Статья на тему: "КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРАНСЛОЙНЫХ ЛИНИЙ ДЛЯ СИСТЕМ ДВУХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ"

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРАНСЛОЙНЫХ ЛИНИЙ ДЛЯ СИСТЕМ ДВУХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

Введение

В [1] был разработан метод, на основе которого в [2] были получены условия для возникновения у решений сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной плоскости изменения аргумента линии, разделяющей сингулярные и регулярные подобласти, в форме петли, названной авторами «простирающимся пограничным слоем». В [3] показано, что такие линии естественно возникают для таких уравнений с аналитическими функциями, и предложено называть их более кратко – погранслойными линиями.

В [4] доказано, что для любого конечного набора точек на комплексной плоскости существует такое сингулярно возмущенное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с полиномиальным коэффициентом с начальным условием, что его решение имеет погранслойные линии, содержащие все эти точки. В [5] найдены условия, когда погранслойные линии являются гладкими.

В данной статье некоторые из введенных определений расширены и уточнены для систем уравнений. Приведены примеры, показывающие специфику двумерных уравнений.

1.     Основные определения

Будем использовать следующие обозначения:

R=(-∞,∞), R₊=[0,∞);

С – комплексная плоскость,

С₁= {Θ ∈ С, |Θ|=1} – единичный круг направлений;

( )* - комплексное сопряжение;

Q(G) – пространство аналитических функций в области G ⊂ С;

ε – малый положительный вещественный параметр.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений первого порядка c параметром e при производных

ε z₁’(t,e)= a₁₁(t) z₁ (t,ε)+ a₁₂(t) z₂ (t,ε),

ε z₂’(t,ε)= a₂₁(t) z₁ (t,e)+ a₂₂(t) z₂ (t,ε), t∈ Ω⊂ С,                             (1)

с начальным условием

z₁(t₀,ε)= z₁₀, z₂(t₀,ε)= z₂₀,                                        (2)

где: Ω – односвязная область, t₀ – ее внутренняя точка,

z₁₀, z₂₀∈ С, z₁₀ z₁₀*+z₂₀ z₁₀*≠ 0, a₁₁(t), a₁₂(t), a₂₁(t), a₂₂(t) ∈ Q(Ω).

Введем положительную вещественнозначную функцию от решения

U(t,ε)= z₁ (t,ε) z₁*(t,ε)+ z₂ (t,ε) z₂*(t,ε)                            (3)

(для тех значений t, для которых она существует и однозначно определена).

Определение 1. Если U(t₁,ε) не ограничено при ε → 0, то точка t₁∈ Ω называется сингулярной для задачи (1) – (2).

Определение 2. Если U(t₁,ε) ограничено, но не стремится к нулю при ε → 0, то точка t₁∈ Ω называется «промежуточной» для задачи (1) – (2).

Определение 3. Если U(t₁,ε) → 0 при ε → 0, то точка t₁∈ Ω называется регулярной для задачи (1) – (2).

Определение 4. Точка, в любой окрестности которой существуют как регулярные, так и нерегулярные точки, называется погранслойной точкой.

Примечание. Данные определения введены, потому что в двумерном случае, в отличие от одномерного, есть различия между «промежуточными» и погранслойными точками.

Определение 5. Любое множество промежуточных (погранслойных) точек называется промежуточным (погранслойным) множеством.

Определение 6. Промежуточное (погранслойное) множество, являющееся непрерывным, локально взаимно-однозначным образом отрезка, называется промежуточной (погранслойной) линией.

Определение 7. Для промежуточной (погранслойной) точки t₁∈ С число Θ ∈ С₁ называется промежуточным (погранслойным) направлением, если для любого малого σ >0 существует такое малое δ>0, что множество

 {t ∈ С | |Arg(t- t₁) - ArgΘ | <σ, | t- t₁| =δ }

содержит промежуточные (погранслойные) точки.

Определение 8. Если в промежуточной (погранслойной) точке имеются два промежуточных (погранслойных) направления, составляющие угол, отличный от 180⁰, то она называется точкой ветвления. Количество таких направлений, каждое из которых составляет угол, отличный от 180⁰, с каким-либо другим направлением, будем называть количественным показателем ветвления.

2.     Примеры промежуточных и погранслойных элементов в решениях систем сингулярно-возмущенных уравнений

Для иллюстрации различных случаев, возникающих при применении определений предыдущего раздела, мы ограничимся ситуацией, когда

a₁₂(t)≡ 0, a₂₁(t)≡ 0,                                                 (4)

ε z₁’(t,ε)= a₁₁(t) z₁ (t,ε),                                          (5)

ε z₂’(t,e)= a₂₂(t) z₂ (t,ε), t∈ Ω⊂ С,                           (6)

тогда можно будет использовать результаты работ [2–5].

Будем также предполагать, что z₁₀≠0, z₂₀≠0. Будем обозначать t= Re t + Im t = u+iv.

Пример 1 (наличие промежуточной, но не погранслойной линии).

ε z₁’(t,ε)= z₁ (t,ε), ε z₂’(t,ε)= - z₂ (t,ε), z₁₀=1, z₂₀=1.                 (7)

U(u+iv,ε)= exp ((u+iv)/ ε) exp ((u- iv)/ ε) +exp (-(u+iv)/ ε) exp (- (u- iv)/ ε)=

= exp (2u/ ε) + exp (-2u/ ε).

При u=0 получаем промежуточную линию: U≡ 2. Вместе с тем, при u≠ 0 получаем, что U(u+iv,ε) → ∞ при ε → 0. Таким образом, регулярных точек не существует. Следовательно, не существует погранслойных точек и погранслойных линий.

Отметим, что в одномерном случае погранслойные линии (как частные случаи линий Стокса), а также точки ветвления и др. получаются из условий вида   (для уравнения (5)). В двумерном случае такой связи уже нет: погранслойные и промежуточные линии не определяются каким-либо одним равенством.

Пример 2 (2-ветвление погранслойных линий).

ε z₁’(t,ε)= z₁ (t,ε), ε z₂’(t,ε)= iz₂ (t,ε), z₁₀=1, z₂₀=1.                (8)

U(u+iv,ε)= exp ((u+iv)/ ε) exp ((u- iv)/ ε) +exp (i(u+iv)/ ε) (exp (i(u+iv)/ ε))*=

= exp (2u/ ε) + exp ((- v+iu)/ ε) (exp ((- v-iu) / ε)) = exp (2u/ ε)+ exp (-2 v/ε).

Итак, получаются два луча: {u<0; v=0} и {u=0; v>0}, составляющие угол 90⁰.

Пример 3 (4-ветвление погранслойных линий).

ε z₁’(t,ε)= 2t z₁ (t,ε), ε z₂’(t,ε)= 2it z₂ (t,ε), z₁₀=1, z₂₀=1.             (9)

U(u+iv,ε)= exp ((u+iv)²/ ε) (exp ((u+iv)²/ ε))* + exp (i(u+iv)²/ ε) ´

´ (exp (i(u+iv)²/ ε))*= exp ((u²- v²+2iuv)/ ε) exp ((u²- v²-2iuv)/ ε)+

+ exp ((-2uv+i( u²- v²))/ ε) exp ((-2uv-i( u²- v²))/ ε)=

= exp (2(u²- v²)/ ε) + exp (-4uv /ε).

Здесь получаются четыре луча:

{u=0; v>0}; {u=0; v<0}; {u= v>0}; {u= v<0}.

Пример 4 (4-ветвление промежуточных и отсутствие погранслойных линий).

ε z₁’(t,ε)= 2t z₁ (t,ε), ε z₂’(t,ε)= -2t z₂ (t,ε), z₁₀=1, z₂₀=1.             (10)

U(u+iv,ε)= exp ((u+iv)²/ ε) (exp ((u+iv)²/ ε))* + exp (- (u+iv)²/ ε) ´

´ (exp (- (u+iv)²/ ε))*= exp ((u²- v²+2iuv)/ ε) exp ((u²- v²-2iuv)/ ε)+

+ exp ((-u²+ v²-2iuv)/ ε) exp ((-u²+ v²+2iuv)/ ε)=

= exp (2(u²- v²)/ ε) + exp (2(-u²+ v²) /ε).

Здесь получаются четыре «промежуточных» луча: |u|=|v|. При |u|≠|v| один из показателей экспонент оказывается положительным, то есть нет регулярных точек и регулярных линий.

Пример 5 (наличие двух ветвей у промежуточной и отсутствие погранслойных линий).

ε z₁’(t,ε)= (1+2t) z₁ (t,ε), ε z₂’(t,ε)= -(1+2t) z₂ (t,ε), z₁₀=1, z₂₀=1.          (11)

U(u+iv,ε)= exp ((u+iv+(u+iv)²)/ ε) (exp (((u+iv+(u+iv)²)/ ε))* +

+ exp (-(u+iv+(u+iv)²)/ ε) (exp (- ((u+iv+(u+iv)²)/ ε))* =

 = exp ((u+iv+u²- v²+2iuv)/ ε) exp ((u-iv+u²- v²-2iuv)/ ε)+

+ exp (-(u+iv+(u+iv)²)/ ε) (exp (- ((u+iv+(u+iv)²)/ ε))* =

= exp (2(u +u²- v²)/ ε)+ exp (-2(u +u²- v²)/ ε).

Здесь промежуточная линия является гиперболой:

Заключение

Из примеров раздела 2 возникают следующие задачи:

• найти достаточные условия для системы общих уравнений (1), при которых возникают явления, аналогичные перечисленным;
• найти явления для системы общих уравнений (1), отличные от перечисленных явлений, и также найти достаточные условия для их возникновения.

Мы надеемся получить такие результаты в наших последующих работах.

Список литературы:

1.     Алыбаев К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости // Вестник Кыргызского государственного национального университета. – Серия 3, Выпуск 6, 2001. – С. 190–200.

2.     Алыбаев К.С., Нарбаев М.Р. Явление простирающегося пограничного слоя для сингулярно возмущенных уравнений при потере устойчивости // Вестник Жалал-Абадского государственного университета. – 2008, № 1. – С. 122–126.

3.     Панков П.С., Алыбаев К.С., Тампагаров К.Б., Нарбаев М.Р. Явление погранслойных линий, и асимптотика решений сингулярно возмущенных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями // Вестник ОШГУ, 2013. – № 1. – C. 227–231.

4.     Тампагаров К.Б. Свойства погранслойных линий решений сингулярно возмущенных линейных дифференциальных уравнений с полиномиальным коэффициентом // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XLIV Междунар. науч.-практ. конф. – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 106–112.

5.     Тампагаров К.Б. Гладкость погранслойных линий решений сингулярно возмущенных линейных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XLIV Междунар. науч.-практ. конф. – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 112–117.