Статья "Методика решения текстовых задач на движение"

Методика решения текстовых задач

на движение

Выпускная творческая работа

учителя математики МБОУ «СОШ с.Терновка»  Энгельсского района Саратовской области

Кисметовой Улдай Сарсеновны.

Саратов 2015

 Содержание

Введение …………………………………………………………………3-5

 1 Методика решения задач «на движение»……………………………..6

1.2   Виды задач и способы их решения…………………………..……

          1.2.1 Задачи на встречное движение………………………….......6-8

          1.2.2 Задачи на движение в одном  направлении ……………….9-10

          1.2.3 Задачи на движение в противоположных  направлениях ….11

          1.2.4 Задачи на движение по воде……………………………… 12-13

          1.2.5 Задачи на движение по замкнутой  трассе ….…….…… ..14-17

2. Решение задач графическим способом…….....................................18-21

 Заключение  …………………………………………………………… ….22                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

Список использованной литературы…………………………………..…23

Приложения.……………………………………………………………..24-33

Введение.

Одним из вопросов методики преподавания математики является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач.

Задачи являются материалом для ознакомления учащихся с новыми понятиями, для развития логического мышления, формирования межпредметных связей. Задачи позволяют применять знания, полученные при изучении математики, при решении вопросов, которые возникают в жизни человека. Этапы решения задач являются формами развития мыслительной деятельности.

Широко известны серьезные трудности, которые испытывают учащиеся при решении задач.

Первая трудность состоит в математизации предложенного текста, т.е. в составлении математической модели, которая может представлять собой уравнение, неравенство или их систему, диаграмму, график, таблицу, функцию и т.д.

Для того, чтобы перевести содержание задачи на математический язык, учащемуся необходимо тщательно изучить и правильно истолковать его, формализовать вопрос задачи, выразив искомые величины через известные величины и введенные переменные.

Вторая трудность — составление уравнений и неравенств, связывающих данные величины и переменные, которые вводит учащийся.

Третья трудность — это решение полученной системы уравнений или неравенств желательно наиболее рациональным способом.

Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, решения неравенства или системы неравенств, составленных по условию задачи. Иногда алгебраическое решение задачи бывает очень сложным.

При решении задач алгебраическим методом основная мыслительная деятельность сосредотачивается на первом этапе решения задачи: на разборе условия задачи и составлении уравнений или неравенств по условию задачи.

Вторым этапом является решение составленного уравнения или системы уравнений, неравенства или системы неравенств.

Третьим важным этапом решения задач является проверка решения задачи, которая проводится по условию задачи.

Текстовые задачи в различных учебниках алгебры 9 класса

Учебники	Текстовые задачи	На работу	Движение по окружности	Смеси, сплавы	Раздел «Для внекл. работы»
Макарычев Ю.Н.	65	15	-	-
Мерзляк А.Г.	96	20	-	12	20
Мордкович А.Г.	73	14	1	3

В ЕГЭ и ГИА большой блок заданий связан с решением текстовых задач. С помощью текстовой задачи формируются важные общеучебные  умения, связанные с анализом текста, выделением главного в условии, составлением плана решения, проверкой полученного результата.  В школьном курсе математики этот раздел не рассматривается единой темой, и у учащихся нет целостного представления о методах и способах их решения. Необходимость рассмотрения техники решения текстовых задач обусловлена тем, что умение решать задачу является высшим этапом в познании математики и развитии учащихся.

Кроме того, решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, дает возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением.

Анализ результатов ЕГЭ с момента его существования говорит о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу составляет около 30 %.

1 Методика решения задач «на движение»

Уравнения, которые составляются на основании условий задач на движение, обычно содержат такие величины, как расстояние, скорости движущихся объектов, время, а также скорость течения воды (при движении по реке). При решении этих задач принимают следующие допущения:

1.                 Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным.

2.                 Повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно.

3.                 Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у, то скорость движения тела по течению считается равной (х+у), а против течения – (х-у).

При решении задач на движение рекомендуется сделать рисунок, отображающий все условия задачи. При этом решающий задачу должен выбрать схему решения: какого вида уравнения составлять, то есть что сравнивать: время, затраченное на движение на отдельных участках пути, или пройденный каждым объектом путь.

При решении задач такого типа часто необходимо узнать время встречи двух объектов, начинающих движение одновременно из двух точек с разными скоростями и движущихся навстречу друг другу либо в случае, когда один объект догоняет другой.

             1.2.1 Задачи на встречное движение

Пусть расстояние между точками А и В равно S.

Два тела начинают движение одновременно, но имеют разные скорости v₁ и v₂. Пусть С – точка встречи, а t – время движения тел до встречи. В случае движения навстречу друг другу имеем АС=v₁t, BC=v₂t. Сложим эти два равенства:

АС+СВ=v₁t+v₂t=(v₁+v₂)t  Þ  AB=S=(v₁+v₂)t  Þ  .

За­да­ние 13 № 99592. Из го­ро­дов A и B нав­стре­чу друг другу вы­еха­ли мо­то­цик­лист и ве­ло­си­пе­дист. Мо­то­цик­лист при­е­хал в B на 3 часа рань­ше, чем ве­ло­си­пе­дист при­е­хал в A, а встре­ти­лись они через 48 минут после вы­ез­да. Сколь­ко часов за­тра­тил на путь из B в A ве­ло­си­пе­дист?

Ре­ше­ние.

При­мем рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми 1. Пусть время дви­же­ния ве­ло­си­пе­ди­ста равно x ч, тогда время дви­же­ния мо­то­цик­ли­ста равно =3 ч,x . К мо­мен­ту встре­чи они на­хо­ди­лись в пути 48 минут и в сумме пре­одо­ле­ли всё рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми, по­это­му

Таким об­ра­зом, ве­ло­си­пе­дист на­хо­дил­ся в пути 4 часа.

Ответ: 4.

Задача 2. Расстояние между городами А и В равно 60 км. Два поезда выходят одновременно: один из А в В, другой из В в А. Пройдя 20 км, поезд, идущий из А в В, останавливается на полчаса, затем, пройдя 4 минуты, встречает поезд, идущий из В. Оба поезда прибывают к месту назначения одновременно. Найдите скорости поездов.

Решение:

Отобразим все условия задачи на рисунке.

Заметим, что если время в условии задачи выражено как в часах, так и  в минутах, то минуты надо перевести в часы. В нашем случае 4 мин=4/10 часа=1/15 часа.

Так как в задаче надо определить две величины, введем две переменные и составим два уравнения.

Пусть          х км/ч – скорость поезда, вышедшего из пункта А;

                   у км/ч – скорость поезда, вышедшего из пункта В.

Так как в задаче известно расстояние, выразим время через скорость и расстояние:  – время, за которое поезд из А прошел 20 км, – время, затраченное поездом из А  до встречи в пункте D.

 – расстояние, которое прошел поезд из А за 4 минуты после остановки.

Тогда поезд из А до встречи в пункте D прошел  км.

 км – расстояние, пройденное поездом из В до встречи.

 – время, пройденное поездом из В до встречи в пункте D.

Так как по условию в пункте D поезда встретились, они затратили на путь до встречи одинаковое время, поэтому получаем первое уравнение

.

С другой стороны, выразим время движения поездов после встречи в пункте D.

Так как , то  – время движения поезда из В после встречи.

Так как , то  – время движения поезда из А после встречи.

По условию .

Таким образом, мы составили систему двух уравнений с двумя переменными.

Решим систему, для чего из первого уравнения выразим у и подставим это выражение вместо у во второе уравнение.

;

;

.

Решим полученное уравнение

;

;

;

х₁=60;   х₂=–600.

Так как х – скорость, то х₂ не подходит по смыслу задачи. Подставим полученное значение х в выражение для у

.

Ответ: v_A=60 км/ч, v_B=40 км/ч.

Задача 3. Из городов А и В, расстояние между которыми равно 180 км, отправлены одновременно навстречу друг другу 2 поезда. После их встречи поезд, вышедший из города А, прибыл в город В через 2 часа, а другой прибыл в город А через 4 часа 30 минут. Найти скорость каждого поезда.

Решение.

При решении этой задачи удобным представляется принять за неизвестное один из участков пути до момента встречи. Пусть, например, путь первого поезда до встречи равен , тогда путь второго поезда - .

После встречи I поезд прошел, наоборот, расстояние , причем за 2 часа, значит, его скорость равна . Второй поезд прошел после встречи путь  за 4.5 часа, значит, его скорость - .

Выразим теперь время движения каждого из поездов до встречи (по условию оно одинаково).

Время I поезда до встречи равно , а второго - .

Получим уравнение: , откуда ,

,

.

Ответ.  и .

1.2.2 Задачи на движение в одном  направлении

Если одно тело догоняет другое, то теперь получаем АС=v₁t, BC=v₂t. Вычтем эти равенства:

АС–ВС=(v₁–v₂)t.

Так как АС–ВС=AB=S, то время, через которое первое тело догонит второе, определяется равенством

.

№ 99611. По двум па­рал­лель­ным же­лез­но­до­рож­ным путям в одном на­прав­ле­нии сле­ду­ют пас­са­жир­ский и то­вар­ный по­ез­да, ско­ро­сти ко­то­рых равны со­от­вет­ствен­но 90 км/ч и 30 км/ч. Длина то­вар­но­го по­ез­да равна 600 мет­рам. Най­ди­те длину пас­са­жир­ско­го по­ез­да, если время, за ко­то­рое он про­шел мимо то­вар­но­го по­ез­да, равно 1 ми­ну­те. Ответ дайте в мет­рах.

Ре­ше­ние.

Ско­рость сбли­же­ния по­ез­дов равна 60 км/ч или 1 км/мин. Сле­до­ва­тель­но, за 1 ми­ну­ту пас­са­жир­ский поезд сме­стит­ся от­но­си­тель­но то­вар­но­го на 1 км. При этом он пре­одо­ле­ет рас­сто­я­ние, рав­ное сумме длин по­ез­дов. По­это­му длина пас­са­жир­ско­го по­ез­да равна 1000 − 600 = 400 м.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Ско­рость сбли­же­ния по­ез­дов равна

 

Пусть длина пас­са­жир­ско­го по­ез­да равна х мет­ров. За 60 се­кунд один поезд про­хо­дит мимо дру­го­го, то есть пре­одо­ле­вает рас­сто­я­ние х + 400. Тогда:

По­это­му длина пас­са­жир­ско­го по­ез­да 400 м.

Ответ: 400.

Задача 2. Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость автомобиля постоянна и составляет  скорости грузовика. Через 30 минут за ними из того же пункта выехал мотоциклист со скоростью . Найти скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на час раньше, чем легковой автомобиль.

Решение. Пусть  - скорость грузовика, тогда  - скорость легкового автомобиля. Обозначим за  - время, через которое мотоциклист догнал грузовик (с момента выезда мотоциклиста), тогда грузовик до этого момента находился в пути . При этом их пройденные пути оказались равными, значит

                                                                                                                     (1)

Мотоциклист догнал легковой автомобиль через час после грузовика, значит, с начала движения он был в пути , а легковой автомобиль . Так как их пройденные пути в этот момент совпадают, то

                                                                                                      (2)

Получим систему из уравнений (1) и (2), решив которую найдем, что  - скорость грузовика, значит, скорость легкового автомобиля будет .    Ответ. .

1.2.3 Задачи на движение в противоположных  направлениях

№ 503316. Ве­ло­си­пе­дист вы­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью из го­ро­да А в город В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 128 км. На сле­ду­ю­щий день он от­пра­вился об­рат­но в А со ско­ро­стью на 8 км/ч боль­ше преж­ней. По до­ро­ге он сде­лал оста­нов­ку на 8 часов. В ре­зуль­та­те ве­ло­си­пе­дист за­тра­тил на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из А в В. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть ве­ло­си­пе­дист ехал из А в В со ско­ро­стью  км/час, тогда об­рат­но он ехал со ско­ро­стью  км/час. Раз­ность вре­мен на пути туда и об­рат­но со­став­ля­ет 8 часов, от­ку­да имеем:

Ис­ко­мая ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на об­рат­ном пути на 8 км/час боль­ше, по­это­му она равна 16 км/час.

Ответ: 16.

1.2.4 Задачи на движение по воде

Задача 1. Пароход прошел 4 км против течения реки, а затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость парохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

Решение:

Пусть х км/ч – собственная скорость парохода.

Тогда (х+6,5) км/ч – скорость парохода по течению.

(х–6,5) км/ч – скорость парохода против течения.

Так как против течения пароход прошел 4 км со скоростью (х–6,5) км/ч, то

 ч. – время движения парохода против течения.

Так как по течению пароход прошел 33 км со скоростью (х+6,5) км/ч, то

 ч. – время движения парохода по течению.

По условию 

решим полученное уравнение

Откуда получаем квадратное уравнение

х2–37х+146,25=0 Þ х1=4,5 км/ч и х2=32,5 км/ч.

Осуществим отбор полученных решений.

Через х мы обозначили собственную скорость парохода, при этом скорость течения реки 6,5 км/ч, поэтому х1=4,5 км/ч не подходит по смыслу задачи (при такой скорости пароход не выплыл бы против течения).

Поэтому, собственная скорость парохода равна 32,5 км/ч.

Ответ: v=32,5 км/ч.

Задача 2. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 459 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 54 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Скорость течения реки как искомую величину принимаем за x (км/ч).

Тогда скорость движения теплохода по течению равна 22 + х (км/ч), а его скорость  против течения  22 – х.

Расстояние  в ту, и в другую сторону одинаковое и равно 459 км.

Всего теплоход затрачивает 54 часов (на весь путь: туда, 10 часов стоянки, обратно). То есть:

54 = (ПО ТЕЧЕНИЮ)+(СТОЯНКА)+( ПРОТИВ ТЕЧЕНИЯ)

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 459 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу. Заполняем графу «время».

Время, затраченное на путь до пункта назначения 459/(22+х),

Время, затраченное на путь обратно (против течения) 459/(22–х).

Подставляем данные  и получаем уравнение:

Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё   понятно —  раскрываем  скобки,  складываем  подобные  члены.

Получаем квадратное уравнение: х²  = 25.

Его решением являются корни –5 и 5.

Поскольку скорость течения положительна, значит она равна 5 (км/ч).

Ответ: 5

1.2.5 Задачи на движение по замкнутой  трассе

В этом параграфе показаны общие пути решения задач на движение по окружности. Выделим основные понятия и сделаем некоторые замечания.

1. Пусть дана окружность длиной l, и по ней движется точка, совершающая полный оборот за время t.

Тогда отношение  будет выражать длину дуги, описываемую точкой за единицу времени (или, с точки зрения физики, это линейная скорость точки).

2. Часто полезно бывает работать с угловой скоростью точки, т. е. углом, описываемым точкой за единицу времени.

При этом  .

3. Пусть две точки А и В находятся в начальный момент времени на окружности, и дуга АВ содержала . Известно, что через t единиц времени точка А догонит точку В.

Точка В за t единиц времени опишет угол , а точка А - , и разность этих углов составит , т. е. будет справедливо равенство .

4. Пусть две точки А и В стартовали с одного положения. Скорость точки А - , больше скорости В - . Известно, что через время t точка А догонит точку В.

Из рисунка видно, что к моменту, когда А догонит точку В, она опишет окружность и пройдет путь точки В, т. е. , или .

Аналогично, при тех же условиях, работая с угловыми скоростями, получим уравнение .

Опираясь на выше изложенные наблюдения, решим несколько задач, придерживаясь следующего алгоритма:

1)       Обозначить за неизвестные время полного оборота каждой точки

2)       Выразить линейные или угловые скорости

3)       Составить уравнение или систему уравнений по условию задачи

4)       Решить полученное уравнение (систему)

5)       Ответить на вопрос задачи

Замечание. Пункты 1 и 2 можно поменять местами.

Задача №1. Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке стадиона. Скорость каждого постоянна, но на пробег всей дорожки первый тратит на 10 сек  меньше, чем второй. Если они начнут пробег с общего старта, то еще раз сойдутся через 720 сек. Какую часть длины всей дорожки пробегает в секунду каждый бегун?

Решение. Примем длину окружности за единицу. Пусть  - время пробега полного круга первым бегуном, тогда  - потребуется второму бегуну;  - такую часть окружности пробегает первый бегун за 1 с;  - пробегает второй бегун за 1 с. За 720 с первый бегун обежит  частей окружности, а второй  частей, и разность этих величин равна 1.

Получим уравнение . Решим это уравнение:

, (не удовлетворяет условию задачи).

Тогда  и  части дорожек пробегают второй и первый бегун соответственно за 1 секунду.

Ответ:  и  части дорожки.

Примечание. Задачу можно решить аналогично, используя понятие «угловой скорости».

Задача №3. По двум концентрическим окружностям равномерно вращаются сразу две точки. Полный оборот одна из них совершает на 5 секунд быстрее, чем другая, и поэтому успевает сделать в одну минуту на 2 оборота больше. Пусть в начале движения лучи, направленные от центров окружностей к этим точкам, сливались. Вычислить, какова величина угла между лучами будет через 1 с.

Решение. Пусть начальное положение точек соответствует точкам А и В. Тогда через 1 с точка А займет положение А’, точка В – B’. Из рисунка видно, что искомый угол равен разности углов поворота точки А и точки В за 1 с.

Пусть  - время полного оборота точки А, тогда  - время полного оборота точки В.

, .

За 1 мин, т. е. 60 сек, точка А пройдет угол , а точка В - , причем точка А совершит на 2 оборота больше, т. е. опишет угол на  больший.

Получим уравнение .

Разделив почленно уравнение на , получим

 - не подходит по условию задачи.

Итак, за 1 с точка А совершит оборот на , точка В - . Искомый угол будет равен .    Ответ:

Еще раз подчеркнем, что цель этого параграфа – показать общий метод решения задач, и он не исключает наличие других, более изящных, путей решения. В частности, решение этой задачи можно провести в одну строчку, рассуждая так: поскольку за 1 мин, т. е. за 60 секунд, между точками возникает разрыв в  радиан, то за одну секунду этот разрыв будет выражаться числом . При этом одно из условий задачи оказалось лишним.

2 Решение задач графическим способом

Задача 1. По городскому скверу, длина которого  500 м, одновременно начали прогуливаться два пожилых человека.  Один прогуливается  со скоростью 50 м/м, а другой доходит до конца аллеи  за 6 мин и  с той же скоростью возвращается назад.  Определить, сколько раз эти два  пожилых человека  встретятся  в течение 25 минут?

500

 

     0               6    10    12    18 20     24          30

Так как скорость первого  50 м /мин, то до конца сквера он доходит за 10 минут. Можно построить графики движения этих пожилых людей.  По чертежу сразу видно, что графики пересекутся в трёх точках, значит пожилые люди встретятся 3 раза. 

Ответ: 3 раза.                                                                                            

Задача 2.Расстояние между городами  Новокузнецк и Киселёвска составляет примерно 60 км.  Одновременно из этих городов,  навстречу друг другу, выехали два автобуса.          Первый  автобус затратил на свой путь 1 час и 30 мин, а второй 1 час и 12 мин. На каком расстоянии  от Киселёвска и через какое время  с момента  начала движения, автобусы встретятся.

Изобразим на чертеже  графики движения автобусов между двумя городами. Так как автобусы выходят одновременно, но из различных точек, то и графики движения автобусов также будут выходить из различных точек, одна - из начала координат, другая - из точки, соответствующей 60 км на оси ОS.     По оси ot  отложим время движения этих автобусов.

s     

Нов.

60

28

                               40                          72         90                                            t            

Графики движения  автобусов пересеклись в одной точке, координаты этой точки  соответствуют времени движения  автобусов до встречи  и расстоянию, которое автобусы проехали до места встречи.

Ответ:  Расстояние от Киселёвска  до места встречи автобусов равно 28 км;    Автобусы встретились через 40 минут после начала движения.

Задача № 4.

Эта задача взята из сборника  заданий для подготовки к  ГИА  за  2012 год. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 15 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. После их встречи велосипедист, выехавший из  А, прибыл в В через 20 мин, а велосипедист, выехавший из В, прибыл в А через 45 мин. На каком расстоянии от В велосипедисты встретились?

Эту задачу  можно   решить    алгебраическим способом,  но для этого надо составить систему двух уравнений с двумя неизвестными. Попробуем     решить эту задачу графическим способом. Построим графики движения этих велосипедистов.   Так как они выехали из разных пунктов навстречу друг другу, то и графики движения   выходят из разных точек навстречу друг другу.

  s

                                                                       45

15 В

?

                                              у

 А                                                          

 

  0                х                         20                                                t   

     Графики пересекутся в момент встречи.    По чертежу можно увидеть пару подобных треугольников. Обозначим за х - время движения велосипедистов до  момента их встречи, а за у - расстояние от А до  места встречи.  Составим пропорции:

у: х = 15: (х+20)  - из первой пары треугольников

у: 45 = 15: (х + 45) -  из второй  пары треугольников.

        Выразим переменную у через х в той и другой пропорции и  приравняем их.  Получим уравнение с одним неизвестным, которое  решим  уже с помощью алгебраических преобразований.

у = 15х : (х+20)     из 1 уравнения

у = 45×15 : (х+45) из 2 уравнения

15х : (х+20) = 45×15 : (х+45);

15х × (х+45) = (х+20)×675;

15х² + 675х= 675х +13500; 

 15х²  = 13500;

 х² = 900;

х = ±30.

        Выбираем только х = 30  и  находим  у = 15х 30 : (30 + 20)  = 9.

Расстояние от  А  до места  встречи составляет 9 км, тогда расстояние от В до места встречи составляет   15 – 9 = 6 (км).

Ответ:  Расстояние от  пункта А до места встречи  6 км.

Заключение.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время всё шире проникает в повседневную жизнь. Основной задачей обучения математике в школе является обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках.

Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические  знания, готовятся к практической деятельности. Решая задачи, ребёнок активизирует мыслительную деятельность, развивая логическое мышление.

За время обучения в школе учащийся решает огромное число однотипных задач, приобретая общие умения решения задач, а встретившись с  малоизвестными задачами, теряются и не решают их. Можно ли научить решать любую задачу?  Нет, так как изобразить методику обучения решению задач, подходящую для всех детей невозможно,  но помочь расширить круг решаемых задач можно.

В данной  работе обобщен и систематизирован учебный материал  по задачам «на движение», который необходим для успешного их решения. При решении каждой задачи данного типа учитывались её особенности, применялись разнообразные приёмы их решения. Использование алгоритмов, таблиц, рисунков, общих приемов дает возможность ликвидировать у большей части учащихся страх перед текстовой задачей, научить распознавать типы задач и правильно выбирать прием решения.

 «Решайте задачи проще» - совет, которому  необходимо следовать каждому выпускнику.

Список использованной литературы

1.Открытый банк заданий по математике (http//mathege.ru)

2. Петухова Л.И. О решении текстовых задач по математике // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». – М.: Первое сентября, 2004. – 540 с.

3.Решу ЕГЭ  (http://reshuege.ru/ )

         4. Шевкин А.В. Текстовые задачи : 7 – 11 классы: Учебное пособие по математике / А. В. Шевкин. – М. : ТИД «Русское слово – РС», 2003. – 184 с.

5. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. - М.:   Просвещение, 1984. – 250 с.

Приложение

                        Примеры задач из текстов ГИА и ЕГЭ

Задачи систематизированы по типам:

1. Связь основных характеристик движения: S; V; t
2. Средняя скорость
3. Движение навстречу
4. Движение в противоположных направлениях
5. Движение в одном направлении
6. Движение по окружности (замкнутой трассе)
7. Движение по воде
8. Движение протяжённых тел
9. Движение в гору и с горы

1.     Связь основных характеристик движения: S; V; t

1.     (ГИА 6 баллов) Один автомобиль проходит в минуту на 200м больше, чем другой, поэтому затрачивает на прохождение одного километра на 10сек меньше. Сколько километров в час проходит каждый автомобиль?

2.     (ГИА 4 балла) Турист, находящийся в спортивном лагере, должен успеть к поезду на железнодорожную станцию. Если он поедет на велосипеде со скоростью 15км/час, то опоздает на 30мин , а если поедет на мопеде со скоростью 40км/час, то приедет за 2час до отхода поезда. Чему равно расстояние от лагеря до станции?

3.     (ГИА 2 балла)  Скорость велосипедиста от посёлка до станции была на 1км/час больше, чем на обратном пути. На обратный путь он затратил на 2 мин. Больше. Расстояние между пунктами 7км. Найдите первоначальную скорость велосипедиста.

4.     (ЕГЭ) Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

5.     (ЕГЭ) Товарный поезд каждую минуту проезжает на 900 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 3 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

2.      Средняя скорость

1.     (ЕГЭ) Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 66 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 82 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

2.     (ЕГЭ) Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 24 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 456 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

3.     (ЕГЭ) Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, вторую треть — со скоростью 75 км/ч, а последнюю — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

4.     (ЕГЭ) Первые три часа автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующий час — со скоростью 65 км/ч, а затем один час — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

5.     (ЕГЭ) Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 160 км — со скоростью 100 км/ч, а затем 120 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

3.      Движение навстречу

1.     Два охотника отправились одновременно навстречу друг другу из двух деревень, расстояние между которыми 18км. Первый шёл со скоростью 5км/час, а второй - 4км/час. Первый охотник взял с собой собаку, которая бежала со скоростью 8км/час. Собака сразу же побежала навстречу второму охотнику, встретила его, повернула и стой же скоростью побежала навстречу второму охотнику и т.д. Так она бегала от одного охотника к другому, пока те не встретились. Сколько километров пробежала собака?

2.     (ГИА 2 балла)  Два пешехода отправляются одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми равно 50км, и встречаются через 5 час. Определите скорость каждого пешехода, если скорость у одного из них на 2км/час больше, чем у другого.

3.     (ГИА 4 балла) Из города А в город В, расстояние между которыми равно 300км, выехал автобус. Через 20мин. Навстречу ему из В в А выехал автомобиль и через 2час. После выезда встретил автобус. С какой скоростью ехал автомобиль, если известно, что она была на 20км/час больше скорости автобуса?

4.     ( ГИА 6 баллов) Турист и велосипедист одновременно отправились навстречу друг другу из пунктов А и В. Они встретились через 1,5часа, после чего каждый продолжил движение в своём направлении. Велосипедист прибыл в пункт А через 2 часа после выезда из В. За какое время прошёл путь от А до В турист?

5.     (ГИА 6 баллов) Из пунктов А и  В, расстояние между которыми 6км, одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода. После их встречи пешеход, шедший из а, пришёл в в через 24мин, а шедший из В пришёл в А через 54 мин. На каком расстоянии от пункта А встретились пешеходы?

6.     (ЕГЭ) Из двух городов, расстояние между которыми равно 480 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 75 км/ч и 85 км/ч?

7.     (ЕГЭ) Из городов A и B, расстояние между которыми равно 440 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 4 часа на расстоянии 240 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

8.     (ЕГЭ) Расстояние между городами A и B равно 440 км. Из города A в город B со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

9.     (ЕГЭ) Расстояние между городами A и B равно 680 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 360 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

10. (ЕГЭ) Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 1 час раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 40 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

4.      Движение в противоположных направлениях

1.     Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 6 км/час, и он был в пути на 2 час больше, чем другой. Скорость другого составляла 2/3 скорости первого. Сколько времени был в пути каждый пешеход, если они удалились друг от друга на 28км?

2.     Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 15 мин. Папа заметил пропажу, быстро развернул лодку и они поплыли по течению с той же собственной скоростью. За сколько минут они догонят шляпу?

5.      Движение в одном направлении

1.     На катке Ваня догоняет Мишу, который находится от него в 24м и движется со скоростью 6м/сек. Это составляет 3/5 скорости Вани. Через сколько времени Ваня догонит Мишу и какое он проедет расстояние при этом?

2.     (Старинная задача) Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 мин 500 сажен, а собака в 5 мин -1 300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?

3.     (Старинная задача) Некий юноша пошёл из Москвы к Вологде. Он проходил в день по 40 вёрст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день по 45 вёрст. Через сколько дней второй догонит первого?

4.     (ГИА 4балла) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60км, одновременно выехали автобус и автомобиль. В пути автомобиль сделал остановку на 3мин, но в пункт В прибыл на 7мин. раньше автобуса. Найдите скорости автомобиля и автобуса, если известно, что скорость автобуса в 1,2 раза меньше скорости автомобиля.

5.     (ГИА 6 баллов) Из турбазы в одном направлении выходят три туриста с интервалом в 30минут. Первый идёт со скоростью 5км/час, второй -4км\час. Третий турист догоняет второго, а ещё через 4 часа догоняет первого. Найдите скорость третьего туриста.

6.     (ЕГЭ) Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

7.     (ЕГЭ) Два велосипедиста одновременно отправились в 154-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

8.     (ЕГЭ) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

9.     (ЕГЭ) Расстояние между городами A и B равно 630 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 2 часа следом за ним со скоростью 60 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

10. (ЕГЭ) Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 150 метрам?

11. (ЕГЭ) Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 12 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого  — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 45 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

6.     Движение по окружности (замкнутой трассе)

1.     (ГИА 4 балла) Два тела, движущиеся в разные стороны по окружности длиной 500м с постоянными скоростями, встречаются каждые 125сек. При движении в одну сторону первое тело догоняет второе каждые 12,5 сек. Найдите скорости каждого тела.

2.     (ГИА 4 балла) Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин., а двигаясь в противоположных направлениях – через каждые 16 минут. Во втором случае расстояние между ними уменьшилось с 40м до 26м за 12сек. Сколько метров в минуту проходит каждое тело?

3.     (ГИА 4 балла)  Два тела, движущиеся в разные стороны по окружности длиной 500м с постоянными скоростями, встречаются каждые 125сек. При движении в одну сторону первое тело догоняет второе каждые 12,5 сек. Найдите скорости каждого тела.

4.     (ЕГЭ) Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?

5.     (ЕГЭ) Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 101 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

6.     (ЕГЭ) Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 44 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 33 км. Ответ дайте в км/ч.

7.     Движение по воде

1.     (ГИА 2 балла)  Катер прошёл 20км по течению реки и такой же путь обратно, затратив на весь путь 1час 45мин. Скорость течения реки равна 2км/час. Найдите собственную скорость катера.

2.     (ГИА 2 балла)  Катер прошёл 20км по течению реки и такой же путь обратно, затратив на весь путь 1час 45мин. Скорость течения реки равна 2км/час. Найдите собственную скорость катера.

3.     (ГИА 2 балла)  Моторная лодка прошла 10км по озеру и 4км против течения, затратив на весь путь 1час. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3км/час.

4.     (ГИА 2 балла) Катер прошёл 15км по течению реки и 4км по озеру, затратив на весь путь 1час. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4км/час.

5.     (ГИА 2 балла) Лодка может проплыть 15км по течению реки и ещё 6км против течения за то же время, за какое плот может проплыть 5км по этой реке. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки 8км/час.

6.     (ГИА 6 баллов) Плот проплывает из пункта А в пункт В за 12 час, а моторная лодка – за 3час. За какое время моторная лодка преодолеет такое же расстояние в стоячей воде?

7.     (ЕГЭ) Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

8.     (ЕГЭ) Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

9.     (ЕГЭ) От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей отправился второй. Расстояние между пристанями равно 420 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

10. (ЕГЭ) Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.

11. (ЕГЭ) Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними 195 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день она отправилась обратно со скоростью на 2 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 2 часа. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

12. (ЕГЭ) Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 20 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 36 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

13. (ЕГЭ) Расстояние между пристанями A и B равно 189 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 50 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

8.      Движение протяжённых тел

1.     (ЕГЭ) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 50 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 72 секунды. Найдите длину поезда в метрах.

2.     (ЕГЭ) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 70 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 1000 метров, за 1 минуту 48 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

3.     (ЕГЭ) По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 130 метров, второй — длиной 120 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 600 метров. Через 11 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 800 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

4.     (ЕГЭ) По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 80 км/ч и 50 км/ч. Длина товарного поезда равна 800 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 2 минутам. Ответ дайте в метрах.

9.      Движение в гору и с горы

1.     (ГИА 4 балла) Путь от пансионата до почты, который сначала идёт в гору, а потом под гору, пешеход прошёл за 1час 40мин, а обратный путь – за 2час20мин. В гору он шёл со скоростью 3км/час, а под гору- со скоростью 6км/час. Найдите расстояние от пансионата до почты.

2.     (ГИА 4 балла) Путь от посёлка до озера идёт сначала горизонтально, а затем в гору. От посёлка до озера велосипедист доехал за 1 час, а обратно за 46мин. Его скорость на горизонтальном участке была равна 12км/час, на подъёме-8км/час, а на спуске-15км/час. Найдите расстояние от посёлка до озера.

3.     (ГИА 6 баллов) Автомобиль едет из А в В сначала 2мин с горы, а затем 6мин в гору. Обратный же путь он проделывает за 13мин. Во сколько раз быстрее автомобиль едет с горы, чем в гору?

4.     (ГИА 6 баллов) Дорога от посёлка до станции идёт сначала в гору, а потом под гору, при этом её длина равна 9км. Пешеход на подъёме идёт со скоростью, на 2км/час меньшей, чем на спуске. Путь от посёлка до станции занимает у него 1час 50мин, а обратный путь занимает 1час 55мин. Определите длину подъёма на пути к станции и скорости пешехода на подъёме и спуске?