1162843
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаНаучные работыСтатья, ЛЮРИГАРМОНИЧНОСТЬ В ПУЧКИ ПРЯМЫХ

Статья, ЛЮРИГАРМОНИЧНОСТЬ В ПУЧКИ ПРЯМЫХ

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

ЛЮРИГАРМОНИЧНОСТЬ В ПУЧКИ ПРЯМЫХ

Начнем с известного определения круговых областей .

Определение I . Область называется полной круговой ,если , для каждого и .

Результаты этого параграфа непосредственно связаны со следущей теоремой Форелли.

Теорема (Форелли) . Пусть - полная круговая область в . Предположим , что функция обладает следющими свойствами:

  1. U- беэконечно гладкая в окрестности нуля :

  2. Для каждога фиксированнога функция гармонична в круге

Тогда функция U прюригармонична в D .

Пример K - раз гладкой функции показывает, что сфорулированный результат показывается неверным , если условие I - безконечной гладкости заменить условием существования толька конечного числа произвадных в окрестности . Мы докажим , што условие можно заменить более удобным условием субгармоничности в некоторе окрестности нуля .

Теорема 1. Пусть D - полная круговая область в и функция, заданная в D удовлетворяет следующим условиям:

  1. U субгармоническая в некоторой окрестности,

  2. Для каждого фиксированного функция гармонична в круге .

Тогда функция U плюгармонична в D

Доказательство теоремы I.. Из условия теоремы и по формуле Пуассона , для каждого фиксированного числа и точки имеем где . Как и в теореме I. сначала рассмотрим случай, когда . Из условия теоремы для каждого фиксированного ,в окрестности G , продифференцировав по Z обе стороны равенства (I.2) имее , причем при

Положим функция голоморфна по в круге и согласно (I.3) . Следовательно , при фиксированном либо тождественно равна нуля , либо переводит окрестность нуля в некоторую окрестность нуля . Последнее невозможно в силу того что. Отсюда следует , что для любых фиксированных ,и Значит и,т.e. U гармонично в окрестности начала координат . Следовательно как фунция , и по сформулерованной теореми Форелли U будет плюгармонической в D.

Теперь рассмотрим общий случай , когда U - поизвольная субгармоническая функция . В этом случае имеет место положительность в обобщенном смысле , т.е. для любой неотрецательной финитной в окристности G функции класса фиксириуем . Тогда для любой неотрецательной финитной в G функции класса

По формуле Пуассона и по теореми Фубени имеeгде

Ясно, что функция

Голоморфная по функция либо тождественно равна нуля , либо переводит окрестность нуля в некоторую окрестность нуля . Последнее невозможно в силу того , что в . Отсюда для любого И.

Следовательно для любой неотрецательной в функции класса .Это означает ,что гармонично в , и , в частности , бесконечно гладкая в окрестности нуля . Отсюда следует , что плюгармонична в .

Теорема доказана.

Теорему 1.можно применить к продолжению голоморфних функциий в следующей формулировке :

Следствие 1. Пусть функция заданная в полной куруговой области удоблетвояет слудующим условиям:

  1. - субгармонична в окрестности .

  2. Сужение голоморфно в для каждой комплексной прямой .

Тогда голоморфна по совокупности переменных в .

В самом деле согласно теоремы 1.2 является плюгармоческой в .

Берем шар и в нем находим функцию такую , что . Тогда разность обладает следующими свойствамии: и сужение голоморфно в круге . Следовательно , - константа , зависящая , быть может от . Но отсюда и является голоморфной функцией в . Применяя теорему Форелли , мы получаем голоморфность в области . Следствие доказано.

Доказательство следуюшего результата легко вытекает из субгармоничности выцуклых функций.

Следствие 2. Пусть D полная круговая область в и функция , заданная в D удовлетворяет следующим условиям:

  1. U выцуклая в некоторой окрестности

  2. Для каждого фиксированного функция гармонично в круге .

Тогда функция U плюригармонична в D.





Общая информация

Номер материала: ДБ-140342

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.