Статья на тему "КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ В СИСТЕМЕ РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ".

ТЕМА

КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ В СИСТЕМЕ

РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

ВЫПОЛНИЛА: учитель начальных классов

высшей категории  Черных И.Е

Москва

2016

Содержание

1.Введение                       с.3

2.Основная часть             с.4- 13

3.Заключение                   с.14-15

4.Список литературы       с.16

Введение

Комбинаторика возникла в XVI веке и первоначально в ней рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми. Одним из первых занялся подсчетом числа возможных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые Паскаль и Ферма. Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Якова Бернулли, Лейбница и Эйлера.

В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными.

 Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторику можно рассматривать как введение в теорию вероятностей, поскольку методы комбинаторики используются для решения многих вероятностных задач, в которых речь идет о подсчете числа возможных исходов и числа благоприятных исходов в различных конкретных случаях.

Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности.

С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди сталкивались в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлеклись составлением магических квадратов, в которых заданные числа располагались так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата и т.д.

Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д

Основная часть

Задачи комбинаторного характера по - прежнему для начальной школы классифицируются, как задачи повышенной трудности. Они не связываются с усвоением основных вопросов курса и не согласовываются с логикой построения его содержания.

 В связи с этим комбинаторные задачи включаются в учебный процесс эпизодически, что в значительной мере снижает их развивающие и дидактические возможности.

В 90–х гг. начинают разрабатываться альтернативные учебники математики для начальных классов, включающие в свой курс изучение комбинаторных задач. Например, учебники по математике Л. Г. Петерсон (программа «Школа 2000…»), учебники и тетради на печатной основе А.Г.Ванцян (система Л.В.Занкова), учебники авторов  Аргинской И.И., Ивановской Е.И., Кормишина С.Н.(система Л.В.Занкова), авторского коллектива Т. Е. Демидовой, С. А. Козловой , А. П. Тонких (УМК «Школа 2100») содержат соответствующий материал как органическую часть курса математики. К учебникам Н. Б. Истоминой разработаны тетради на печатной основе «Учимся решать комбинаторные задачи» для учеников 1 – 5 классов.

В начальном обучении математике роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Современное развитие российского общества поставило перед школой задачу воспитания личности, которая могла бы самостоятельно и критически мыслить, сопоставлять и анализировать факты, находить различные варианты решения возникающих проблем, выбирать из них оптимальные. Одним из направлений модернизации математического образования на современном этапе является включение комбинаторики в программу школьного курса математики.

Комбинаторные задачи можно использовать как средство усвоения программного содержания, не перегружая учащихся дополнительной информацией, а включение комбинаторных задач в процесс усвоения программного содержания способствует повышению качества знаний учащихся и формированию у них умения решать комбинаторные задачи неформальными методами (без использования специальных формул).

  ФГОС второго поколения начального общего образования определяет новые требования к уровню подготовки младших школьников, что предполагает необходимость переосмысления педагогами начальной школы как самого подхода к процессу обучения младших школьников, так и необходимость внесения корректив в методику преподавания отдельных предметов, среди которых начальный курс математики.

Особую актуальность приобретает целенаправленное формирование у младших школьников «умения учиться» через учебный предмет. В этой связи, дополнительное включение в содержание базового курса математики в начальной школе комбинаторных задач – задач, требующих осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчёта их числа  несомненно, способствует совершенствованию приемов умственной деятельности младшего школьника, формированию у него способности комбинировать, осуществляя «поиск тех или иных преобразований» .

Н.Б.Истомина, Е.Е.Белокурова связывают развитие комбинаторного мышления младшего школьника со становлением умственных операций, теоретического мышления, считающегося основным «новообразованием младшего школьного возраста» с развитием творческих способностей ребенка. Таким образом, обучение школьников решению комбинаторных задач на уроке математики позволяет комплексно решать задачи, направленные на получение обучающимся как предметного, так и метапредметного, личностного результата.
Для внедрения комбинаторных задач в практику работы учителя начальных классов созданы сегодня реальные условия. Имеется учебно-методическое обеспечение, позволяющее включать элементы комбинаторики в учебный процесс.

В современной учебно-методической литературе представлен опыт обучения школьников решению комбинаторных задач. Между тем далеко не каждый учитель начальных классов может с уверенностью говорить о том, что его ученики могут с легкостью решать задачи. Решение комбинаторных задач может представлять для них особую сложность, так как связано с обучением школьников абстрагированию, перенесением практического действия в план умственного, связано с умениями анализа, синтеза, классификации объектов, представляющих сложность на начальном этапе обучения.

Существуют следующие методы решения комбинаторных задач:

Метод перебора (подбираются задачи на развитие мышления)

Табличный метод (здесь все условия вносятся в таблицу, возникает решение)

Дерево вариантов (дети получают начальные знания о графах)

Методы решения комбинаторных задач вводятся по нарастающей траектории от простого к сложному. В 1–2 классе решаются задачи с помощью перебора и таблиц, а в 3–4 с помощью построения дерева вариантов и графов, тем самым позволяя в основной школе при изучении некоторых тем теории вероятности использовать знакомые понятия и способы решения.

Комбинаторные задачи являются средством:

1. Реализации методической концепции, выражающей необходимость целенаправленного и систематического формирования приемов умственной деятельности в процессе усвоения программного содержания.

2. Овладения способом моделирования на доступном для младших школьников уровне.

3. Расширения у учащихся представлений о различных видах математических задач и способах их решения (перебор, таблицы, дерево вариантов)

4. Развития таких свойств мышления как гибкость, вариативность, креативность.

В конце изучения курса математики в начальной школе учащиеся владеют способами решения комбинаторных задач, умеют составлять математически

Комбинаторные задачи, составленные на жизненном материале, помогают младшим школьникам лучше ориентироваться в окружающем мире, учат рассматривать все имеющиеся возможности и делать оптимальный выбор.

Рассмотрим одну из них.

Учащимся предлагается следующая проблема: « У тебя 60 рублей. Родители отпустили тебя в парк покататься на каруселях.

Предлагаются следующие расценки.

Вход в парк – 5 рублей

«Колесо обозрения” – 10 рублей

«Сюрприз – 35 рублей.

«Американские горки” – 45 рублей

«Комната смеха” – 25 рублей

Какой выбор ты сделаешь, если ни один из аттракционов нельзя посетить дважды?

Ребенок, анализируя задачу, приходит к построению такой математической модели:

Реальность – постановка условий – составление возможных вариантов – выбор варианта. Тем самым ребенок ставит следующие условия:

1.     Ребенок должен войти в парк, потратить 5 рублей.

2.     Стоимость всех посещенных аттракционов должна быть меньше, либо равна 55.

3.     Ни один из аттракционов не должен быть посещен дважды.

Затем у ребят возникают следующие варианты.

Делая свой выбор, ребенок останется на конкретном варианте и воплощает его в реальности.

 Система работы по обучению младших школьников решению комбинаторных задач складывалась в течение четырёх лет практической работы с данным видом задач и основана на анализе учебно-методических рекомендации учителей-исследователей, публикуемых в специальных методических изданиях.

Изучив методическую литературу по исследуемой проблеме, некоторые публицистические статьи (Н.Б.Истомина, Е.Е.Белокурова, С.В.Солнышко) были выделены виды комбинаторных задач и этапы их решения, для последующего практического включения в базовый курс математики. Обучение решению комбинаторных задач проводится в три этапа:

1. Подготовительный этап, цель которого формирование мыслительных операций в процессе решения комбинаторных задач с помощью хаотического перебора.
На подготовительном этапе предлагаются задачи на развитие познавательных способностей, на активизацию таких мыслительных процессов как анализ, синтез, обобщение и классификация. Это задачи-игры и «жизненные» задачи (задачи, решаемые в повседневной деятельности человека). Например, для обеспечения мотивации решения комбинаторных задач можно предложить детям задачу-игру «День-ночь», «Башенки». Подобные игры с успехом можно проводить во время физминуток.
«Жизненные» задачи», показывающие возможность применения комбинаторики в повседневной деятельности человека также направлены на формирование простых мыслительных операций. Например, интерес у ребят вызывает следующая задача:
«У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух – пятидесятирублевые. Как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?» В ходе решения задача обыгрывается: к доске вызываются 4 учеников, получающие модели купюр. Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. (Вызываю «кассира» и даю ему «билеты»). Находим два возможных варианта решения: 1. – 50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей; 2 – 50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей. Данные задачи могут предлагаться утомившимся учащимся в конце урока математики.
Таким образом, на подготовительном этапе создается положительная мотивация, происходить эмоциональная подготовка учащихся к дальнейшему решению более сложных комбинаторных задач.

2. Целью второго основного этапа обучения младших школьников решению комбинаторных задач является ознакомление учащихся с новыми видами комбинаторных задач: задачами, решаемыми методом организованного перебора; с помощью таблиц; с помощью графов; с помощью дерева возможных вариантов.
При знакомстве школьников с ходом решения задач методом организационного перебора важно обучить детей выполнять перебор не хаотически, а соблюдая определенную последовательность рассмотрения всех вариантов решений.

Перед тем, как знакомить учащихся с новым способом решения комбинаторных задач – с помощью таблиц, необходимо актуализировать знания детей о таблицах, выделить существенные признаки таблиц и сформулировать определение понятия «таблица», например такое: таблица – это перечень сведений, числовых данных, приведенных в определенную систему и разнесенных по графам (строкам и столбцам). Примеры задач, решаемых с помощью таблиц:
«Запиши в нужные клетки таблицы следующие числа: 23, 32, 11, 31, 22, 33, 13. Какие числа нужно записать в оставшиеся клетки?»

Перед решением данной задачи вспоминаем разрядный состав чисел, используемых в решении задачи.

Получается такая таблица:

ед./дес.	1	2	3
1
2
3

Проверь, правильно ли заполнена таблица?

ед./дес.	5	9
2	25	29
7	75	97
1	51	19

Вспоминаем разрядный состав чисел, используемых в задаче. Находят ошибки сами.

«В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и 5 мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ».

Эту задачу предлагаю учащимся в качестве домашнего задания. Таким образом, даю детям возможность самим составить и заполнить таблицу по аналогии.

При решении комбинаторных задач с помощью графов объекты обозначаются точками. Связи между объектами могут обозначаться линиями и стрелками, если нужно показать направление действия или правильную последовательность в изображении объектов. Новое для школьников понятие «граф» рассматривается на уроке помощью следующей задачи:
«Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?» 
Сначала выясняем с учащимися, как можно обозначить каждого человека (быстрее и удобнее изображать людей точками, которые располагаются примерно по кругу, чтобы записи были понятными и наглядными). Рукопожатия удобно обозначить черточками. Сначала составить рукопожатия одного человека (точку соединить со всеми остальными), потом перейти к другому человеку. Проведенные линии помогут увидеть, с кем он уже поздоровался, а с кем нет, составить недостающие рукопожатия. Так действовали до тех пор, пока все не поздоровались друг с другом.

Далее учащиеся знакомятся с применением одной из разновидностей графа – деревом возможных вариантов при решении комбинаторных задач.

С детьми выясняем, что данный вид графа, если его перевернуть будет похож на дерево, на котором растут ветки с листьями. Наше дерево отличается тем, что растет сверху вниз, потому что так удобнее располагать объекты в нужной последовательности. Такой вид графа называется деревом возможных вариантов.

Таким образом, на основном этапе дети учатся решать комбинаторные задачи разными способами.

 Отработка умения решать комбинаторные задачи логически завершает процесс формирования навыка решения комбинаторных задач в процессе овладения школьниками содержанием начального курса математики. На этапе отработки умений школьникам предлагается решать комбинаторные задачи разными способами (методом организованного перебора, с помощью таблиц, с помощью графов), тем самым, с одной стороны, закрепляя умение решать такие задачи с помощью различных приемов деятельности, с другой – осуществляя действие самоконтроля, являющееся необходимым компонентом учебной деятельности.

Процесс обучения начинается с решения простейших комбинаторных задач, расположенных уже на 1-х страницах учебника математики,  направленных на развитие внимания, наблюдательности, умений анализа, синтеза, сравнения.

Дополнительно предлагаю задачи из печатной тетради «Учимся решать комбинаторные задачи». В ней содержится дополнительный материал к учебнику «Математика» автор Н.Б.Истомина. К концу обучения в 1 классе учащиеся справляются с решением простых комбинаторных задач способом перебора. Эти задачи развивают наблюдательность, внимание и логическую речь учеников.

Во 2 классе условия задач немного усложняются и требуют от детей внимания, способствуют развитию логического и образного мышления.

В качестве домашнего задания попросить  детей попробовать самим составить комбинаторные задачи. Дети составляли их по аналогии с теми, которые решали в классе, например: «Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 2,4,0, если цифры не повторяются? Если цифры повторяются?».

Сначала это была небольшая группа детей, но потом им понравилось самим составлять такие задачи и задавать их другим. Постепенно к творческой работе включился весь класс.

Наблюдения за деятельностью детей на уроке математики показывают, что к окончанию второго класса даже у детей с заниженным логическим мышлением появился интерес к решению комбинаторных задач.

В 3 и 4 классах задачи усложняются по содержанию. Они формируют у детей приёмы умственной деятельности, абстрагирования, способствуют развитию произвольного внимания и образного мышления. Дети знакомятся с деревом возможных вариантов, когда способ перебора можно заменить схемой. Схему-дерево возможных вариантов можно располагать по-разному.

Как можно разместить на скамейке Настю, Таню, Мишу и Серёжу, чтобы мальчики и девочки чередовались?

Сначала записываем все возможные варианты расположения детей на скамейке (перебор), потом заменяем схемой.

А теперь прошу заполнить самостоятельно схему-дерево, если корень дерева расположен вверху.

Такие задачи решить самостоятельно дети затрудняются, поэтому решение задач –  коллективное. Составляем таблицу, проводим наблюдения по условию и перебираем варианты.

В учебнике математики за 4 класс более часто встречаются задачи данного вида и решаются они на уроках с подробным разбором.

Большую роль в организации обучения детей решению комбинаторных задач играет процесс дифференциации заданий по уровню сложности. Для учеников, испытывающих особые трудности в решении комбинаторных задач, предлагаются дифференцированные по уровню сложности задания.

1. Сколько четырёхзначных чисел, в которых 6 тысяч, можно записать цифрами 6, 5, 2?

Пониженный уровень: Составить все возможные варианты записи этих чисел. 
Повышенный уровень: Заполнить схему-дерево возможных вариантов.

2.В класс пришли четыре новых ученика: Коля, Вася, Саша и Петя. Как учитель может рассадить этих учеников за две свободные парты? Сколько вариантов выбора у него есть?

Пониженный уровень: составить все возможные варианты, пользуясь способом перебора.
Повышенный уровень: Заполнить схему-дерево возможных вариантов.

Комбинаторные задачи встречаются в пропедевтическом курсе «Информатика в играх и задачах» Горячева А.В., Гориной К.И.  Включение комбинаторных задач в начальный курс информатики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников. Благодаря пропедевтическому курсу изучение комбинаторных задач в начальной школе закладывает прочную основу, позволяющую не тратить время на изучение данного материала в базовой школе, а использовать полученные ранее знания для обобщения и развития знаний школьника с информационной точки зрения. 

Изучение информатики в начальной школе предполагает развитие у школьников логического мышления, формирование начальной компьютерной грамотности, развитие алгоритмических навыков и системных подходов к решению задач,  расширение кругозора в области знаний, тесно связанных с информатикой.   

Курс «Информатика в играх и задачах» Горячева А.В., Гориной К.И. в целом реализует перечисленные цели и задачи. Осваивая этот курс, младшие школьники учатся сравнивать, анализировать, обобщать, абстрагировать, видеть структурные, иерархические и причинно-следственные связи. 

Среди задач, решение которых способствует умственному развитию младших школьников, значительное место занимают комбинаторные задачи. В них рассматриваются различные комбинации из заданных объектов, удовлетворяющие определенным условиям. Учащиеся знакомятся с графами, «деревом решений», приобретают навыки решения нестандартных задач.

Обучение решению комбинаторных задач проводится в три этапа:

1. Подготовительный этап, цель которого формирование мыслительных операций в процессе решения комбинаторных задач с помощью хаотичного перебора.

На подготовительном этапе предлагаются задачи на развитие познавательных способностей, на активизацию таких мыслительных процессов как анализ, синтез, обобщение и классификация. Это задачи-игры и «жизненные» задачи (задачи, решаемые в повседневной деятельности человека).

Учитывая возрастные особенности учащихся, целесообразно при решении комбинаторных задач на этом этапе использовать игровые ситуации, приемы раскрашивания.  

Примеры задач:

1.     Раскрась домики синей и желтой краской так, чтобы они были разными.

2.     Сережа, Антон и Денис пришли в кафе. В каком порядке мальчики могут встать в очередь?

На подготовительном этапе создается положительная мотивация, происходит эмоциональная подготовка учащихся к дальнейшему решению более сложных комбинаторных задач.

Целью второго основного этапа обучения младших школьников решению комбинаторных задач является ознакомление учащихся с новыми видами комбинаторных задач: задачами, решаемыми методом организованного – системного перебора.

При знакомстве школьников с ходом решения задач методом системного перебора важно обучить детей выполнять перебор не хаотически, а соблюдая определенную последовательность рассмотрения всех вариантов решений. 

Примеры задач:

1.Три белки запаслись на зиму грибами, орехами и ягодами. Что может заготовить каждая белка, если  она соберет по два вида каждого запаса?

2.Даниил закрыл свой велосипед на замок с секретным кодом, составленным из двух цифр, и обратил внимание, что сумма этих цифр равна 10. На завтра он забыл код, но к счастью запомнил сумму цифр. Он решил выписать все возможные варианты. Помоги ему вспомнить код. 

3. Третий этап. Обучение школьников решению задач системным перебором с использованием средств организации перебора (таблиц,  графов, дерева решений).

Работа с графическими средствами отнесена на третий этап, так как, во-первых, при решении задач с небольшим числом элементов нет необходимости их использования, во-вторых, «язык» графов и таблиц не совсем прост и понятен детям, вследствие чего требуется специальное ознакомление с ним. 

Примеры задач:

1. Мама купила сыну 7 воздушных шаров синего и красного цвета. Сколько синих и сколько красных шаров могла купить мама, если известно, что синих шаров было больше, чем красных?

2.Раним утром Мартышка, Слоненок и Попугай обменялись рукопожатиями каждый с каждым. Сколько всего было рукопожатий? 

В процессе решения можно познакомить учащиеся и с понятием ориентированного графа.

Примеры задач:

3.Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 3,4,5? 

 В дальнейшем при работе с графами можно использовать такие  методические приемы: проверь правильность построения графа, дополни граф, построй граф, выбери граф для задачи, придумай условие задачи по заданному графу.

Заключение

Включение комбинаторных задач в начальный курс математики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников.

Решение комбинаторных задач способствует развитию вариативности мышления – направленности мыслительной деятельности на поиск различных путей решения задачи, когда на это нет специального указания.

Уже после первого года обучения у школьников наблюдается положительная динамика в развитии логического мышления Уровень развития логического мышления повышается от класса к классу.

К концу обучения в 1 классе учащиеся справляются с решением простых комбинаторных задач способом перебора. Эти задачи развивают наблюдательность, внимание и логическую речь учеников. Во 2 классе условия задач немного усложняются и требуют от детей внимания, способствуют развитию логического и образного мышления. В 3 и 4 классах задачи усложняются по содержанию. Они формируют у детей приемы умственной деятельности, абстрагирования, способствуют развитию произвольного внимания и образного мышления.  Методики решения комбинаторных задач на уроках математики в 1-4 классах доказывает свою эффективность на практике. Наблюдение за деятельностью детей в процессе самостоятельного решения ими комбинаторных задач на уроке показывает, что учащиеся, усваивая алгоритм решения комбинаторных задач, приобретают уверенность в своих силах, дети учатся находить варианты выхода из проблемной ситуации, приобретают уверенность в своих силах.

Учащиеся в большинстве своем успешно справляются с учебной деятельностью. Полученные навыки решения комбинаторных задач во многом определяют способность большинства обучающихся справляться с задачами повышенного уровня сложности, предлагаемых в контрольных работах по математике. Сами обучающиеся, по результатам устного опроса, проведенного в классе, отмечают, что «им нравится решать сложные задачи», «нравится работать с консультантами», «ломать голову», «самим находить верное решение». Как показывает опыт работы, решение комбинаторных задач увлекает младших школьников, они с большим удовольствием начинают заниматься придумыванием и составлением собственных комбинаторных задач, что становится началом элементарной исследовательской и творческой деятельности. Современное развитие российского общества поставило перед школой задачу воспитания личности, которая могла бы самостоятельно и критически мыслить, сопоставлять и анализировать факты, находить различные варианты решения возникающих проблем, выбирать из них оптимальные.

В связи с этим модернизация общеобразовательной школы на современном этапе ее развития предполагает ориентацию образования не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных возможностей. В свете этих тенденций изменяется приоритет математического образования.

Одним из направлений модернизации математического образования на современном этапе является включение комбинаторики в программу школьного курса математики. Результаты анализа современных учебников математики для начальной школы позволяют констатировать, что тенденция включения комбинаторных задач в процесс обучения активно реализуется в массовой школьной практике.

Кроме очевидной связи комбинаторных задач с практикой или с реальностью наблюдаются положительные эмоции у детей, интерес, волнение, радость, удивление. Все это облегчает для ребенка волевое усилие, необходимое для решения стоящей перед ним задачи, стимулирует его деятельность.

Таким образом, решение комбинаторных задач положительно влияет на формирование приемов умственной деятельности, расширяются представления о задаче

литературы:

1.Белокурова Е.Е.Методика обучения школьников решению комбинаторных задач// Начальная школа, 1994, №12
2. Белокурова Е.Е. Некоторые комбинаторные задачи в начальном курсе математики// Начальная школа, 1992, №1. С.20-22
3. Белокурова Е.Е. Обучение решению комбинаторных задач с помощью таблиц и графов //Начальная школа, 1995, №1. С.21-24
4. Белокурова Е.Е. Характеристика комбинаторных задач// Начальная школа, 1994, №1

5.Виноградова Е.В. Комбинаторные задачи в системе развивающего обучения четырехлетней начальной школы// Российская государственная библиотека

6.Горячев А.В., Меньшакова А.А. Методика преподавания информатики в начальной школе (1-4 классы) на примере курса «Информатика в играх и задачах»// М.: Педагогический Университет «Первое сентября», 2011

7. Истомина Н.Б.Концепция обучения математике в начальной школе// Начальная школа, 1996,№10.С.48-57
8. Истомина Н.Б. Обучение младших школьников решению текстовых задач.– Смоленск: Ассоциация ХХI век,2011. 
9. Истомина Н.Б., Виноградова Е.П. Учимся решать комбинаторные задачи . Тетрадь для учащихся 1 – 2 классов четырехлетней начальной школы . – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2011
10. Истомина Н.Б., Виноградова Е.П., Редько З.Б. Учимся решать комбинаторные задачи . Тетрадь по математике для учащихся 3 класса. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2011.
11. Истомина Н.Б., Виноградова Е.П. Учимся решать комбинаторные задачи . Тетрадь для учащихся 4 класса четырехлетней начальной школы . – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2011.
12. Истомина Н.Б. Математика. Учебник для первого класса четырёхлетней начальной школы.– Смоленск: Ассоциация ХХ1 век, 2011.
13. Истомина Н.Б. Математика. Учебник для второго класса четырёхлетней начальной школы.– Смоленск: Ассоциация ХХ1 век, 2011.
14. Истомина Н.Б. Математика. Учебник для третьего класса четырёхлетней начальной школы.– Смоленск: Ассоциация ХХ1 век, 2012. 
15. Истомина Н.Б. Математика. Учебник для четвёртого класса четырёхлетней начальной школы.– Смоленск: Ассоциация ХХ1 век, 2012.