Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Статья на тему "Некоторые интересные свойства чисел"

Статья на тему "Некоторые интересные свойства чисел"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:








hello_html_16f98963.gif





Учитель математики

Береговая Е.Г.







Белгород 2016


Содержание

Введение..............................................................................................3

§1. Совершенные числа.............................................................5

§2. Дружественные числа........................................................10

§3.Числа феникса.....................................................................12

Заключение........................................................................................17

Список использованной литературы..............................................19

Введение

С незапамятных времен человек в своей деятельности должен был считать. Сначала он связывал названия чисел с предметами. Однако очень скоро он осознал, что при этом речь идет не о чем-то ощутимом, восприимчивом, а об абстрактном понятии. Но, однако, он с трудом мог довольствоваться полной абстрактностью чисел, чтобы наделять их различными свойствами.

Так Пифагор провозгласил, что числа правят миром, и поэтому он придумывал, как с помощью чисел изображать такие понятия, как справедливость, совершенство, дружба.

Справедливость символизировало число 4. Четные числа Пифагор считал женскими, а нечетные - мужскими. Бракосочетание он обозначал числом 5, 3+2=5 (четное + нечетное).

Первыми четырьмя числами - 1,2,3,4 он обозначал четыре элемента, из которых, по воззрениям древнегреческих мудрецов, состоял весь мир:

1 - огонь

2 - земля

3 – вода

4 – воздух

1+2+3+4=10. Число 10 вбирает в себя весь мир.

Он очень чтил число 7, приписывал ему важную роль в небесных делах.

12 - знак счастья, "666"- "число зверя".

У пифагорейцев существовала клятва числом 36.

36 = 13 + 23 + 33

36 = (2+4+6+8) + (1+3+5+7).

(Оформлено было все на табличках в греческом стиле).

Число 1 - матерь всех чисел, число 1 есть точка.

Число 2 выражало линию.

Число 3 - треугольник, треугольник задает плоскость.

Число 4 - пирамида, трехмерный образ.

Пифагорейцы связывали арифметику с геометрией. Они глубоко верили в чудесные свойства числа 10.

Пифагорейцы сформулировали теорему: произведение 2 чисел делится на два только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей делится на 2.

Пифагорейцы нашли дружественные, или совершенные, числа.

§1. Совершенные числа

В древнем Вавилоне основанием системы счисления служило число 60, о чём до сих пор напоминает обычай делить час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Число 60 — сравнительно небольшое, но имеет двенадцать различ­ных делителей. Большинство из его делителей получило особые названия, вошедшие в языки разных народов. Например, дюжина (двенадцать). Со­временные импортные холодильники имеют отделение для хранения дю­жины яиц.

Математики древности считали важным рассматривать вместе с каж­дым числом все его делители. Числа, имеющие много делителей, называ­лись избыточными, а имеющие мало делителей, — недостаточными. При этом в качестве меры использовалось не количество, а сумма собственных делителей (т. е. делителей, меньших самого числа), которую сравнивали с самим числом. Например, для числа 10 сумма собственных делителей 1 + 2 + 5 = 8 меньше 10, так что делителей недостаток. А для числа 12 имеем:

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12,

т. е. делителей — избыток.

Встречается и пограничный случай, когда сумма собственных делите­лей равна самому числу. Такие числа назвали совершенными.

Наименьшие совершенные числа — 6 и 28:

6 = 1 + 2 + 3;

28 = 1 + 2 + 4 + 7+14.

Совершенные числа были известны уже в Древнем Вавилоне и Древнем Египте. Вплоть до 5-го века н.э. в Египте сохранялся пальцевый счёт, при котором рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными осталь­ными изображала 6 — первое совершенное число. Тем самым этот палец как бы сам стал причастен к совершенству и поэтому получил привилегию нести на себе обручальное кольцо. Таково одно из объяснений того исто­рического факта, что почти у всех цивилизованных народов существует обычай носить кольцо именно на безымянном пальце.

Некоторые люди объясняют совершенство чисел 6 и 28 так. «Разве не за 6 дней был сотворен мир, и разве Луна обращается вокруг Земли не за 28 суток?» — восклицают они.

Следующие пять совершенных чисел таковы:

496, 8128, 33 550 336, 8 589 869 056, 137438 691328.

Лев Толстой родился 28 августа 1828 г. Номер дня рождения — чис­ло совершенное. Если поменять местами первые две цифры в номере го­да, снова получим совершенное число. Толстой видел в этих совпадениях указание на предназначавшуюся ему судьбой миссию — сделать мир со­вершеннее. Добавим, что прожил Лев Толстой 82 года — опять имеем перестановку цифр совершенного числа.

Большой вклад в теорию совершенных чисел внёс Евклид в 300 г. до н.э. В его знаменитых «Началах» в книге IX приводится теорема 36, даю­щая способ получения совершенных чисел.

Теорема. Пусть число 2п-1 — простое. Тогда число 2n-1 (2n-1)-совершенное.

Для доказательства теоремы выведем сначала следующую формулу для суммы последовательных степеней двойки:

1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n−1 = 2n − 1.

Действительно, обозначим S = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2hello_html_4f7f18b3.gif. Тогда

2S = 2+22+23+.. .+2hello_html_4f7f18b3.gif+2hello_html_d901e0b.gif = (1+2+22+23+.. .+2hello_html_4f7f18b3.gif)−1+2n = S−1+2n.

Решая уравнение 2S = S — 1 + 2hello_html_d901e0b.gif, и получим, что S = 2п — 1.

Кстати, полученная формула имеет отношение к следующей легенде. Древняя легенда рассказывает, что персидский царь, познакомившись с игрой в шахматы, пришёл в неописуемый восторг и приказал выдать её изобретателю любую награду, какую тот только пожелает. Изобретатель попросил, казалось бы, весьма скромное вознаграждение: одно зёрнышко пшеницы за первую клетку доски, два — за вторую, четыре — за третью и т.д. За каждую клетку доски он просил вдвое больше зёрен, чем за преды­дущую. Награда за последнюю, 64-ю, клетку должна была бы составить 263 = 9 223 372 036 854 775 808 зёрен, а всего царь должен был уплатить изобретателю, согласно доказанной формуле, 1 + 2 + 22 + ... + 263 = 264 - 1 зёрен пшеницы, что в несколько тысяч раз превышает годовой урожай пшеницы во всём мире.

Доказательство теоремы. Итак, пусть р = 2п-1 — простое число. Выпишем все делители числа к = 2hello_html_4f7f18b3.gifр:

1, 2, 4, ..., 2hello_html_4f7f18b3.gif,

p, 2p, 4p, ..., 2hello_html_4f7f18b3.gifp

Сумма этих чисел равна

(1+2+4+…+2hello_html_4f7f18b3.gif)*(1+p)=(2hello_html_d901e0b.gif-1)*(1+p)=(2hello_html_d901e0b.gif-1)*2hello_html_d901e0b.gif=2*2hello_html_4f7f18b3.gif*p=2k

Если вычесть из этой суммы само число к, получим к. Доказано, что к — совершенное число. □

Леонард Эйлер 1 доказал, что любое чётное совершенное число имеет вид из условия теоремы, приведённой выше. Будем называть равенство

k=2hello_html_4f7f18b3.gif(2hello_html_d901e0b.gif-1)

1hello_html_m431ff4e2.gif Л. Эйлер (1707 - 1783) — выдающийся математик. Родился в Швейцарии. Большую часть жизнт провёл в России, являясь членом Петербургской Академии Наук. У него было 13 детей.

формулой Евклида.

Заметим, что согласно формуле Евклида совершенное число имеет вид

hello_html_17b0598d.gif= 1 + 2 + 3+...+р .Такие числа называют треугольными, поскольку выражают собой число точек, расположенных в виде правиль­ного треугольника (в верхнем ряду — одна точка, в следующем — две, далее — три и так далее: в очередном ряду на одну точку больше, чем в предыдущем). Итак, совершенные числа Евклида являются треугольными числами.

А вот ещё одно свойство совершенных чисел: сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.

Например,

hello_html_m2090b691.gif

hello_html_m72536f51.gif

Этот факт легко доказать. Пусть к — совершенное число, 1 = d1 <d2 < … < dт = к — все его делители. Тогда

hello_html_3ea63e08.gif

В теории совершенных чисел до сих пор не известны ответы на два важных вопроса.

  • Существует ли хотя бы одно нечётное совершенное число?

  • Существует ли наибольшее совершенное число?

Несмотря на усилия многих математиков, до сегодняшнего дня не най­дено ни одного нечётного совершенного числа, но вместе с тем и не дока­зано, что такого числа не существует.

Ответ на второй вопрос будет отрицательным, если существует беско­нечно много простых чисел вида Мп = 2"-1, фигурирующих в формуле Евклида. Такие числа называют числами Мерсенна в честь французского математика, жившего в XVII веке. В 1750 г. Леонард Эйлер установил, что М31 — простое число. Это число оставалось самым большим из из­вестных простых чисел более ста лет. К 1915 г. было известно 12 простых чисел Мерсенна. Начиная со второй половины прошлого века поиск осу­ществлялся с помощью компьютеров. Двадцать третье по счёту простое число Мерсенна было найдено в 1963 г. на компьютере Иллинойского уни­верситета. Математический факультет этого университета был так горд своим достижением, что изобразил это число (211213-1) на своём почто­вом штемпеле, таким образом воспроизводя его на каждом отсылаемом письме.

В настоящее время известны 33 простых чисел Мерсенна Мп; укажем значения их индексов:

п = 2, 3, 5, 7,13,17,19,31, 61, 89,107,127, 521, 607,1279,

2203, 2281, 3217,4253,4423, 9689, 9941,11213,19937, 21701, 23209,44497,86243,110503,132049,216091,756839, 859433.

§2. Дружественные числа

Большое внимание уделяли в античные времена числам 220 и 284, у кото­рых было подмечено следующее удивительное свойство: сумма собствен­ных делителей числа 220 равна 284 и, наоборот, сумма собственных дели­телей числа 284 равна 220.

Покажем это. Найдём сумму всех делителей числа 220, не включая самого этого числа:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Аналогично поступим с числом 284:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Такие числа назвали дружественными.

Считают, что первым обратил внимание на дружественные числа Пи­фагор (ок. 500 г. до н.э.). Многие античные и арабские учёные, а так­же учёные средневековья посвящали в своих трактатах одну из глав со­вершенным и дружественным числам. Например, испанец аль-Маджрити (умерший в 1007 г.) приводит рецепт, позволяющий добиться взаимности в любви: надо записать на чём-либо числа 220 и 284, меньшее дать съесть предмету страсти, а большее съесть самому; учёный добавляет, что дей­ственность этого способа он проверил на себе.

Итак, дружественными называются такие два числа т и п, что сум­ма делителей т, не считая самого числа т, равна числу п, а сумма дели­телей п, не считая самого числа п, равна числу т.

В 1636 г. Пьер Ферма нашёл другую пару дружественных чисел: 17296 и 18 416. Третью пару нашёл Рене Декарт: 9 363 584 и 9 437056.

В XVIII веке Эйлер опубликовал список 64 дружественных пар, однако, как показала последующая проверка, в двух случаях он ошибся. В 1830 г. Лежандр нашёл ещё одну дружественную пару, а в 1867 г. 16-летний итальянский юноша Б. Паганини удивил математический мир, объявив, что числа 1184 и 1210 — дружественные. Это была вторая по величине пара, которую все проглядели.

В настоящее время найдено более 1100 пар дружественных чисел. До сих пор неизвестно, конечно ли множество пар дружественных чисел.

§3. Числа феникса

Существенно более новым интересным является происхождение и изучение новых чисел феникса. Самым известным примером из них является 142857. Некоторые производные от него содержаться в нижеследующей таблице

142857*1=142857

142857*2=285714

142857*3=428571

142857*4=571428

142857*5=714285

142857*6=857142

Мы наблюдаем, что эти производные из цифр исходного числа, а именно образованы в той же последовательности, только при этом начинается с другой цифры и если в конце достигли числа, то следующее и будет продолжаться с начала числа. Числа «Феникса» получили свое название от существовавшей в фантазиях птицы феникс. По сказанию, если их сжигают, то они снова возрождаются из пепла.

Что за закономерность мы можем выявить в числе 142857? Установлено, например, что число 28, составленное из двух средних цифр, в два раза больше цифры 14, стоящей перед ней, а число 57, стоящее за ним, напротив, на 1 больше чем 28, умноженное на два является ли образованные на основании похожей закономерности 234693 числом феникса?

234639*1=234693

234639*2=469386

234693*3=704079

Как мы видим, при удваивании число начинается с определенной похожей закономерности, однако, в последних цифрах она пропадает, и у утроенного вообще больше не наблюдается никакой закономерности. Таким образом, мы должны искать причину глубже. Кроме этого мы вычислим следующую производную нашего числа феникса:

142857*7=999999

Этим способом мы попадаем к числу, записанному шестью девятками. Это обнаруживает уже интересное свойство. Если мы прибавим к этому 1, то мы получим 1000000. Другими словами, это значит: если мы разделим миллион на 7, то мы после шестого деления снова получим остаток 1. Очень, похоже, получается, если мы не 1000000, а 1 делим на 7, только с разницей, что теперь деление начинается с записи 0, к которому присоединяется после запятой десятичные разделы. В действительности способ тот же, является ли делимое теперь 1 или 1000000; на остаток 1 вешают 0 и делят дальше. После шестого шага мы снова получаем 1 как остаток, и тогда более ранние остатки повторяются в дальнейшем в той же последовательности. Итак, повторяются периодически также цифры частного: Мы попадаем к периодической десятичной дроби, чей период именно наше число феникса.

Однако не от каждого целого числа получается десятичное изображение обратного числу феникса, так как, например , hello_html_m7ed40a84.gif=0,5 доставляет число 5, которое, однако, не число феникса. Правда правильно, что мы в случае с hello_html_m7ed40a84.gif также не получаем периодической дроби, но также полученное из числа hello_html_m4ea30934.gif=0,333... число 3, равно как и число 10, полученное из периода от hello_html_m493c4cdd.gif не являются числами феникса.

1:13=0,076923

10

90

120

30

40

1

Мы хотим провести опыт с числом 076923, которое образовывает период от hello_html_m3e6127ae.gif.

076923*1=076923

076923*2=153846

076923*3=230769

076923*4=307692

076923*5=384615

076923*6=461538

076923*7=538461

076923*8=615384

076923*9=692307

076923*10=769230

076923*11=846153

076923*12=923076

076923*13=999999

Первые 13 производных возвращены побочно, хотя мы снова не получаем число феникса, однако записанная таблица обнаруживает немного похожее интересное явление. Если мы делали успехи до 12-кратных, то при половине произведения обнаруживается закономерность, найденная для чисел феникса (они жирно напечатаны в таблице). Остальные напротив образованы из цифр встречающихся впервые при удвоении, после той же закономерности как другие произведения из первоначального числа. (Также здесь 13-кратное число это число, записанное шестью девятками, так как шестой частичный остаток 1, это значит, 076923-кратный от 13 меньше 1, последовавший от 6 нулей, как миллион). Также вовсе не нужно ожидать, что каждое произведение из первоначального числа возникает из-за того, что последовательность цифр не изменяется, а только начинается с другой цифры; так как к тому же 12 цифр были бы необходимы, то наше число, однако только шестизначное.

В итоге десятичное изображение взаимного числа дает числа феникса тогда, когда эта десятичная дробь периодична и ее период около 1 состоит из меньших цифр, чем то число, от которого мы образовывали взаимное. После 7 меняется 17 как ближайшее это свойство: Их взаимность периодическая десятичная дробь, и ее период 16-значный. Этот период поставляет в действительности, также числа феникса, если мы перечислим нуль, стоящий в начале периода, точно также к числу, как мы это уже делали в случае с hello_html_m3e6127ae.gif.

Мы записали только первые 3 производные. Однако также вычислять без производных – что было бы очень продолжительной работой – мы можем убедиться в том, что мы получили в действительности таким способом числа феникса. То есть период будет заканчиваться там, где в процессе деления впервые встречается остаток, который уже однажды встречался раньше. Однако если мы разделим на 17 и деление невыполнимо без остатка, то мы можем встретить как остаток только числа 1,2,3...,14,15 и, наконец, 16, таким образом, всего 16 чисел. Теперь, когда мы получили 16 разрядный период, то должны даваться в итоге 16 различных остатков,

1110:17=0,0588235294117647

100

150

140

40

60

90

50

160

70

20

30

130

110

80

120

1

0588235294117647*2=1176470588235294

0588235294117647*3=1764705882352941

0588235294117647*4=2352941176470588 ,

и так все возможные остатки. (При вышеупомянутом делении мы написали «спускаемые» нули с меньшей цифрой и также по-новому записали остаток 10 относящийся к цифре нуль частного, чтобы четко сделать 16 различных остатков).

Если мы берем теперь вместо, hello_html_2062e566.gif например hello_html_66399dd0.gif, то это с одной стороны 11-кратно hello_html_2062e566.gif. С другой стороны, однако, если мы превращаем это в десятичную дробь, то мы выводим тоже решение, если мы выполнили это преобразование из hello_html_2062e566.gif в десятичную дробь остатка 11, выступающего при этом. С тех пор цифры в частном и в остатке следуют также при преобразовании hello_html_2062e566.gif от остатка 11, до тех пор, пока мы не попадем к остатку 1. Затем следуют те же остатки и таким образом те же цифры частного как в начале при делении hello_html_2062e566.gif, пока остаток 11 не повторится снова. Таким образом, снова оказывается периодическая десятичная дробь, чей период состоит из тех же цифр, что и период hello_html_2062e566.gif и в той же последовательности, только что она начинается с другой цифры. На полученное таким способом число, как мы уже упоминали 11-кратное число, которое происходит из периода отhello_html_2062e566.gif.

Эти способом мы можем понять, что пока 16-кратное число каждого кратного состоит из тех же цифр, что и первоначальное число, взятое в той же последовательности, только что начинается при этом с другой цифры и, если в конце встречаются числа, которые снова нужно писать в начале числа в первоначальной последовательности. Вместе с тем мы подтвердили, что период от 1/17 в действительности доставляет число феникса. Кажется вероятным, что имеется бесконечно много чисел феникса. Однако, сейчас пока это невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

Заключение

Тема данной работы привлекла меня следующим.

Во-первых, о совершенных и дружественных числах знали ещё в древ­ние времена и придавали им иногда мистический смысл. История всегда интересна!

Во-вторых, исследования, связанные с совершенными и дружественны­ми числами, продолжаются и в наше время. Хотя был период, когда эти занятия казались оторванными от жизни. Об этом писал великий Леонард Эйлер: "Из всех проблем, рассматриваемых в математике, нет таких, кото­рые считались бы в настоящее время более бесплодными и бесполезными, чем проблемы касающиеся природы чисел и их делителей. В этом отноше­нии нынешние математики сильно отличаются от древних, придававших гораздо большее значение исследованиям такого рода... А именно, они не только считали, что отыскание истины похвально само по себе и достойно человеческого познания, но, кроме того, совершенно справедливо полага­ли, что при этом замечательным образом развивается изобретательность и перед человеческим разумом раскрываются новые возможности решать сложные задачи... Математика, вероятно, никогда не достигла бы такой высокой степени совершенства, если бы древние не приложили столько усилий для изучения вопросов, которыми сегодня многие пренебрегают из-за их мнимой бесплодности".

Предвидение Эйлера о том, что исследования в области теории чисел найдут когда-нибудь практические применения, блестяще подтвердилось. Современная криптография (наука о способах кодирования и защиты ин­формации) широко использует результаты, полученные Пьером Ферма, Леонардом Эйлером и другими математиками и связанные со свойствами делимости и с простыми числами.

Таким образом, совершенные и дружественные числа имеют интерес­ную историю, и в то же время являются предметом современных иссле­дований и находят практические применения, связанные с передачей ин­формации между компьютерами.

Список использованной литературы

  1. Варпаховский А.С. Тайны совершенных чисел и дружественных пар// Квант. - 1973. - №10. - С.71-74.

  2. Введение в криптографию. — М.: МЦНМО, 1999.

  3. Гарднер М. Математические новеллы. — М.: Мир, 1974.

  4. Живые числа. /Сб. статей — М.: Мир, 1985.

  5. Оре О. Приглашение в теорию чисел. — М.: Наука, 1980.

  6. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 кл. сред. шк. /Сост. И.Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991.

  7. Эвнин А.Ю. Элементарная теория чисел: Сборник олимпиадных за­дач. — Челябинск: ЧГТУ, 1996. - 76 с.



Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 24.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров287
Номер материала ДВ-480001
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх