Статья на тему "Иррациональные числа"

Система задач на формирование понятия иррационального числа

в школьном курсе математики

Пелевина Н.Н.

Россия, г. Тольятти

В VI в. до н.э.  со времен Пифагора было установлено существование              несоизмеримых отрезков, или, говоря другими словами, отмечает А.В. Дорофеева [ 5, С.32], открытие иррациональности.

 До XVI  в. , отмечает Н.В. Александрова[1,С.69-70], иррациональные числа назывались  «глухими, безгласными» или  «непроизносимыми». Было   распространено и другое толкование этого термина  - «неразумное, нелогичное число». И вплоть до XVI в. иррациональные числа не считались подлинными числами.

 Только в XVII веке множество таких чисел, отмечает В.С. Малаховский [10,С.27], которые нельзя выразить отношением двух  целых чисел, прочно     вошло в европейскую математику как множество иррациональных чисел         (от лат. irrational – безрассудный, не определяемый отношением).

В начале XVIII столетия существовало, как отмечает А.П. Юшкевич [20], три понятия иррационального числа:

-      иррациональное число рассматривали как корень n-ой степени из целого или дробного числа, когда результат извлечения корня нельзя выразить «точно» целым или дробным числом;

-      иррациональное число трактовали как границу, к которой его рациональные приближения могут подойти как угодно близко;

-      число рассматривали как отношение одной величины к другой величине того же самого рода, взятой за единицу; когда величина несоизмерима с единицей, число называли иррациональным.

Государственный стандарт общего образования определяет минимум      содержания основных образовательных программ по математике. В содержание темы “Действительные числа”  в курсе общеобразовательной школы включены следующие  вопросы  [9], касающиеся иррациональных чисел.

5-9 классы: Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа и несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Десятичное приближение иррациональных чисел.

10-11 классы (базовый и профильный уровни): 1. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем. 2. Число е.

Иррациональное число  авторы  Н.Я. Виленкин  [2], А.Г.Мордкович [11], Ю.М.Колягин [8], С.М. Никольский [15], М.И. Шабунин [19] определяют            одинаково как бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Иррациональность различных чисел доказывается в учебниках [11, 19] на примерах  показывая, что  число  (),   не является рациональным, других примеров доказательства иррациональности не приводится.

В задачнике А.Г. Мордковича приводятся такие задания: Докажите иррациональность числа: .

В учебнике М.И. Шабунина [19] приводится  упражнение такого типа:

1. Докажите, что следующие числа являются иррациональными:

2. Докажите, что следующие числа являются иррациональными:

1) 0,121122111222…;    2) 2,12345678910112…

В  учебном пособии С.М. Никольского [15] представлены задания                следующего вида:  Докажите, что каждое из чисел  и  иррациональное.

В учебнике Н.Я. Виленкина [2] представлены следующие упражнения:

 Покажите, что следующие числа не являются рациональными:

1) 0,73773777377773…:  2) -6,565566556655556666… .

В учебнике Ю.М. Колягина [2] упражнения на доказательство иррациональности числа отсутствуют.

Действительные числа в учебниках [2,11,8,15,19], рассматриваются как объединение множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел, добавляется, что всякое действительное число можно записать в виде  десятичной дроби (конечной или бесконечной).

Отличительной особенностью учебника Н.Я. Виленкина [2] является то, что он сначала вводит понятие действительного числа, а затем выделяет как      частный случай иррациональное число.

 Не претендуя на понятие системы задач, и взяв за основу схему системы задач на формирование понятия, предложенную Г.И. Саранцевым  [16],  мы     разработали блок  задач, реализующий содержание трех уровней, исходя при этом из следующих требований. Задачи должны быть направлены на:

1.     Формирование предметно-значимых знаний и умений.

2.     Усвоение содержания понятия иррационального числа.

3.     Приобретение навыков самостоятельной работы.

Мотивация введения понятия

Задача 1 [4].

Докажите, что числа  и  не являются рациональными.

Решение. Предположим, что  - рациональное число, представим его виде несократимой дроби , НОД, . Возведем обе части равенства в квадрат и получим:  или . Это значит, что  делится на  нацело, то есть НОД. Следовательно, числа  и  не взаимно просты. А это, в свою очередь, значит, что не являются и взаимно простыми и числа . Получили противоречие. Следовательно, наше предположение неверно -  рациональным числом не является.

Для числа  доказательство аналогичное.

Задача 2. Какому числовому множеству принадлежит корень уравнения .

Усвоение логической структуры определения

Задача 3 [6]. Укажите какие из перечисленных чисел являются рациональными, а какие иррациональными:

а) 2,1;                   б);                  в) 0,275;              г) ; 

д) ;       е)3,01234567891011…; ж) ;    з); 

и) 0,(2);                к) ;             л);             м)

Ответ: Рациональные числа: 2,1; 0,275; ; ; 0,(2); .

Иррациональные числа: ; 3,01234567891011…; ; ; ; .

Задача 4 [4]. Какие из следующих корней являются рациональными,             а какие - иррациональными : а) ; б) ;    в) ;    г) ;   д) ;    е) ;      ж) ;     з) ;  и) ;  к). Ответ: Рациональные: ; ; ; .   Иррациональные: ; ; ; ; ; .

Задача 5. Приведите примеры иррациональных чисел.

Задача 6 [4]. Дан прямоугольник со сторонами 2 и , в него вписаны два треугольника, как показано на рисунке.

а) Докажите, что треугольники являются равносторонними.

б) Выясните, соизмеримы ли высота вписанного треугольника и диагональ прямоугольника.

в) Выясните, каким числом (рациональным или иррациональным) выражается отношение площадей треугольника и прямоугольника.

 

Рис. 1.

РЕШЕНИЕ. а) Рассмотрим вписанный треугольник ABC.

АС – основание, АВ и ВС – боковые стороны, ВН – высота.

АС=, ВН=.   По теореме Пифагора:   АВ=

АВ=.  Сторона ВС находится аналогично.

АВ=ВС=АС=, следовательно треугольник равносторонний.

б) Найдем диагональ l прямоугольника. По теореме Пифагора: . Найдем отношение высоты треугольника к диагонали прямоугольника: , следовательно высота треугольника и диагональ прямоугольника несоизмеримы.

в) Найдем площадь треугольника:  . Найдем площадь прямоугольника: .  Найдем отношение , следовательно отношение площадей выражается рациональным числом.

Задача 7 [17].  Докажите, что дробь 0,1234567…, в которой после запятой выписаны подряд все натуральные числа, не является периодической, т.е. не    задает рациональное число.

Доказательство. Предположим, что эта дробь является периодической, тогда ее период содержит n знаков, т.е., начиная с некоторого места, будет повторяться одна и та же последовательность из n цифр. И где-то обязательно встретятся подряд n нулей, а поэтому из периодичности дроби вытекало бы, что ее период состоит из одних нулей, т.е. эта дробь является конечной. Но такой вывод противоречит способу задания дроби. Следовательно, число 0,1234567… является иррациональным.

Задача 8 [7].  Докажите, что следующие числа ,, , -              иррациональные.

Решение.  есть корень уравнения . Если это уравнение имеет рациональный корень, то он является целым числом и притом делителем числа 12. Совокупность делителей числа 12 состоит из следующих чисел 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,6,-6,12,-12. Но не одно из этих чисел не есть корень нашего уравнения. Следовательно уравнение  не имеет рациональных корней и число  иррационально.

Пусть . Предположим, что  – рациональное число. Возведем в квадрат равенство , получим . Отсюда . Получили противоречие, так как в последнем выражении слева стоит иррациональное число, а справа – рациональное. Значит,  - иррациональное число.

Задача 9 [7].  Найдите ошибку в рассуждениях «Пусть n, p, q  N, q ≠ 1 и  - несократимая дробь,   Q. Докажем, что   Q. Обозначим  = . Тогда  n = ,  что невозможно, так как  q ≠ 1  и  n  N не может равняться           несократимой дроби   . Значит,  есть число иррациональное для любого натурального числа n».

Ответ: Ошибка заключается в следующем: не рассмотрен вариант  = k,  k  N. Уже при n = 4 получается  = 2, 2  N  Q.  Доказано фактически предложение «Если   N, то  - иррациональное число»   [20, C.8].

Задача 10 [7]. Докажите что длина диагонали квадрата, сторона которого равна 1, выражается иррациональным числом.

Задача 11 [7]. Докажите, что диагональ прямоугольника со сторонами 1 и 2 несоизмерима с его сторонами.

Задача 12 [13]. Известно, что число , входящие в формулу длины окружности и площади круга , где R – радиус окружности, является иррациональным числом. Докажите, что числа  и  иррациональные.

Выделение свойств множества иррациональных чисел

Задача 13 [14]. Укажите два иррациональных числа, разность которых           иррациональна.

Задача 14 [12]. Может ли разность двух различных иррациональных чисел быть рациональным числом? Если не может, то почему? Если может то приведите пример.

Задача 15 [14]. Укажите два иррациональных числа, сумма которых иррациональна.

Задача 16 [17]. Приведите примеры двух положительных иррациональных чисел, таких чтобы их сумма была рациональным числом (записанных при помощи радикалов; в виде трансцендентных чисел).

Задача 17 [14]. Укажите два иррациональных числа, произведение которых иррационально.

Задача 18 [14]. Укажите два иррациональных числа, произведение которых рационально, и тем самым докажите, что множество иррациональных чисел не замкнуто относительно умножения.

Задача 19  [14]. Укажите два иррациональных числа, частное которых             иррационально.

Задача 20 [14]. Укажите два иррациональных числа, частное которых             рационально, и тем самым докажите, что множество иррациональных чисел     не замкнуто относительно деления.

Задача 21 [18]. Докажите рациональность чисел, доказав тем самым, что множество иррациональных чисел не обладает свойством замкнутости:

а) ;  б) ;

в) .

Доказательство. а), следовательно, ; б) ;

в) пользуясь формулой , получим , т.е. – корень уравнения . Но так как , то уравнение имеет лишь один действительный корень  и, следовательно, .

Задача 22 [17]. Выберите два произвольных рациональных числа и покажите, что между ними содержится хотя бы одно иррациональное число.

Решение. Выберем, например, числа 4,3786 и 4,32792. Первые цифры искомого числа  подбираем так, чтобы , например, . Чтобы оказалось  иррациональным. Можно сконструировать его в виде , где             а – иррациональное число. Например, если , то  .

Возьмем два рациональных числа 1 и 2, между ними содержится число  -иррациональное число.

Применение понятия

Задача 23 [12]. Каким числом является сумма двух  чисел, одно из которых рациональное, а другое иррациональное.

Задача 24 [17]. Могут ли быть иррациональными числа a и  b, если рациональные числа a+b и  ab?

Ответ: Да, могут. Пример: ,  - иррациональные числа, но ,

Задача 25 [6]. Пусть – рациональное число, - иррациональное число. Рациональным или иррациональным является число:

а) ;                б) ;          в) ;          г) .

Ответ: а) иррациональное; б) рациональное; в) иррациональное; г) рациональное.

Задача 26 [6]. Пусть  является иррациональным числом. Докажите, что  - также иррациональное число.

Доказательство. По условию  - иррациональное число. Пусть а – рациональное число, тогда  - рациональное число,  - рациональное число,  также рациональное число. Следовательно и число  так же будет рациональным числом.         Получили противоречие, откуда следует, что а - иррациональное число.

Задача 27 [3]. Покажите, что найдутся такие иррациональные числа А и В, что: А^В – рациональное число; А^В – натуральное число.

Решение. Возможны два случая: 1) пусть  - рациональное число; тогда нам удалось найти такое число, которое удовлетворяет условию задачи;

2) пусть  - иррациональное число. Примем его за А, а за В  примем число . Тогда  - рациональное число.

Задача 28 [6]. Докажите, что корнями уравнения  являются два иррациональных числа, сумма и произведение которых не только рациональные, но даже целые.

Решение. Пусть  и  - корни данного уравнения. По теореме Виета: .

Решив данную систему получим: 1), . 

2) , .

Задача 29 [6]. Докажите, что на прямой  координаты любой точки либо обе рациональные, либо обе иррациональные.

Доказательство:

Пусть  - иррациональное число, а – рациональное число, тогда

 - рациональное число, как частное двух рациональных чисел.

Получили противоречие. Следовательно - иррациональное число

Задача 30 [3]. Сравните числа:

а) 1,(34) и 1,34 ;      б) и 3;     в)  и 2;   г)  и 4 ;           

д) -54,72 и -54,679;    е) 3,1415 и  .     

Ответ:   а) 1,(34) < 1,34 ;  б) < 3 ;   в)  > 2;     г)  > 4;

             д) -54,72 < -54,679    е) 3,1415 < .

Задача 31 [7]. Не используя таблицы и калькулятора, вычислите квадратные корни:; ; ; ; ; .

Задача 32 [3. Найдите для следующих чисел их целые и дробные части, а также приближения по недостатку и по избытку с точностью
до 0,01 и до 0,0001:    а) π = 3,1415926… ;   б) – π ;

в) 0,5189773… ;         г) – 0,5189773… .

Решение. а) [3,1415926] = 3 – целая часть π, {0,1415926} – дробная часть π.

 3,1415926 ≈ 3,14… по недостатку, 3,1415926 ≈ 3,1415… по недостатку;    

3,1415926 ≈ 3,15… по избытку, 3,1415926 ≈ 3,1416 по избытку.

б) – π = -3,1415926. [-3,1415926] = - 4 – целая часть, 1 – 0,1415926 = 0,8584074.

{-3,1415926} = 0,8584074 – дробная часть –π.

Задача 33. На координатной прямой построить отрезок ОА, равный             гипотенузе ОС прямоугольного треугольника ОЕС  с катетами |OE| = |EC| = 1. Тогда длина этого отрезка (по теореме Пифагора) окажется равной   и точке А  не будет соответствовать никакое рациональное число. Постройте точки             соответствующие некоторым иррациональным числам – квадратным корням из натуральных чисел, не являющихся точными  квадратами (от  до ).  

Задача 34. Используя теорему Пифагора построить прямоугольный            треугольник с гипотенузой  и .

Функции и их графики

Задача 35 [7]. Докажите, что иррациональны следующие значения функции : ; ; .

Задача 36 [14]. Рациональными или иррациональными являются значения функции  при х=3; 8; 12.

Тригонометрические функции

Задача 37 [14]. Докажите что следующие числа иррациональны: а);  б) ; в); г). Полезна теорема: если многочлен  с целыми коэффициентами имеет рациональный корень                (m и n – взаимно простые целые числа), то m является делителем a_k, n – делителем a₀.

а) Воспользуемся формулой тройного угла  . Получим:. Применим формулу приведения и получим: . Пусть , тогда , . Данное уравнение не имеет рациональных корней, следовательно  - иррационально.

Задача 38 [14]. Какие из следующих чисел рациональны:

1)  ;      4)  ;      7) ;      10);

2)  ;      5) ;       8) ;      11);

3) ;         6)  ;        9) ;         12).

Задача 39 [7]. Расположите в порядке возрастания следующие значения функций:   1) , ,  ;    2) , , .

Показательные и логарифмические функции

Задача 40 [14]. Докажите,  что следующие числа иррациональны:

а) ;   б) ;  в) .

Решение. б) Предположим, что  , a и  b положительные целые числа. Имеем:

.  Возведем обе части этого равенства в степень b, получим:  ,

Применим основную теорему арифметики. Эта теорема утверждает, что всякое целое число единственным образом разлагается в произведение простых чисел. Согласно этой             тереме   равенство  не возможно.

в) Предположим, что , где  m и n взаимно простые натуральные числа,                тогда  или , что  невозможно.

Литература:

1.    Александрова, Н.В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник / Н.В. Александрова. – М.: Издательство ЛКИ, 2007. – С. 69-70,217.

2.    Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ. 10 кл.: Учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. Изуч. математики / Н.Я. Виленкин. – М.: Мнемрзина, 2004. – 335 с.

3.    Галицкий, М.Л. Сборник задач по алгебре: Учеб. пос. для 8-9 кл.                  с углубл. изучением математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман,           Л.И. Звавич. – М.: Просвещение, 2001. – 271с.

4.    Гельфман, Э.Г. Действительные числа. Иррациональные выражения. Учебное пособие по математике для 8 класса / Э.Г. Гельфман.  – Томск: Изд-во Томского ун-та, 1998. – 256с.

5.    Дорофеева А.В.Страницы истории на уроках математики:кн.для учителя / А.В. Дорофеева. – М.: Просвещение, 2007. – 96 с. : ил. – (Библиотека учителя).

6.    Звавич, Л. И. Алгебра. Углубленное изучение. 8 кл.: задачник / Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский. – 4-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2006. – 284с.

7.    Канин, Е.С. Об углубленном изучении действительных чисел / Е.С. Канин // Математика в школе. – 1999. – № 6. – С. 74–77.

8.    Колягин, Ю.М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для уч. общеобраз. учреждений (профильный уровень) / Ю.М. Калягин, Ю.В. Сидров, М.В. Ткачева.- М.: Мнемозина, 2009. - 366 с.

9.    Кузнецова, Г.М. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 5-11 класс / Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк Н.Г. – М.: Дрофа, 2001. – 238c.

10.    Малаховский В.С. Числа знакомые и незнакомые: Учебное пособие / В.С. Малаховский. – Калининград: ФГУИПП «Янтарный сказ», 2005. – 184 с.

11.    Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Профильный уровень./ А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2009. – 424с.

12.    Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч. 2: Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина. – 5-е изд. испр. – М.: Мнемозина, 2003. – 339с.

13.    Муравин, Г.К. Алгебра. 8 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений  / Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина. – 9-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2006. – 255с.

14.    Нивен, А. Числа рациональные и иррациональные / А. Нивен. – М.: Мир, 1966. –200 с.

15.    Никольский, С.М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учереждений: базовый и профил. Уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2009. – 430с.

16.    Саранцев, Г.И. Общая методика преподавания математики: Учебное пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов / Г.И. Саранцев. – Саранск: Тип. «Красс.Окт.», 1999. – С.120-143.

17.    Смирнова, С.И. Какое это число? / С.И. Смирнова //Математика в школе. – 2000. –№4. – С.10-12.

18.    Чаплынин, В.Ф. Задачи в формировании действительного числа / В.Ф. Чаплыгин // Математика в школе. – 1997. – №1. – С.26-27.

19.    Шабунин, М.И. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса / М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 424 с.

20.  Юшкевич, А.П. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Том 3 / А.П. Юшкевич. – М.: Наука, 1970, С.35.