Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Статья. Математические этюды. 18. Увеличение объёма

Статья. Математические этюды. 18. Увеличение объёма

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m6150f105.jpghello_html_m7c2ac72f.pnghello_html_m6150f105.jpg

Увеличение объема многогранников




hello_html_173b1d19.jpg
Тот самый пакет молока

hello_html_5aa4d705.jpg
Дополнительные ребра


hello_html_m7189c05f.jpg
Изгибание граней


hello_html_bc39f4.jpg
Построенный

многогранник


hello_html_m4421148c.jpg
Анализ многогранника


hello_html_m6b97b08c.jpg
Вычисление объема


hello_html_7b02a7ab.jpg

Теорема Бликера


Помните, как выглядел пакет молока в советское время? Удивительно, что вся страна покупала эти пакеты почти каждый день на протяжении более 20 лет, но мало кто сейчас помнит точно, что на них было нарисовано...

Но все, конечно, помнят, что пакет молока был в виде тетраэдра (правильной треугольной пирамиды). Изобрела пакеты в виде тетраэдра фирма ТетраПак (TetraPak) в 40-х годах XX века, откуда и берет свое название. В те годы эта фирма сделала два важных нововведения. Во-первых,  жидкие продукты начали наливать в картон. Во-вторых, изготовление тетраэдральных пакетов было настолько простым, что его можно было поместить прямо на молокозаводах.

Вот так выглядел наиболее распространенный пакет молока в Советском Союзе. Красные и синие треугольники, имел форму тетраэдра (конечно, с небольшими искажениями).

Можно ли из куска картона, из которого сделан этот молочный пакет, сделать пакет с большим объемом, чем сам тетраэдр?

Математически задача формулируется так: можно ли из развертки тетраэдра сделать многогранник с большим объемом?

По теореме А.Д. Александрова выпуклый многогранник с той же разверткой, но большим объемом сделать нельзя. Но может быть можно сделать невыпуклый с большим объемом?

Удивительно, но оказывается что можно!

Давайте проследим за конструкцией, предложенной Дэвидом Бликером в 1996 году. Разведем грани и на каждой добавим дополнительные вершины и ребра. Возьмем центральный правильный треугольник,  определенный соотношением, что его сторона в два раза больше расстояния от его вершины до стороны грани. Проведем дополнительные ребра.

Те же построения сделаем на каждой грани. Изогнем каждую грань следующим образом — углы и середины сторон в сторону центра, а центральный треугольничек — от центра. Все грани изогнуты одинаково, и их можно склеить в многогранник. Некоторые новые грани лежат в одной плоскости и ребра между ними исчезают.

Подсчитаем объем получившегося многогранника. Для этого разобьем его на части. Полученный многогранник состоит из 4 одинаковых шестиугольных пирамидок и фигуры, которая является усеченным тетраэдром. Чтобы проще посчитать объем, добавим усеченные у тетраэдра углы — маленькие тетраэдры, а от получившегося значения объема отнимем объем добавленных кусочков.

Оказывается, что объем полученного таким способом многогранника больше чем на 37.7 процентов превосходит объем изначального тетраэдра, имеющего ту же развертку! Т.е. из куска картона, из которого делались тетраэдральные пакеты, можно делать пакеты которые вместительнее более чем на треть!

Удивительно, но тетраэдр не является исключением. Оказывается, что из развертки любого выпуклого многогранника с треугольными гранями можно сделать невыпуклый многогранник с бóльшим объемом. Эту теорему доказал в 1996 году Д. Бликер и привел алгоритм, как это делать.

В своей статье, кроме многогранников с треугольными гранями, Д. Бликер рассмотрел два правильных многогранника, не попадающие в этот класс — куб и додекаэдр. Из их разверток также можно сложить невыпуклые многогранники с большим объемом, чем у изначальных выпуклых.


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 25.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров97
Номер материала ДБ-098121
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх