Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Статья, ЛЮРИГАРМОНИЧНОСТЬ В ПУЧКИ ПРЯМЫХ

Статья, ЛЮРИГАРМОНИЧНОСТЬ В ПУЧКИ ПРЯМЫХ

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

ЛЮРИГАРМОНИЧНОСТЬ В ПУЧКИ ПРЯМЫХ

Начнем с известного определения круговых областей .

Определение I . Область называется полной круговой ,если , для каждого и .

Результаты этого параграфа непосредственно связаны со следущей теоремой Форелли.

Теорема (Форелли) . Пусть - полная круговая область в . Предположим , что функция обладает следющими свойствами:

  1. U- беэконечно гладкая в окрестности нуля :

  2. Для каждога фиксированнога функция гармонична в круге

Тогда функция U прюригармонична в D .

Пример K - раз гладкой функции показывает, что сфорулированный результат показывается неверным , если условие I - безконечной гладкости заменить условием существования толька конечного числа произвадных в окрестности . Мы докажим , што условие можно заменить более удобным условием субгармоничности в некоторе окрестности нуля .

Теорема 1. Пусть D - полная круговая область в и функция, заданная в D удовлетворяет следующим условиям:

  1. U субгармоническая в некоторой окрестности,

  2. Для каждого фиксированного функция гармонична в круге .

Тогда функция U плюгармонична в D

Доказательство теоремы I.. Из условия теоремы и по формуле Пуассона , для каждого фиксированного числа и точки имеем где . Как и в теореме I. сначала рассмотрим случай, когда . Из условия теоремы для каждого фиксированного ,в окрестности G , продифференцировав по Z обе стороны равенства (I.2) имее , причем при

Положим функция голоморфна по в круге и согласно (I.3) . Следовательно , при фиксированном либо тождественно равна нуля , либо переводит окрестность нуля в некоторую окрестность нуля . Последнее невозможно в силу того что. Отсюда следует , что для любых фиксированных ,и Значит и,т.e. U гармонично в окрестности начала координат . Следовательно как фунция , и по сформулерованной теореми Форелли U будет плюгармонической в D.

Теперь рассмотрим общий случай , когда U - поизвольная субгармоническая функция . В этом случае имеет место положительность в обобщенном смысле , т.е. для любой неотрецательной финитной в окристности G функции класса фиксириуем . Тогда для любой неотрецательной финитной в G функции класса

По формуле Пуассона и по теореми Фубени имеeгде

Ясно, что функция

Голоморфная по функция либо тождественно равна нуля , либо переводит окрестность нуля в некоторую окрестность нуля . Последнее невозможно в силу того , что в . Отсюда для любого И.

Следовательно для любой неотрецательной в функции класса .Это означает ,что гармонично в , и , в частности , бесконечно гладкая в окрестности нуля . Отсюда следует , что плюгармонична в .

Теорема доказана.

Теорему 1.можно применить к продолжению голоморфних функциий в следующей формулировке :

Следствие 1. Пусть функция заданная в полной куруговой области удоблетвояет слудующим условиям:

  1. - субгармонична в окрестности .

  2. Сужение голоморфно в для каждой комплексной прямой .

Тогда голоморфна по совокупности переменных в .

В самом деле согласно теоремы 1.2 является плюгармоческой в .

Берем шар и в нем находим функцию такую , что . Тогда разность обладает следующими свойствамии: и сужение голоморфно в круге . Следовательно , - константа , зависящая , быть может от . Но отсюда и является голоморфной функцией в . Применяя теорему Форелли , мы получаем голоморфность в области . Следствие доказано.

Доказательство следуюшего результата легко вытекает из субгармоничности выцуклых функций.

Следствие 2. Пусть D полная круговая область в и функция , заданная в D удовлетворяет следующим условиям:

  1. U выцуклая в некоторой окрестности

  2. Для каждого фиксированного функция гармонично в круге .

Тогда функция U плюригармонична в D.





Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 09.07.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров49
Номер материала ДБ-140342
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх