Статья "Математические методы решения физических задач"

 «Математические методы решения физических задач»

В современной системе наук четко наметился процесс взаимного проникновения и связи между науками. Этот процесс обусловлен единством окружающего мира. Развиваясь, каждая наука не только углубляет свои знания о природе, но и расширяет границы своих исследований.

Процесс связи между науками находит отображение в процессе обучения физике в школе. Этого требует не только принцип научности, но и те задания, которые ставятся перед школьным курсом физики. В частности, формирование диалектико-материалистического мировоззрения невозможно без установления и выявления связи с другими естественными учебными предметами. Эта связь играет важную роль в повышении практической и научно-теоретической подготовки учащихся.

Наиболее наглядно и эффективно связь физики и математики проявляется при решении задач, без которых не может быть реализовано надежное усвоение и понимание физики.

В познании окружающей действительности, установлении  наилучших, оптимальных результатов решения той или иной проблемы особое место принадлежит задачам на экстремум. В таких задачах необходимо определить наибольшее или наименьшее значение физической величины.

Решение задач на экстремум дает возможность понять, насколько эффективно используются математические методы в их практическом применении. Одновременно такие задачи  важны не только с точки зрения математики, но и курса физики. Решение таких задач способствует развитию исследовательских способностей у учащихся.

Большинство задач на экстремум обладают  воспитательной  функцией, так как дают возможность оперировать такими понятиями как «наиболее выгодно», «наиболее экономично», «интенсификация», «оптимизация» и другими. Эти понятия, в свою очередь, находят применение в промышленности, сельском хозяйстве, других сферах человеческой деятельности и на сегодня являются требованиями и реальностью современности.

Решение многих задач на экстремум сводится к построению математической модели задачи, в которой записывается функция (условия), максимум или минимум которой находится и система ограничений на переменные, которые входят под знак функции и задают связи между данными условиями. Такие задачи можно решать несколькими способами. Часто выбор одного из способов позволяет найти более рациональное  решение, что является элементом творческого поиска.

Решение задач на экстремум позволяет изучить соответственные физические явления, которые рассматриваются в задаче, и использовать межпредметные связи для усовершенствования, как курса физики, так и курса математики в пределах одной идеи.

Рассмотрим задачу:

Тело брошено с поверхности земли под углом  к горизонту с начальной скоростью . Найти максимальную высоту  подъема тела, максимальное время движения , максимальную дальность полета . Сопротивление воздуха не учитывать.

Рис.1 Траектория движения тела, брошенного под углом  к горизонту

Эту задачу можно решить двумя способами. Обычно решение подобных задач сводится к рассмотрению характера движения тела по горизонтали и по вертикали (рис.1).

Движение тела можно разделить на две части: движение до верхней точки траектории и движение от верхней точки траектории до точки падения. Общее время движения , где  - время подъема,  - время падения. В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю, а с другой стороны эта скорость может быть выражена следующим образом:

 или .

Зная , найдем     или   .

Время падения  можно найти, рассмотрев падение тела с известной высоты  без начальной скорости:

.

Сравнивая  и , получим, что  . Тогда   .

Так как тело по горизонтали движется равномерно, то  . Отметим, что максимальной дальность полета будет в том случае, когда , то есть .

Однако нам кажется более эффективным другой подход к решению таких задач, который опирается на анализ уравнения траектории движения.

Зависимость координат ,  от времени  имеет вид:

,

.

Исключая из этих двух уравнений , получим

.

Это уравнение параболы. Для нахождения максимальной высоты подъема можно воспользоваться графиком этой функции или использовать производную для исследования функции:

 ,

приравняв производную к нулю, получим, что

.

Подставляя полученное значение  в уравнение параболы, получим, что

.

В момент падения на поверхность земли , тогда

 ;

.

Подставив  в уравнение зависимости координаты  от времени, получим время движения:

.

Как видим, второй способ решения является более общим. Кроме того, при таком подходе ярко появляются межпредметные связи физики и математики, проявляется прикладная направленность математического аппарата исследования функции. Можно рекомендовать ученикам самостоятельно решить задачу обоими способами, а потом сделать анализ решения.