Статья "Исследовательский подход к преподаванию олимпиадных задач"

«Исследовательский» подход к преподаванию математики:

методы решения уравнений в натуральных и целых числах.

Каландинская И.А.,учитель математики

лицея-интерната  для одарённых детей

с углублённым изучением химии-

филиала ФГБОУ ВО «КНИТУ»

пос.Дубровка Зеленодольского района

[e-mail]

             Как  известно,    в  педагогическом  процессе  основой  работы  с одарѐнными  учащимися  является  совершенствование  таких  факторов,  как развитие  внутреннего  деятельностного  потенциала,  способности  быть автором, творцом, активным созидателем своей жизни, уметь ставить цель, искать  способы  еѐ  достижения,  быть  способным  к  свободному  выбору  и ответственности  за  него,  максимально  использовать  свои  способности, стремясь выйти за их пределы. 

          Работа  с  одарѐнными  детьми актуальна для меня и лицея, в котором я работаю, прежде всего, тем, что она определена обучением учащихся в общеобразовательном учреждении повышенного  уровня,  которое  требует  интенсивности  образовательного уровня обучения.

В лицее созданы все условия для работы и совершенствования своих методов и приемов в работе с одарёнными детьми, а также широкому участию обучающихся в различных видах олимпиад.

Занимаясь подготовкой к олимпиадам разного уровня, я, как учитель, понимаю, что одарѐнным детям нужна разноплановая подготовка и различные технологии, которые используются для работы с ними. 

Каждая нестандартная математическая задача — это, безусловно, задача творческая и исследовательская. Более того, математические задачи служат, в определенном смысле, эталоном для исследовательских задач, возникающих в самых разнообразных областях науки и жизни. Педагог  выступает в роли руководителя и помощника при решении школьниками математических задач.

                Если  учитель математики заполнит время натаскиванием учащихся в области решения шаблонных упражнений, то он, скорее всего, убьёт их интерес и затормозит развитие. Если  учитель попытается пробудить интерес школьников, предлагая им задачи, соразмерные их знаниям и способностям, помогая им при этом продуманными наводящими вопросами, то он, возможно, сумеет привить своим подопечным вкус к самостоятельному мышлению и развить необходимые для этого навыки. Разумеется, ученик должен приобрести максимальный опыт самостоятельной работы. Но зачастую, если он окажется один на один с задачей безо всякой помощи или если эта помощь будет некорректной, пользы не будет никакой.

             Если учитель чрезмерно будет оказывать помощь, то, что же остается на долю ученика? Учитель должен уметь помогать не слишком много, и не слишком мало, а так, чтобы ребёнку оставалась часть работы. Поставив себя на место школьника, хороший учитель может увидеть источник затруднений, постараться понять, что происходит в его голове, и задать вопрос или подсказать, в каком направлении можно сделать шаг. В этом и заключается одна из важнейших составляющих искусства обучения.

 Во многих пособиях представлен обширный материал для подготовки  к олимпиадам по математике. Наиболее проблемной составляющей Единого государственного экзамена – это задачи типа С 6. Посвящены они уравнениям в целых и натуральных числах (диофантовым уравнениям), задачам на делимость чисел, десятичную запись числа, прогрессиям. Изучение соответствующих тем не входит в программу средних школ, за исключением специализированных школ с математическим уклоном. Я бы назвала их исследовательскими. По моему мнению, решая задачи олимпиадного  уровня, учитель в максимальной мере способствует развитию исследовательского мышления учащихся.      Вкратце изложим различные  методы и идеи решения задач олимпиадных задач, в частности уравнения в целых числах. На математических олимпиадах чаще всего встречаются нелинейные уравнения.

 Определение: Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или большим количеством переменных и целыми коэффициентами. Решениями этих уравнений являются все целочисленные (или рациональные) наборы, которые обращают данное уравнение в правильное равенство. Такие уравнения ещё называют диофантовыми в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые их типы.

 Виды диофантовых уравнений:

1.                 Уравнение первой степени – уравнение вида ах+ву=с, где а и в –целые, отличные от нуля числа.

2.                 Уравнение Пифагора – это уравнение вида х²+у²=z²

3.                 Теорема Ферма.  Уравнение  вида xⁿ + yⁿ= zⁿ, где n є N, n ≥ 3

не имеет решений в натуральных числах.

Рассмотрим основные методы их решения.

Задача 1. Решите уравнение х³+91=у³ в целых числах.

Решение. Запишем данное уравнение в виде (у-х)(у²+ху+х²)=91.

Так как у и х – целые, то целыми являются и выражения у-х и у²+ху+х², причём их произведение положительно. Учитывая, что у²+ху+х² больше нуля при любых значениях переменных х и у, имеем у-х больше нуля. Разложим число 91 на натуральные множители: 91= 1*91=7*13. Решения данного уравнения найдём, решив совокупность таких систем:

I. {у-х=1,

    у²+ху+х²=91;

II. {у-х=7,

    у²+ху+х²=13

III. {у-х=91,

    у²+ху+х²=1;

IV. {у-х=13,

    у²+ху+х²=7

Ответ:(5;6),(-6;-5),(-3;4),(-4;3).

Вывод. Решая  уравнение, мы воспользовались простым и популярным методом – перебором.

Задача 2. Решите уравнение х²+у²=4z-1 в целых числах.

Решение. Рассмотрим остатки от деления на 4 чисел вида х²+у².

Очевидно, что если оба числа х и у – четные, то выражение х²+у² делится на 4.

Если одно из чисел четное, а второе – нечетное, то остаток от деления на 4 выражения х²+у² равен 1.

Если оба числа х и у – нечетные, то остаток от деления выражения х²+у²   на 4 равен 2.

Правая часть при делении на 4 имеет остаток 3, так как 4z-1=4z-4+3=4(z-1)+3. Поскольку левая и правая части имеют разные остатки, то ни при каких х,у,z  уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Вывод. При решении этого уравнения рассматривались остатки от деления обеих частей уравнения на некоторое натуральное число. Этот метод используют для доказательства того, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Задача 3. Решите уравнение 5х²+5у²+8ху+2х-2у+2=0 в целых числах.

Решение. Поскольку разложить на множители левую часть исходного уравнения трудно, то рассмотрим как квадратное относительно переменной х, для этого запишем его в виде 5х²+2(4у+1)х+5у²-2у+2=0.

D/4=-9у²+18у-9=-9(у-1)². Очевидно, что уравнение будет иметь решения, если D/4 больше или равно нуля, то есть у=1, тогда х=-1.

Ответ: (-1;1).

Вывод. Применили метод рассмотрения исходного уравнения как квадратного относительно одной из переменных.

Задача 4. Решите уравнение х³-у³-9 z ³=0 в целых числах.

Решение. Запишем уравнение в виде х³=3(у³+3z³).(*)

 Из этого уравнения видно, что х делится на 3. Подставив х=3n, n€Z, в уравнение (*), получим 27n³=3(у³+3z³), откуда имеем у³=3(3n³-z³),то есть у делится на 3. Заменив у=3k, k€Z, и подставив в уравнение у³=3(3n³-z³), после преобразований получим z³=3(n³-3k³),откуда имеем, что делится на 3. Таким образом, мы получили, что х:3,у:3, z:3.

Далее, рассуждая аналогично, получим, что х/3,у/3,z/3 также кратны 3, то есть, имеем, что числа, удовлетворяющие уравнению, всегда кратны 3,сколько бы их на 3 не делили. Единственным решением этого уравнения может быть (0,0,0).

Ответ:(0,0,0).

Вывод. При решении уравнения мы применили метод бесконечного спуска.

Задача 5. Решите уравнение 2/х²+1/у=1 в натуральных числах.

Решение. Так как х и у - натуральные числа, то х²у не равны 0. Умножив обе части уравнения на х²у, получим 2у+х²=х²у. Выразив в уравнении переменную у на х, получим уравнение у=х²/(х²-2), которое равносильно уравнению                    у=1+ 2/(х²-2). Очевидно, что у будет натуральным только в случае х=2.

Ответ: (2;2).

Вывод. При решении уравнения наряду с выражением одной переменной через другую, выделением целой части в правой части уравнения и нахождения делителей числителя мы умножили обе части на выражение, не равное нулю.

      Мы рассмотрели некоторые способы решения уравнений в целых числах.

Предлагаем олимпиадные задачи, связанных  темой «Уравнения в целых и натуральных числах».

7 кл. Ученик утверждает, что знает решение уравнения х⁶у+ху⁶=2015

в натуральных числах.  Докажите, что ученик ошибся.

8 кл. Андрей  родился в XIX веке, а его брат Кирилл – в  XX веке. Однажды братья встретились на праздновании своего общего дня рождения. Андрей сказал: «Мой возраст равен сумме цифр года моего рождения».

«Мой тоже», - ответил Кирилл. На сколько лет Кирилл младше Андрея?

Ответ: Кирилл младше Андрея на 9 лет.

9 кл. Найти все тройки натуральных чисел x, y, z удовлетворяющих уравнению 28х+30у+31z=36.

Ответ: (1; 4; 7) и (2; 9; 1).

10 кл. Решить в целых числах уравнение:1+х+х²+х³=2^у.

Ответ: (0;0);  (1;2).

11кл. Найдите количество решений уравнения в целых числах:

.

Ответ:  (0;1);   (0;0);    (1;1).

Как видим, приведённые задачи, нестандартные по оформлению и условию, интересные своими рассуждениями и методом решения. Так как математические олимпиады достаточно широко распространены, то преподавателю в рамках педагогической деятельности помимо занимательных задач повышенной трудности необходимо инициировать  обучающихся на собственное развитие математических умений и способностей, на решение нестандартных задач.

Важную роль в  развитии умений и навыков решения олимпиадной задачи отводится учителю, роль которого обеспечить обучающегося рациональными приемами решения, а также ресурсами: пособиями, сайтами, учебной литературой, если это нужно для плодотворной и успешной работы.

Другое дело, если обучающийся имеет особый талант к математике, может решить задачи, которые не по силам многим из одноклассников или даже преподавателей хорошего уровня подготовки. Здесь важно питать интерес ученика, завлечь нестандартностью решения, особыми приемами и методами.

Литература

1.                 Шатрова Ю.С. Особенности работы с математически одаренными детьми // Тенденции и перспективы развития математического образования: материалы XXXIII. Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов, посвященного 100-летию ВятГГУ. – Киров: Изд-во ВятГГУ; ООО «Радуга-ПРЕСС», 2014. – с.378-379.

2.                 Гущин Д. Региональная олимпиада по математике. 11 класс. Санкт–Петербургский государственный университет физический факультет. [Электронный  ресурс] - Режим доступа: http://www.mathnet.spb.ru/olymp/ff/pdfs/2006-11-01.pdf

3.                 Севрюков П.Ф. Школа решения олимпиадных задач по математике. –М.: Илекса, 2013.

4.                 Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. – М.: Наука, 1975.

5.                 Фарков А.В. Методы решения олимпиадных задач.10-11 классы. – 2-е изд., испр. – М.: ИЛЕКСА, 2016 – 110 с.