Статья "Методика обучения учащихся геометрическим преобразованиям графиков функций"

Методика обучения учащихся геометрическим преобразованиям графиков функций.

Знания геометрических преобразований позволят быстро понять, как расположен график, а в несложных случаях, например  ,  практически мгновенно его нарисовать! Кроме того, поточечное построение бывает не всегда удобным. Навыки грамотно разбираться с чертежами потребуются в различных задачах математики.

Рассмотрим данную тему на примере квадратичной функции.

Перед тем как перейти непосредственно к геометрическим преобразованиям графиков функций, повторить с учащимися некоторые теоретические моменты.

1)                  Что называется числовой функцией?

2)                  Как обозначают и называют независимую и зависимую переменные?

3)                  Что называют областью определения и областью значений функции?

4)                  Что называется графиком функции?

5)                  Что является графиком функции у = х²?

6)                  Что является графиком функции у = -х²?

Задание 1. Дать учащимся групповую самостоятельную работу на построение графиков функций:   1)  у = х² + 3, у = х² - 3, у = -х² - 3, у = -х² + 3;                                           2) у = х² + 4, у = х² - 4, у = -х² - 4, у = -х² + 4; и т.д.

Задаём вопросы учащимся.                                                                                              -Посмотрите на построенные графики. Есть ли какие-либо отличия в расположении данных графиков? Можно ли выполнить построение по-другому, более быстрым способом?                                                                                                     Совместно с учащимися сделать вывод: если к функции добавляется постоянное число (константа), то происходит сдвиг (параллельный перенос) её графика вдоль оси OY.

Правила (формулируют учащиеся совместно с учителем): 
1) чтобы построить график функции  f(x)+h, нужно график  f(x)  сдвинуть вдоль оси OY на h единиц вверх;
2) чтобы построить график функции  f(x)- h, нужно график  f(x)  сдвинуть вдоль оси OY на h единиц вниз.

Построить на доске график функции   с помощью шаблона .

1) отобразим параболу  симметрично относительно оси абсцисс: ;
2) сдвинем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:  :
                  

Задание 2. Аналогично, дать учащимся групповую самостоятельную работу на построение графиков функций: 1)  у = (х + 3)²,  у = (х - 3)²,  у = -(х - 3)²,                          у = -(х + 3)²;   2) )  у = (х + 4)²,  у = (х - 4)²,  у = -(х - 4)²,  у = -(х + 4)²; и т.д.

Затем задаём вопросы учащимся.                                                                                              -Посмотрите на построенные графики. Есть ли какие-либо отличия в расположении данных графиков? Можно ли выполнить построение по-другому, более быстрым способом?                                                                                                     Совместно с учащимися сделать вывод: если к аргументу функции  добавляется постоянное число (константа), то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси ОХ.

Правила (формулируют учащиеся совместно с учителем): 
1) чтобы построить график функции f(x + b), нужно график  f(x) сдвинуть  вдоль оси ОХ на b единиц влево;
2) чтобы построить график функции  f(x - b), нужно график  f(x)  сдвинуть  вдоль оси ОХ на b единиц вправо.

Построить на доске график функции  с помощью шаблона .

Берём параболу , и сдвигаем её вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо:

Задание 3. Далее, дать учащимся групповую самостоятельную работу на построение графиков функций: 1) , ;  2) , ; и т.д.

Затем задаём вопросы учащимся.                                                                                              -Посмотрите на построенные графики. Есть ли какие-либо отличия в расположении данных графиков? Можно ли выполнить построение по-другому?

Совместно с учащимися сделать вывод: происходит растяжение (сжатие) функции вдоль оси OY.

1) Если функция  f(x) умножается на число m>1, то происходит растяжение её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции mf(x), где m>1, нужно график функции  f(x) растянуть вдоль оси OY в m раз.

2) Если функция умножается на число 0<m<1, то происходит сжатие её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции  mf(x), где 0<m<1, нужно график функции  f(x) сжать вдоль оси OY в    раз.

Построить  на доске графики функций  ,  с помощью геометрических преобразований.

После этого переходим к закреплению полученных знаний.

Задание 4. На доске изображены графики (построить заранее или использовать проектор и экран). Подберите для каждой функции соответствующий ей график:  у = (х – 5)² + 1,  у = - (х – 5)² + 1,  у = - (х + 5)² + 1,  у = (х + 5)² + 1.

Задание 5. Запишите вид данной функции  у = (х - b)² + c, если она:                                              а) смещена на 4 единицы влево и на 5 единиц вверх;                                                            б) смещена на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз;                                                             в) перенесена на 7 единиц вправо и на 5 единиц вверх;                                                                 г) перенесена влево на 6 единиц и опущена на 5 единиц вниз.

Задание 6. Учащиеся с помощью заранее изготовленных шаблонов функции, выполняют построение графиков функций в тетрадях (желательно - групповая работа и взаимопроверка): 

у = (х – 2)² – 3;  у = 2х ² + 3;  у = -3х ² + 2;  у = (2х – 5)² – 1;  у = (3х + 4)² + 2.

В конце занятия проводим рефлексию. Итак,

ü На первом шаге выполняем преобразования, связанные с аргументом функции, в результате чего получаем график функции  ;

ü На втором шаге выполняем преобразования, связанные с самой функцией, и получаем график  .

Краткое описание документа:

Знания геометрических преобразований позволят быстро понять, как расположен график, а в несложных случаях, например , практически мгновенно его нарисовать! Кроме того, поточечное построение бывает не всегда удобным. Навыки грамотно разбираться с чертежами потребуются в различных задачах математики.

Рассмотрим данную тему на примере квадратичной функции.

Перед тем как перейти непосредственно к геометрическим преобразованиям графиков функций, повторить с учащимися некоторые теоретические моменты.

1)Что называется числовой функцией?

2)Как обозначают и называют независимую и зависимую переменные?

3)Что называют областью определения и областью значений функции?

4)Что называется графиком функции?

5)Что является графиком функции у = х²?

6)Что является графиком функции у = -х²?