Статья на тему "Графиктерді қолдануға ұқсас амалдарды қалыптастыру"

Графиктерді  қолдануға  ұқсас амалдарды  қалыптастыру

Мазмұнды есептерді шығарудың графикалық әдісінің қалыптастыру әдістемесін  қарастырайық. Бір жағынан, біліктіліктер, оның  құрамдастары екі  топқа  бөлінеді:таза  графикалық үлгілерді,сондай-ақ графика–геометриялық  үлгілерді қолданатын. Дегенмен,бұл  классификация  тұрақты  емес және кейбір  амалдар екі топта да  кездеседі.Екіншіден, бұл  біліктіліктерді  үш топқа  бөлуге  болады:есеп шартын графикалық үлгімен байланыстыратын, құрылымдық  біліктіліктер және алгебралық біліктіліктер (сызықтық функциялар  графиктерімен  жұмыс  жасау, теңдеулер  шығару).

Сызықтық функциялар графиктерімен жұмыс жасау  біліктілігін қарастырайық.

1. Нүктелер бойынша  сызықтық  функция  графигін құру  біліктілігі.

Бұл амал 7 сыныпта  алгебра курсында қалыптасады.Ол үшін оқулықта көптеген тапсырмалар қарастырылған.Соның нәтижесінде оқушылармен  теориялық  сұрақтар  арқылы (мысалы, сызықтық  функцияның графигі  қандай  тәуелділікті  көрсетеді?Сызықтық  функция  графигін бір әдіспен  құру  үшін қанша  нүкте  жеткілікті? және т.б.), сондай-ақ практикалық құрылымдық  тапсырмалармен қорытынды  қайталау  жүргізіледі.

2. Функциялар  графиктерінің қиылысу нүктелер координаталарын  табу  біліктілігі.

Бұл амалмен оқушылар сызықтық  функция  графигін және сызықтық  теңдеулер  жүйесін  шешудің  графикалық  әдісін оқу  барысында  7 сыныпта  танысады.Қосымша бұл біліктілікті қалыптастыру үшін дайын сызбалар  бойынша  функциялар  графиктерінің қиылысу  нүкте  координаталарын табуға  жаттығулар қолданылады.Графиктер көмегімен мазмұнды  есептерді  шығаруға  қажет  құрылымдық  біліктіліктерді  қарастырайық.

3. Берілген  түзуге  берілген  нүкте  арқылы өтетін параллель түзуді   құру  біліктілігі.

6 сыныпта құрылымдық жаттығуларда  қалыптасады. Түзудің барлық  орналасу  жағдайын  қарастыру  керек: көлденең, тік, көлбеу.

4. Сызбада ұқсас үшбұрыштарды белгілеу  біліктілігі.

Бұл амал мазмұнды  есептердің  графика–геометриялық  шығаруы  барысында  қолданылады.Ол 8сыныпта үшбұрыштардың ұқсастық қасиеттерімен  танысқаннан кейін геометрия  курсында  қалыптасады.Бұл мақсатта дайын  сызбаларда ұқсас үшбұрыштарды табуға ,сондай-ақ планиметриялық  есептерді  шығару  барысында  жаттығулар  қолданылады.

«Қабырғалары тең үшбұрыштар ұқсас бола ма,егер олардың: а) тең тік бұрышы; б)тең доғал бұрышы; в)тең  түзу  бұрышы болса?». Жауабыңызды негіздеңіз.

Есеп шартымен графикалық  үлгілерді  байланыстыратын біліктіліктерді  қалыптастыру  әдістемесін  сипаттайық.

5. Масштабты  тиімді  таңдау  біліктілігі.

Бұл  графикалық  әдістің  маңызды  біліктіліктерінің  бірі. Жауап  дәлдігі  масштабты  дұрыс  таңдауға  байланысты.Бұл амал  графикалық  әдіспен  нақты  есептерді  шығару  процесінде  қалыптасады. Графикалық түрде  шығарылатын  мазмұнды есептердің ауызша жаттығуларын  ұсынамыз. Осы  жаттығуға  мысал  келтірейік.

4 есеп.

А  пунктінен  В  пунктіне 20км/сағ. жылдамдықпен поезд  шықты. 5 сағаттан  кейін  В пунктінен А пунктіне 30км/сағ. жылдамдықпен  басқа  поезд  шықты.А  мен В  арасындағы  қашықтық  350 км. А пунктінен  қандай  қашықтықта  поездар  кездеседі?

Бұл есепке қосымша тапсырма  беріледі:«Координаталардың әрбір осіне  тиімді  масштабты  таңдаңыз». Есеп шартында   пункттер  арасындағы  арақашықтық  350 км  деп айтылған, сондықтан жолдың  осі  бойынша осы шаманы , мысалы, 35 және 50 км салуға болатындай масштабты алу қажет.Екіншіден,поездар  жылдамдықтары 20 және 30км/сағ.,демек масштаб бұл мәндерді де  қанағаттандыру керек, мысалы, 10км/сағ. Онда бұл жағдайда пункттер  арасындағы қашықтықты белгілеу үшін 35 бірлік  кескінді  салу  қажет  болады, бірақ бұл  мүмкін  емес.Сондықтан, 50 деген мәнге тоқталу керек.Уақыт  осі  бойынша жоғары  дәлдік  үшін  2,5 сағатты алған  дұрыс.

6. Шамалар  мәндерін  координата осьтерінде салу  біліктілігі.

Бұл амал координаталардың тікбұрышты  жүйесінде бірлік  кесінділер  белгіленіп,процестің кейбір санды сипаттамасын көрсету  қажет  болса орындалады. Мысалы, 4 есептің шартына  сәйкес уақыт  осінде 5 сағат салу  керек – бірінші және  екінші  поездардың шығу уақытының  айырмасы.Бірлік кесіндіге  тең мәнді  салу  қиындық  тудырмайды. Болмаған  жағдайда шамалар  мәндері жуық етіп алынады.Оқушы шама мәнін басқа осьте салуы мүмкін. Мұндай қателерді алдын-алу мақсатында есеп шарты мен дайын сызба  бойынша координата осьтеріне салынған мәндер сәйкестігін тексеруге  тапсырмалар беріледі.

7. Координаталардың тікбұрыш  жүйесін  тиімді сала білу біліктілігі.

Мазмұнды  есептерді  шығару  барысында  шамалардың оң мәндерін  ғана қолданамыз,сондықтан координата осьтерінің  бағыты оң болады.Әдеттегідей, көлденең осі бойынша уақыт,тік осі бойынша өткен жол,орындалған жұмыс көлемі, толтырылған  бассейн көлемі және т.б.  салынады. Кейбір  жағдайларда  координаталардың бір жүйесі жеткіліксіз  болады. Кейбір  есептерді  шығару  барысында екі  немесе одан да көп объектілермен кездесеміз,олар белгілі процесті бір уақытта немесе бастайды (аяқтайды),ал егер де бұл қозғалыс  процесі  болса, онда  бір нүктеде де болмауы мүмкін.  Сондықтан бұл  жағдайда екінші  объект үшін өзінің  координаталар жүйесін  құру  ыңғайлы. Жоғарыда  атап өтілгендей,  координата осьтерінің бағыты оң, сондықтан  алдымен «озатын» объекттің  графигі  құрылады. Оны 4 есеп мысалында  қарастырамыз.

Тиімді масштабты таңдап, координаталар  осьтерінде бірлік кескіндерді  салып, төмендегіні аламыз:

(1-сурет)

Берілген координаталар жүйесінде бірінші поездың  қозғалыс графигін құрамыз,бірақ онда екінші поездың  қозғалыс графигін  құру  оңай  болмайды. Сондықтан  оған  өзінің  ортасы (0; 350)  нүктесіндегі координата жүйесін  құру  керек.

(2-сурет)

Екінші поезд үшін  (5;350) нүктесінен басталатын екінші  поезд  қозғалысының басталуын  көрсететін координаталар жүйесін  құру  керек.Бірақ бұл кезде  сызба өте үлкен болады.Бірнеше жұмысшылармен немесе  машиналармен  жұмысты орындауға,бассейнді бірнеше крандармен толтыруға берілген есептерде координаталар  жүйесін  орналастыру  ыңғайлы.Бұл  біліктілік есепті  шығару  процесінде, сондай-ақ есеп шарты бойынша координаталар жүйесін  құруға,қажет координаталар жүйесін таңдауға берілген жаттығулар көмегімен   қалыптасады.Мысалы,4 есепке алғашқы координаталар жүйесін құрғаннан кейін мынадай тапсырма ұсынылады: екінші поездың  қозғалыс  графигі  үшін  координаталар  жүйесін  құру, яғни 2-суретті өз бетінше салу.

8. Сызықтық  функция графигін  кесте  түрінде  құру  біліктілігі.

Бұл амал,негізінен графикалық–геометриялық әдіспен есептерді шығару  барысында  қолданылады. Ол  құру дәлдігін талап етпейді,бірақ оқушылар кез-келген графикті емес, есеп шартына сәйкес графикті сызу керек.Мысалы, жылдамдық (өнімділік  және т.б.)көп болған сайын,жұмсалған уақыт аз  болғандықтан  график  тіктеу  орналасады.

Бұл біліктілік  нақты  есептерді  шығару,сондай-ақ  графиктері бар дайын  сызбаларды оқуға, екінші объекттің графигін аяқтауға,есеп шартына сәйкес  сызбаны таңдауға арналған жаттығулар көмегімен қалыптасады.Мысал келтірейік.

5 есеп.

Арақашықтығы  500 км   А  және  В  аэродромдардан бір мезгілде  бір-біріне қарсы екі тікұшақ ұшты. 1 сағат 20 минуттан соң кездескеннен кейін А  аэродромынан  көтерілген  тікұшақ  В аэродромына қонады,ал екінші тікұшақ кездескеннен кейін 3сағаттан соң А  аэродромына қонады.Тікұшақтардың жылдамдықтарын  анықтаңыз.

Есеп шарты бойынша сызбаны аяқтауға тапсырма беріледі:

(3-сурет)

9. Белгісіз  кесіндіні айнымалы арқылы белгілеу  біліктілігі.

10. Есептің  шарты  бойынша  айнымалы  арқылы белгісіз  кесіндіні  белгілеу  біліктілігі.

11. Үшбұрыштардың ұқсастық қасиеттерін қолдана отырып,пропорция  (теңдеу)  құру  біліктілігі.

Осы  үш  біліктіліктер  сызықтық  және  екіөлшемді  диаграммаларға  қатысты  сәйкес  біліктіліктерге  ұқсас. Екіөлшемді  диаграммалар  графикалық шешу  барысында осы  амалдарды  қолдануға  негіз  болып   табылады.Бұл  амалдарды  бейімдеу және жетілдіру жаттығулары сызықтық және екіөлшемді  диаграммалар үшін қолданылған жаттығуларға ұқсас.

9 біліктілік үшін  айнымалы  үшін  қай кесіндіні белгілеу керектігін таңдау; 10 біліктілік үшін айнымалы  арқылы кескіндерді сипаттау,сәйкес графиктерді таңдауға; 11 біліктілік үшін дайын сызбамен теңдеуді қатынастыруға,дайын сызба  бойынша  теңдеуді өздігінен құрастыру және т.б. Осы үш біліктіліктер  жиынтығын  қалыптастыруға  тапсырмалар беру тиімді. Айтылғандарды  дәлелдейік.

 

(4-сурет)

5 есепке берілген дайын сызбаға келесі тапсырма беріледі:«Кесіндіні айнымалы арқылы белгілеп, теңдеу құрыңыз». Бұл жағдайда екі кесіндіні пайдалану ыңғайлы, мысалы, АА₂ кесіндісін х деп, А₂О кесіндісін у деп белгілейміз. ВАА₁ және ОА₂А₂, АВВ₁ және ОВ₂В₁ үшбұрыштарынан келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

 

Бұдан  теңдеуін аламыз.

Бұл  мысалда есепті  геометриялық жолмен  шығару  барысында теңдеу есеп шартынан қолданылмайтын геометриялық үлгінің  қасиеттерінен құралатынына  тағы да көз жеткіземіз.Пропорцияны құру біліктілігі графикалық–геометриялық әдіс теңдеуге емес санды  өрнекке  келтірген  жағдайда  қолданылады.Бұл амал жиі пропорцияның белгісіз мүшесін табуға қолданылады және 6 сынып математика курсында қолданылады, яғни  бұл біліктілік үшін көптеген  жаттығулар  бар.