Статья на тему "История возникновения комплексных чисел. Комплексные числа в физике"

История возникновения комплексных чисел.

Комплексные числа в физике

Наш Мир намного сложней и интересней, чем тот, который мы фиксируем с помощью наших несовершенных ощущений или инструментов. Он содержит кроме материальной составляющей еще и мнимую часть, такую же «реальную», как и вещественная часть.

Первобытные люди и современные маленькие дети, которые не знали счета, определяли все числа как «один» и «много».

Ноги и пальцы были основными орудиями счета, особенно когда люди начали обмениваться друг с другом предметами своего труда. Так, например, желая обменять сделанное им копье с каменным наконечником на пять шкурок для одежды, человек клал на землю свою руку и показывал, что против каждого пальца его руки нужно положить шкурку. Одна пятерня означала 5, две - 10. Когда рук не хватало, использовали ноги. Две руки и одна нога - 15, две руки и две ноги - 20.

К VI веку сложилась индийская система нумерации и вычислений. Она оказалась такой удобной и удачной, поэтому ею пользуются во всем мире. Европейцы познакомились с ней в X - XIII веках через арабов, которые первыми узнали этот способ записи чисел, усвоили и привезли в Европу, поэтому эти новые цифры в Европе стали называть арабскими. Самый простой и удобный счетный прибор, работающий в десятичной системе счисления, был всегда у человека всегда под рукой – это 10 пальцев. Славянские народы для обозначения больших чисел использовали новые специальные названия (число 10000 называли словом «тьма». Это же слово обозначало и бесконечность (то, что нельзя пересчитать)). Позже число 10000 стали называть так же, как и мы сейчас - 2десять тысяч, словом «тьма» - тысячу тысяч, то есть миллион. Число «тьма тем».

         В школьном курсе при рассмотрении действительных чисел отмечалось, что во множества действительных чисел нельзя найти число, квадрат которого равен (-1). При рассмотрении квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами не имеют корней. Чтобы подобные задачи были разрешимы, вводят понятие комплексных чисел.

Итальянский ученый Джордж Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы, он называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их ненужными и старался их не употреблять. В 1572 году вышла книга другого итальянского ученого Р. Бомбелли, в которой были указаны первые правила сложения и вычитания таких чисел, даже указывались извлечения кубических корней.

Название «мнимые числа» предложил в 1637 году французский математик и философ Рене Декарт, а Л. Эйлер   предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения мнимой единицы. вошел во всеобщее Термин «комплексные числа» так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. образующих единое целое.

Сумма действительного и мнимого чисел и немецкий математик и астроном Гаусс в 1831-ом году назвал комплексным числом.

С XIX-го века комплексные числа стали неотъемлемой частью практически всех разделов физики.  С их помощью решаются задачи, принципиально нерешаемые в рамках математики вещественных чисел. Особенно актуальным этот вопрос в разделах классической физики: электрические цепи, передача информационных сигналов, гидродинамика, аэродинамика и др. Если придать току и напряжению комплексную форму, то закон Ома для сложной цепи, содержащей кроме омического сопротивления еще конденсатор и катушку индуктивности, сохраняет свой традиционный вид. Формула закона Ома будет содержать новое сопротивление в виде комплексного числа:

Z : U = 𝑍𝐼 = (𝑖𝐿𝜔 + 𝑅)𝐼 , где i - мнимая единица, U - напряженность, L – индуктивность, ω – частота, R – омическое сопротивление, I – электрический ток.

Для любых сложных электрических цепей, сопротивление представляется в виде суммы активного (вещественного) и реактивного (мнимого). Физическое измерение (с помощью физических приборов) дает суммарное сопротивление. Теоретически можно выделить действительную и мнимую части, но зафиксировать их по отдельности, видимо невозможно. Основные свойства комплексных чисел легко обобщаются на случаи комплексных векторов и комплексных функций. Комплексная плоскость позволяет применять, так называемые, конформные (подобные) отображения, упрощающие расчеты не только в электрических цепях, но и в задачах теплопроводности, гидродинамики и, даже, магнитных полях. Та же проблема реальности мнимых форм возникает при использовании, так называемого, интеграла Фурье в комплексном виде: в электрической цепи электродвижущую силу (эдс) можно с помощью интеграла Фурье рассматривать как сумму бесконечного числа синусоидальных колебаний. Анго приводит ряд примеров, когда комплексный интеграл Фурье следует рассматривать как физическую реальность. Его соображения применимы и к оптическим задачам, где имеется тесная связь между коэффициентом преломления и коэффициентом поглощения в виде соотношений, связывающих вещественную и мнимую части диэлектрической постоянной (дисперсионные соотношения).