиографическое произведение. "Воспоминания детства" (1890) входит в число важных источников по биографии Ф. М. Достоевского.

В) Обзор математических результатов полученных в ту или иную историческую эпоху или относящихся к развитию определенных математических теорий:

например, тот же Э.Галуа(1811-1832), который в письме к другу, написанном накануне дуэли, формулирует основные теоремы об интегралах от алгебраических функций, вновь открытые значительно позже в работах Римана.

Г) Изучение определенной темы, например: история математической символики; история систем счисления (от древних вавилонян –от них сохранились значение числа 60 в нашей практической жизни (60 секунд в минуте, 60 минут в часе и т.д.)- до компьютера: тут целесообразно коснуться значения компьютерных вычислений. Важным (но не единственным) примером является понятие «суперкомпьютер» и иго роль в обеспечении исторически необходимого экономического прорыва России в современном мире. Современный самолет невозможно создать без использования компьютерных вычислений, быстрота выполнения которых зависит как от создания самого «суперкомпьютера», так и от создания математических методов моделирования и методов вычислений. Именно в очень большой степени обеспечивает сокращение времени создания самолета (или чего – то другого). Можно привести интересные сведения про выдающегося математика и организатора науки Келдыша М.В. (1911-1978), заслугой которого определяется огромный скачек в развитии в нашей стране прикладной (вычислительной) математике, именно благодаря которой мы были первыми в космосе! Можно привести интересный факт о том, что выдающийся американский кардиохирург Майкл Эллис Дебейки (1908-2008) сделал абсолютно бесплатно операцию на сердце М.В.Келдышу, заявив, что жизнь Келдыша М.В. исключительно важна для мировой науки (операцию на сердце Б.Ельцину он сделал за большие деньги).

  1. Занимательность.

Очень важным в занятиях является принцип «занимательности», использование которого идет от Н.И.Лобачевского, который считал, что занимательность есть необходимое средство возбуждать и поддерживать внимание и интерес, без которых и преподавание и обучение не может быть интересным. Занимательность может и должна поддерживаться многими средствами: привлечением историко-математического материала (для показа прошлого и настоящего науки, перспектив ее развития и развития возможностей общества на основе ее достижений). Справедливость этих педагогических суждений Н.И.Лобачевского подтверждается исследовательской работой и многолетним опытом работы школ.

Пример:

Рассмотрим занятие на тему «Делимость чисел».

Учитель формулирует задачу из учебника алгебры: «Доказать, что число а(а2-1) при любом натуральном а делится на 6, которую они решали, разлагая данное выражение на множители. Далее предлагалось доказать, что при любом натуральном пчисло 122п+1 +11п+2 делится на 133. После некоторого обдумывания учащимся задается вопрос: «Почему не применяете известный метод разложения числа на множители?». Выясняется, что этот способ здесь неприменим, т.к. слагаемые 122п+1=12∙122п и 11п+2=11п112=121∙11п не имеют общих множителей. Итак, прежних знаний явно не хватает. Необходим какой-то другой, скорее всего, принципиально другой метод решения. Вот оно – противоречие между поставленной задачей и имеющимися знаниями! Противоречие – двигатель прогресса! Если никто из учащихся не предлагает новой идеи, надо поставить «наводящие вопросы»:

-делится ли каждое из данных слагаемых на 133? (верно ли, что если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число? А наоборот?). Взять числа 12 и 13 делятся на 5, а каждое из них – нет? Оказывается, дело в остатках от их деления на 5. А если взять числа 12 и 11 и порассуждать? Таким образом становится ясно, что все дело в остатках от деления, вернее в их сумме. Оказывается, мы «нащупали» способ решения исходной задачи через сравнение их остатков от деления.

Существует специальная отрасль математики, изучающая свойства указанных сравнений. Она так и называется - теория сравнений. Далее доказываются соответствующие теоремы об остатках произведения двух чисел, от деления степени и т.д. Таким образом учащиеся подводятся к изучению теории деление по mod (d) (отсылаем к учебнику «Алгебра и начала анализа 10» по редакцией С.Никольского.

Решение же данной задачи следущее:

1-е слагаемое = 122п+1=12∙144п; 2-е слагаемое = 11п21=121∙11п; 144=11(mod133); 144п=(144-133)п(mod133)=11п(mod133); 12∙144п=12∙11п(mod133)

Т.е 122п+1=12∙11п( mod133),далее: 121=-12 (mod133); 121∙11п=-12∙11п (mod133), т.е. 11п+2=-12∙11п (mod133), складывая соответствующие сравнения получаем 122п+1+11п+2=0 (mod133), что и требовалось доказать.

Данный пример показывает целесообразность применения (исследовательского) проблемного метода обучения, т.к. позволяет развивать исследовательские способности учащихся. В истории науки много примеров, когда поиски решения одной задачи приводили к созданию целой математической теории.

3. Активизация познавательной деятельности учащихся.

Активизация познавательной деятельности (проблемный метод обучения) отличается от пассивного тем, что оно вскрывает процесс получения знаний, показывает происхождение и логику открытия. Но здесь есть некоторые сомнения. Вспомним из истории , что даже такие великие математики как Декарт, Ферма и даже гений математики Эйлер не смогли дать безупречной математической теории комплексных или иррациональных чисел. Основываясь на закономерностях психологии творческой деятельности профессор М. Клайн (1882- 1960)считает (вслед за другими математиками – Остроградский, Лобачевский, Стеклов), что доказательство должно «появляться постепенно», соответственно уровню математического развития обучаемого. Способность оценить строгость того или иного математического доказательства приобретается постепенно и, к сожалению, разновременно… Таким образом, имеются «за» и «против» проблемного обучения. Как всегда критерием истины является практика. Кроме того, опыт показывает, что установление взаимосвязей между различными разделами математики является необходимым условием сознательного изучения математической науки. И чем больше связей между разделами математики установлено и закреплено в сознании учащегося, тем прочнее его знания.

Примеры:

  1. Для формирования умений применять методы математики (например, при изучении темы «Графической решение на максимум и миним функции») можно с учащимися 8-9 классов рассмотреть следующую задачу: «Имеется 160 м проволоки. Этой проволокой надо оградить прямоугольный участок так, чтобы площадь участка была наибольшей. Найти длину и ширину такого участка. Пусть Х- ширина такого участка, тогда (80-Х) есть длина этого участка, а площадь равна Х(80-Х). Построив график функции у = Х(80-Х) учащиеся без труда определят максимальное значение площади (у), а затем и ширину 40м и длину 40м. Здесь можно помочь учащимся сделать следующий обобщающий вывод: при фиксированном периметре прямоугольника максимальной площадью обладает квадрат.

  2. Очень полезно вернуться к данной задаче в старших классах. Графический способ нагляден, ясен и … чаще всего неточен, т.к. построение достаточно точных графиков требует специальной бумаги («миллиметровки»), вычислений, графических навыков и т.д. Эти трудности графического метода лишь подчеркнут преимущества решения задач такого типа через производные.

Опыт показывает, что при практическом отсутствии в школах предмета «Черчение» ознакомление учащихся с графическими методами решения задач, графической обработкой результатов измерений (физика) неизменно интересны учащимся, т.к. им хочется что-то делать руками и инструментами по результатам работы головы. Все это способствует совместной реализации нескольких методических подходов при изучении школьного курса математики, а именно:

-дидактика математики;

-межпредметная интеграция;

-проблемно-поисковые технологии (исследовательская, проектная) и др.

4. Логика

Основы логики – это разделенное единство следующих областей знания: элементы математической логики, элементы формальной логики элементы логики научного исследования*.

Примечание*: логика научного исследования включает в себя наблюдение частных случаев и формирование гипотезы (чаще всего на основе интуиции), аналогии, догадок, обобщения, подтверждение (или опровержение) выдвинутого предположения на практике, проведение дедуктивного доказательства и поиск практических приложений.

Для учащихся при беседе о логике (а именно об «алгебре логики») достаточно ограничится следующими понятиями: -квантор общности (перевернутая заглавная буква А); -предикат Р(х)(утверждение), знак импликации (следует) =>, знак логической эквивалентности <=>.

Примеры:

1) Обозначим через Р (х) предикат «x делится на 5». Используя квантор общности, можно формально записать следующие высказывания (конечно, ложные):

-любое натуральное число кратно 5;

-каждое натуральное число кратно 5;

-все натуральные числа кратны 5;

следующим образом: 

2)Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования:

- существуют натуральные числа, кратные 5;

- найдётся натуральное число, кратное 5;

- хотя бы одно натуральное число кратно 5.

Их формальная запись: 

Использование кванторов на уроках геометрии существенно сокращает запись формулировок и доказательств.

3)Приведем определение параллелограмма (геометрия 8 класс):

ABCD-параллелограмм <=> AB ││ CD и AD ││ BC

Ни у кого не вызывает сомнений, что овладение элементами логики повышает не просто «знание математики», но и математическую культуру, а вслед за этим и понимание красоты математики. При рассмотрении доказательства важной алгебраической теоремы один крупный математик сказал: «Это доказательство недостаточно красиво, чтобы быть верным», и в итоге оказался прав.

5. Математика и окружающий мир

Очевидно, что с экологией в нашей стране «не все в порядке»- одна проблема утилизации бытового мусора чего стоит! Серьезная озабоченность ученых всех стран проблемами охраны природы и рационального использования заставляет искать пути осуществления совместных мероприятий по защите окружающей среды. Создателем науки о биосфере как единого целого является великий русский ученый В.И.Вернадский (1863-1945). Согласно его мнению, термин «биосфера» нужно понимать широко, включая в него: -«живое вещество»( совокупность живых организмов); - биогенное вещество (минеральные и органические продукты жизнедеятельности «живого вещества» - нефть, каменный уголь, торф, горючие газы и т.п.); - «биокосное вещество» (результат взаимодействия живых организмов и неживой природы – осадочные породы, вода, газы нижних слоев атмосферы и др.

В последнее время промышленное потребление кислорода постоянно растет. На примере нарушения круговорота кислорода в природе (потребление-воспроизведение) можно рассмотреть баланс соотношений между основными химическими соединениями, баланс энергии, выяснить тенденции, скорости нарушения взаимодействия этих балансов и искать пути к устранению этих нарушений.

Балансовые соотношения можно записать так: ΣАк  ΣВр = ∆. Первая сумма-это количество кислорода, поступающего из разных источников (от растений и океана). Вторая сумма – это количество потребляемого кислорода (природные и промышленные окислительные процессы).

Примечание: причем (с учетом выделения и потребления кислорода) в итоге больше всего кислорода на планете от растений поступает, как это ни парадоксально, от сибирской тайги.

Нас интересует скорость изменения величины  , то мы получаем дифференциальное уравнение I= ΣАI к  ΣВI р. Какие величины представляют собой слагаемые Ак и Вк ? Они определяются из наблюдений и зависят они от многих переменных (определением таких зависимостей занято все мировое научное сообщество). Разработкой методов решения таких уравнений, содержащих производные, занимается целая отрасль современной математики – теория дифференциальных уравнений (к сожалению, теория решения простейших дифференциальных уравнений, которые описывают развитие явлений во времени, и так необходимая для создания математических моделей исследуемых процессов, не дается в школе далее уравнения радиоактивного распада). Это общемировая задача - сохранить нашу любимую уникальную планету и человечество на ней. Поэтому и вычислительная математика и создатели «суперкомпьютеров» не стоят в стороне. Коллективные международные усилия – залог успеха!

Очень краткое заключение

Макс Лауэ (1879-1960, Нобелевский лауреат по физике) однажды сказал: «Математика есть непосредственное переживание истины».



Автор
Дата добавления 05.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров172
Номер материала ДA-028988
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх