Исследовательская деятельность
на уроках математики в 8 классе.
«Мир полон
решений,
ищущих
свои проблемы»
Р.Эванс
Каждому ребенку
дарована от природы склонность к познанию окружающего мира. Поэтому будем
прививать нашим ученикам вкус к поиску и исследованию. Пусть они почувствуют
прелесть открытия!
Чтобы «вызвать» в
уме ученика мыслительный процесс, который переживает творец и изобретатель, нужно
научить его умению анализировать, сравнивать, комбинировать, обобщать и делать
выводы, выявлять сходства. Для этого поставим перед учащимися задачу:
Выявить….
Установить…
Обосновать…
Уточнить…
Разработать… или доказать какую либо идею.
1.Исследование
на уроке алгебры по теме: «Теорема Виета»
В качестве
иллюстрации учебного исследования приведем пример
урока алгебры в 8
классе по теме: «Теорема Виета».
I этап. Мотивация.
Создание условий для
возникновения у ученика вопроса или проблемы.
На этапе – мотивация
- использован прием «погружение в проблему», основанный на личностной реакции
ребенка на стимулирующий материал.
На доске написаны
приведенные квадратные уравнения. Учитель предлагает ученикам провести
соревнование в вычислении корней квадратных уравнений. Дети умеют это делать по
формуле корней квадратного уравнения.
Учащиеся удивляются,
каким образом учителю удается угадывать корни уравнений без вычислений?
Ученики высказывают
предположение о существовании особых свойств приведенного квадратного
уравнения, либо о существовании новой формулы корней квадратного уравнения.
Ученики ставят проблемный вопрос:
«Существует ли
связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если
существует, то какова эта связь?»
II этап. Формулирование проблемы – самый «тонкий» и
творческий компонент мыслительного процесса. В идеале сформулировать проблему
должен сам ученик в результате мотивирующей задачи. Однако в реальной школьной
практике такое случается не всегда: для очень многих школьников самостоятельное
определение проблемы затруднено; предлагаемые ими формулировки могут оказаться
неправильными. А поэтому необходим контроль со стороны учителя.
III этап. Сбор, систематизация и анализ фактического
материала .
На данном
этапе проводится поиск путей решения проблемы.
Он может
осуществляться посредством проведения испытаний, всевозможных проб, измерения
частей фигуры, каких-либо сравнений, исследований параметров и т.д.
Систематизацию и анализ полученного материала удобно осуществлять с помощью
таблиц, схем, графиков и т.п. – они позволяют визуально определить необходимые
связи, свойства, соотношения, закономерности.
Дети получают
заготовку таблицы «Рабочий лист» и им предлагается план проведения исследования.
План
исследования:
1.Решите каждое
квадратное уравнение известным способом.
2.Заполните рабочий
лист.
3.Сравните результаты
колонок №2 и№5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.
4.Сравните результаты
колонок№3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.
5.Ответьте на вопрос
урока.
6.Подготовьте отчет.
Учащиеся заполняют
таблицу:
Рабочий лист
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
Приведенное
квадратное
уравнение
х2+pх+q=0
|
Второй коэффициент p
|
Свободный член q
|
Корни х1
и х2
|
Сумма корней х1
и х2
|
Произведение корней
х1∙х2
|
х2+7х+12=0
|
7
|
12
|
-3 и -4
|
-7
|
12
|
х2-9х+20=0
|
-9
|
20
|
4 и 5
|
9
|
20
|
х2-х-6=0
|
-1
|
-6
|
-2 и 3
|
1
|
-6
|
х2+х-12=0
|
1
|
-12
|
-4 и 3
|
-1
|
-12
|
х2+х+30=0
|
1
|
30
|
нет
|
-
|
-
|
IY этап Выдвижение гипотезы.
А теперь связывание
информации и выдвижении гипотезы:
Проведенное
исследование позволяет учащимся высказать гипотезу о связи между корнями и
коэффициентами приведенного квадратного уравнения.
Гипотеза. Если х1
и х2 –корни уравнения х2+pх+q=0,
то х1 + х2 = -p? х1 ∙ х2 =q?
Y этап. Проверка гипотезы. Эмпирический вывод требует теоретического
обоснования.
Ученики предполагают,
что если истинность гипотезы удастся доказать путем рассуждений, то они получат
новую теорему.
Проверка гипотезы
позволяет укрепить веру или усомниться в истинности предложений, а может внести
изменения в их формулировки.
Доказательство данной
теоремы проводит учитель или подготовленный заранее ученик.
Предлагается ребятам
составить схему теоремы, обратной записанной:
«Условие»: х1
+ х2 =- p, х1 ∙ х2 =q.
«Заключение»: х1
и х2 – корни квадратного уравнения х2 + pх +q =0.
Формулируется
учителем теорема, обратная данной.
YI этап. Применение. Заключение.
Попытаемся
определить, какие задачи можно будет решать с помощью прямой и обратной
теоремы.
Как вы думаете,
какой и этих теорем я пользовалась, когда
готовилась к уроку и
придумывала для вас приведенные квадратные уравнения?
Математиков всегда
интересовал вопрос, как решить задачу более рациональным способом.
Нельзя ли находить
корни приведенного квадратного уравнения методом подбора?
Какую теорему в этом
случае будем использовать?
Ответы учеников. Даются
задания учащимся.
Учебное исследование,
как часть урока, закончено.
2. Мини –
исследование на уроке алгебры по теме «Арифметический квадратный корень»
Кроме уроков
исследований, которые проводятся в основном при изучения новой темы, существуют
также и мини – исследования, которые проводятся на уроках отработки умений и
навыков.
Например, тема:
Исследуем выражения .
Найдем сходство и различия этих двух выражений.
I этап. Постановка вопроса.
Выяснить, равны ли
значения выражений: и . Можно ли между ними поставить знак
равенства?
II этап. Поиск путей решения.
План исследования:
1.Выполнить
извлечение квадратных корней из при выбранных
значениях а.
2.Заполнить рабочий
лист.
3.Проанализировать полученные
результаты и сделать выводы.
III. Анализ фактического материала. Выполняются учениками вычисления и
заполнение рабочего листа
не
имеет смысла.
|
а
|
|
|
Сравнение
|
а>0
|
5
|
|
|
|
а=0
|
0
|
|
|
|
а<0
|
-4
|
|
не имеет смысла
|
Сравнить нельзя
|
На основании
полученных данных при вычислении сделаем анализ:
Выражение имеет смысл при любых значениях а.
Выражение имеет смысл при неотрицательных значениях
а.
Найдем значения этих
выражений:
1. при а ≥ 0,
2. при а≥ 0 и при
а<0.
Т.е.
квадратный корень из степени числа а равен модулю числа а при любом значении
а. при любом значении а.
IYэтап.
Выдвижение гипотезы: Данные
выражения равны только при неотрицательных
значениях а.
Выполним проверку
гипотезы построением графиков функций у = и у= и убедимся в правильности найденного
нами вывода
у = у
=
Совместим эти графики
и найдем их пересечение.
Вывод:
Значения выражений и равны
при неотрицательных значениях а.
3.Мин - исследование
на уроке алгебры по теме «Квадрат суммы трех чисел».
Мини - исследование
из серии «формулы сокращенного умножения»
Тема. «Квадрат
суммы трех чисел».
В результате данного
исследования учащиеся «открывают» новую формулу.
I этап.Постановка проблемы.
Мотивирующей (исходной) задачей может служить следующая задача:
«Необходимо вычислить площадь участка квадратной формы со стороной 121м ». Как
это сделать устно и, притом, быстро?
II этап. Выдвижение гипотезы и ее проверка.
Учащиеся высказывают предположения, обосновывают их, приходят к
необходимости умножения многочлена на многочлен. А удобно ли каждый раз
выполнять умножение многочленов?
Анализируя модель этой практической задачи, ученики формулируют
проблему:
Давайте проанализируем
результаты умножения многочлена на многочлен, установим закономерности с
формулой квадрата суммы двух чисел и попробуем вывести формулу квадрата суммы
трех чисел, так как пользоваться готовой формулой всегда удобнее.
II этап. Исследование. Учащимся
предлагается план исследования:
1.Выполните умножение квадрата суммы трех чисел в общем виде (а+в+с)2.
2.Проанализируйте полученный результат и определите общие
закономерности.
Полученный результат: (а+в+с)2=(а+в+с)∙(а+в+с)=а2+ва+са+ав+в2+св+ас+вс+с2=а2+в2+с2+2ав+2са+2св.
Учитель и учащиеся обсуждают полученные решения. Сравнивают, выявляют
сходства, обобщают, делают первоначальные выводы.
После умножения многочлена на многочлен в результате получается сумма
квадратов каждого из чисел и попарных удвоенных произведений этих чисел. Значит
можно сразу записывать эти слагаемые, не умножая многочлен на многочлен.
Формулировка гипотезы: (а+в+с)2= а2+в2+с2+2ав+2са+2св
(словесный вывод) «Квадрат суммы трех чисел равен сумме квадратов
каждого слагаемого плюс всевозможные удвоенные произведения».
III этап. Проверку гипотезы проведем геометрической иллюстрацией с
применением свойств площадей.
(а+в+с)2= а2+в2+с2+2ав+2са+2св
Заключение. Теперь
вы сможете выполнить решение задачи. Площадь садового участка квадратной формы
равна 1212 = (100 + 20 + 1) 2 = 1002 + 202
+12 +2∙100∙20 + 2∙100∙1 + 2∙20∙1 = 10000 +400 + 1 + 4000 + 200 +40
=14641.
Можно вывести
самостоятельно новые формулы, используя знания и умения, полученные в ходе
исследования ( а – в + с)2 ; (а - в- с )2; (а + в – с)2.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.