Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Статьи / Статья "Математические этюды.9. Объём многогранника"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Статья "Математические этюды.9. Объём многогранника"

библиотека
материалов

hello_html_m6150f105.jpghello_html_m7c2ac72f.pnghello_html_m6150f105.jpg

Удивительные объемы многогранников



Литература

 С.Н. Михалев. Изометрические реализации октаэдров Брикара 1-го и 2-го типов с известными значениями объема // Фундаментальная и прикладная математика. 2002. Т. 8, N 3. С. 755-768.

Можно ли из одинаковых граней сложить выпуклый и невыпуклый многогранники? Конечно, можно, скажете Вы. Один из примеров приведен на hello_html_62737c15.pngэтом рисунке.

Пусть из одинаковых наборов граней удалось сложить выпуклый и невыпуклый многогранник. У которого из них объем будет больше?

Оказывается, можно так подобрать грани, что объем невыпуклого многогранника будет больше объема выпуклого, составленного из тех же граней. Расскажем о наилучшем известном таком примере.

Рассмотрим два треугольника, которые и будут гранями будущих многогранников. Как мы видим, каждый треугольник одновременно становится гранью и в одном и в другом многограннике. Тот многогранник, который строится слева, будет выпуклым, тот, что справа, — невыпуклым.

Оба построенных многогранника — октаэдры (хотя и не правильные), т.е. имеют по 6 вершин и 8 граней.

Что такое в житейском смысле объем тела, в частности многогранника? Это то, сколько жидкости может быть налито внутрь этого многогранника. Отрежем вершинки и нальем внутрь каждого многогранника воду. Выпуклый многогранник уже наполнился, а невыпуклый — еще нет. Но возможно, вода наливалась с разной скоростью: чтобы правильно сравнить объемы, выльем жидкость из каждого многогранника в одинаковые стаканы. Уровень воды в правом стакане выше, чем в левом, значит, объем невыпуклого многогранника действительно больше объема выпуклого.

Если посчитать аккуратно, то можно вычислить, что отношение объема невыпуклого многогранника к объему выпуклого равно 1,163.

В нашей задаче действительно правильнее рассматривать отношение объемов, а не их разницу, т.к. отношение не зависит от размеров изначальных треугольников, использованных в качестве граней для построения многогранников.

В рассмотренном примере объем построенного невыпуклого многогранника более чем на 16% больше объема выпуклого. Данные многогранники вы можете реализовать сами, используя грани с указанными сторонами.

Однако до сих пор неизвестно, насколько большим может быть отношение объема невыпуклого многогранника к объему выпуклого, составленного из тех же граней. Этот вопрос еще ждет своего исследователя!

hello_html_371aff67.jpg
Выпуклый и невыпуклый многогранники из одинаковых граней


hello_html_m2c42c909.jpg


hello_html_14cca7ee.jpgНеправильные октаэдры, выпуклый и невыпуклый, построенные из одинаковых треугольников


hello_html_m51c4bfc5.jpg
Нальем внутрь каждого многогранника воду


hello_html_m38794172.jpg
Объем невыпуклого многогранника больше, чем выпуклого


hello_html_6af26753.jpg
Проверка утверждения



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Работа - по сути красочный лист из импровизированного математического журнала для школьников. Его можно использовать как дополнительный исторический материал к уроку или на внеклассное мероприятие. Выпуклые и невыпуклые многогранники из одинаковых граней... Просмотр материала не отражает композиции, скачай - всё увидишь!

Автор
Дата добавления 19.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров114
Номер материала ДВ-539658
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх