Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Статья "Математические этюды.9. Объём многогранника"

Статья "Математические этюды.9. Объём многогранника"

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ ОТ ПРОЕКТА "ИНФОУРОК":
СКАЧАТЬ ВСЕ ВИДЕОУРОКИ СО СКИДКОЙ 86%

Видеоуроки от проекта "Инфоурок" за Вас изложат любую тему Вашим ученикам, избавив от необходимости искать оптимальные пути для объяснения новых тем или закрепления пройденных. Видеоуроки озвучены профессиональным мужским голосом. При этом во всех видеоуроках используется принцип "без учителя в кадре", поэтому видеоуроки не будут ассоциироваться у учеников с другим учителем, и благодарить за качественную и понятную подачу нового материала они будут только Вас!

МАТЕМАТИКА — 603 видео
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА — 577 видео
ОБЖ И КЛ. РУКОВОДСТВО — 172 видео
ИНФОРМАТИКА — 201 видео
РУССКИЙ ЯЗЫК И ЛИТ. — 456 видео
ФИЗИКА — 259 видео
ИСТОРИЯ — 434 видео
ХИМИЯ — 164 видео
БИОЛОГИЯ — 305 видео
ГЕОГРАФИЯ — 242 видео

Десятки тысяч учителей уже успели воспользоваться видеоуроками проекта "Инфоурок". Мы делаем все возможное, чтобы выпускать действительно лучшие видеоуроки по общеобразовательным предметам для учителей. Традиционно наши видеоуроки ценят за качество, уникальность и полезность для учителей.

Сразу все видеоуроки по Вашему предмету - СКАЧАТЬ

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m6150f105.jpghello_html_m7c2ac72f.pnghello_html_m6150f105.jpg

Удивительные объемы многогранников



Литература

 С.Н. Михалев. Изометрические реализации октаэдров Брикара 1-го и 2-го типов с известными значениями объема // Фундаментальная и прикладная математика. 2002. Т. 8, N 3. С. 755-768.

Можно ли из одинаковых граней сложить выпуклый и невыпуклый многогранники? Конечно, можно, скажете Вы. Один из примеров приведен на hello_html_62737c15.pngэтом рисунке.

Пусть из одинаковых наборов граней удалось сложить выпуклый и невыпуклый многогранник. У которого из них объем будет больше?

Оказывается, можно так подобрать грани, что объем невыпуклого многогранника будет больше объема выпуклого, составленного из тех же граней. Расскажем о наилучшем известном таком примере.

Рассмотрим два треугольника, которые и будут гранями будущих многогранников. Как мы видим, каждый треугольник одновременно становится гранью и в одном и в другом многограннике. Тот многогранник, который строится слева, будет выпуклым, тот, что справа, — невыпуклым.

Оба построенных многогранника — октаэдры (хотя и не правильные), т.е. имеют по 6 вершин и 8 граней.

Что такое в житейском смысле объем тела, в частности многогранника? Это то, сколько жидкости может быть налито внутрь этого многогранника. Отрежем вершинки и нальем внутрь каждого многогранника воду. Выпуклый многогранник уже наполнился, а невыпуклый — еще нет. Но возможно, вода наливалась с разной скоростью: чтобы правильно сравнить объемы, выльем жидкость из каждого многогранника в одинаковые стаканы. Уровень воды в правом стакане выше, чем в левом, значит, объем невыпуклого многогранника действительно больше объема выпуклого.

Если посчитать аккуратно, то можно вычислить, что отношение объема невыпуклого многогранника к объему выпуклого равно 1,163.

В нашей задаче действительно правильнее рассматривать отношение объемов, а не их разницу, т.к. отношение не зависит от размеров изначальных треугольников, использованных в качестве граней для построения многогранников.

В рассмотренном примере объем построенного невыпуклого многогранника более чем на 16% больше объема выпуклого. Данные многогранники вы можете реализовать сами, используя грани с указанными сторонами.

Однако до сих пор неизвестно, насколько большим может быть отношение объема невыпуклого многогранника к объему выпуклого, составленного из тех же граней. Этот вопрос еще ждет своего исследователя!

hello_html_371aff67.jpg
Выпуклый и невыпуклый многогранники из одинаковых граней


hello_html_m2c42c909.jpg


hello_html_14cca7ee.jpgНеправильные октаэдры, выпуклый и невыпуклый, построенные из одинаковых треугольников


hello_html_m51c4bfc5.jpg
Нальем внутрь каждого многогранника воду


hello_html_m38794172.jpg
Объем невыпуклого многогранника больше, чем выпуклого


hello_html_6af26753.jpg
Проверка утверждения


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Краткое описание документа:

Работа - по сути красочный лист из импровизированного математического журнала для школьников. Его можно использовать как дополнительный исторический материал к уроку или на внеклассное мероприятие. Выпуклые и невыпуклые многогранники из одинаковых граней... Просмотр материала не отражает композиции, скачай - всё увидишь!

Автор
Дата добавления 19.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров70
Номер материала ДВ-539658
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх