Статья на тему Проект «Знакомая и незнакомая линейная функция» (8 класс))

Проект «Знакомая и незнакомая линейная функция»

Козлова И.А.

Проект «Знакомая и незнакомая линейная функция» посвящен одному из разделов математики. Как возникло и развивалось это понятие, какие ученые обогатили математику исследованием свойств линейной и других функций, какие физические законы описываются данными функциями, какую роль функции играют в нашей жизни? Выполняя проектную работу, учащиеся 8 класса ответили на эти и другие вопросы.

Для совместной работы над проектом  использовали Google-документ «Проектная работа команды  8г класса», где разместили: список участников и их контактные данные, коллективный коллаж из фотографий членов команды, небольшое, но эмоциональное эссе о том, почему и для чего ребята выбрали проект  по  математике. Цель проекта- систематизировать знания по теме и создать интересный и полезный  информационный блог-ресурс для учащихся 7-8 классов.

В процессе работы был снят слайд-фильм “История возникновения и развития понятия функции” в сервисе мобильного приложения для создания видео, вставили подписи к фотографиям ученых и музыкальное сопровождение слайдов. Выделили основные периоды в истории развития понятия «функция». Определили  вклад ученых разных стран в развитие данного понятия. Познакомились с современным развитием  понятия функции.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых, математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.  Путь к появлению современного понятия функции заложили в XVII веке французские ученые Франсуа Виет (1540-1603) и Рене Декарт (1596-1650); они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. У  Рене Декарта и Пьера Ферма (1601-1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения - формулы.  В 1671 году Исаак Ньютон (1643-1727) под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл «флюентой»). Новые шаги в развитии естествознания и математики вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции. Идея соответствия  зародилась в 19 веке, после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от рамок аналитического выражения, упор в основном общем определении понятия функции делается на идею соответствия. В 1930 году английский физик Поль Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции. В 1936 году 28-летний советский математик и механик С.Л. Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Эти материалы из различных источников информации, оформлены в  слайд-фильм.

Учащиеся создали учебный фильм, смонтированный из фотографий, картинок, скриншотов и т.п., где представила современное определение линейной  функции, изложили её свойства, например, график функции у = kx +b пересекает ось абсцисс в точке , а ось ординат в точке (0; b). Взаимное расположение графиков зависит от коэффициента k, если коэффициенты k равны, то прямые параллельны, если произведение угловых коэффициентов двух функций равно (-1), то прямые перпендикулярны. Рассмотрели взаимное расположение графиков.

 

Выяснили различные способы задания функции, узнали, что преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить  конкретные значения функции, без дополнительных измерений или вычислений, а графический  имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. Аналитический способ (формула) является самым распространенным способом задания функций,  главное преимущество же словесного заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.

В слайд-шоу “Применение линейной функции” приведены примеры ситуаций, в которых используется  линейная функция, рассказано о роли и месте линейной  функции в жизни человека, в окружающем его мире. В повседневной жизни, например, это расчёт оплаты за электроэнергию. Пусть х– количество потребляемой энергии за месяц, 2,04 – стоимость 1кВт, у – стоимость потребляемой энергии за месяц, тогда, чтобы решить эту бытовую задачу, нужно составить уравнение у= 2,04 х.

Расчёт количества компота на празднике: пусть х - количество людей, которые будут пить компот, 200 - вес одной порции компота,  у - необходимое количество компота, тогда получается у= 200 х.

Расчёт оплаты телефона за месяц: пусть х - количество минут использованных за месяц, 1,5 - стоимость одной минуты, 20 - стоимость пользования услугами этого оператора, у - стоимость оплаты абонентской платы за месяц, тогда можно посчитать по этой формуле у= 1,5х+20. Расчёт оплаты использования подорожника: пусть  х - количество поездок, 60 - стоимость 1 поездки,  у - оплата подорожника. В заранее мы сможем положить на подорожник нужную сумму, зная количество ближайших поездок благодаря уравнению у= 60х.

Продолжительность жизни человека: пусть х - количество выкуренных сигарет человеком, 13,8 - количество отнятых от жизни человека минут при выкуривании 1 сигареты,  у – общее, отнятое от жизни человека время жизни, тогда можно посчитать  у = 13,8 х.

Расчёт сожженных человеком калорий: пусть х - количество пройденных километров, 276 - количество калорий, которые сжигаются за час ходьбы (~4 км/ч по ровной дороге) весом ~75 кг,  у - общее количество сожженных калорий  у= 276х.

Линейная функция встречается и на различных уроках в школе, например:

на математике  и физике при решении задач. Скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры может быть найдена по формуле: v=331+0,6t (v – скорость в м/с, t – температура в градусах Цельсия).

Зависимость давления жидкости от глубины или закон гидростатического давления. Давление на глубине h отличается от давления на нулевой глубине на величину ρ g h:   Р_h = Р₀ + ( ρ g h ).

На уроках биологии и географии, зависимость численности сине-зелёных водорослей от концентрации общего фосфора в воде выражается следующей формулой: а=0,983р+50,6 (а – численность сине-зелёных водорослей, р – концентрация общего фосфора).

Рассчёт “идеальной” массы тела человека: m=L - L1 (m - масса тела человека, L - рост человека в саннтиметрах, L1 - (постоянная величина) 100).

Много различных прямых зависимостей можно наблюдать в вопросах, связанных с климатом. Например, чем больше температура воздуха, тем больше испаряется вода с поверхности.

Масштаб – соотношение, которое показывает, во сколько раз каждая линия, нанесённая на карту или чертёж, меньше или больше её действительных размеров. На уроках экономики линейная функция выражает зависимость между ценой товара и спросом; между нормой прибыли и прибавочной стоимостью; между производством продукции и расходом материала и т.д.; Например, затраты на перевозку груза можно вычислить по формуле:                                                                                                у= 2000+8х. (х– расстояние в километрах, у – стоимость перевозки в рублях).

На уроках химии, при повышении концентрации одного из реагирующих веществ, скорость реакции возрастает, то есть скорость химической реакции прямо пропорциональна произведению концентрации реагирующих веществ.

Молярная концентрация (См) – это отношение количества вещества (ν, моль) к объему раствора (V, литр), в котором это вещество содержится. Определяется по формуле: См= ν / V, (моль/л).

На физкультуре, сдача нормативов. Например, чем дальше ученик прыгнет в песочную яму, тем лучше будет его норматив, а соответственно его оценка за урок. На уроках музыки,

чем выше нота берётся, тем плотнее смыкаются связки. Или, чем ниже звук, тем сильнее работают грудные резонаторы.

При изготовлении плаката на уроке технология, чем больше площадь плаката, тем больше нужно будет сделать бумажных цветков, чтобы его украсить.

На уроках русского языка прямая пропорциональность между буквами и звуками в слове. Чем больше букв, тем больше звуков в этом слове, но есть исключения. И, чем больше слов на английском языке ученик знает, тем  лучше он сможет перевести текст на этом языке. И, конечно, в литературе, значение различных поговорок. Например, "Много снега - много хлеба" (прямая пропорциональность), "чем дальше в лес, тем больше дров" (прямая пропорциональность).

Выполнив проект, учащиеся убедились, что линейная функция применяется не только на уроках математики. Ее можно встретить в окружающем нас мире, в повседневной жизни, а значит необходимо, чтобы она стала знакомой и понятной.

Список литературы:

1.      Благой Д.Д., Барсанофьва В.А. Детская энциклопедия. Т. 3. Числа и фигуры. Вещество и энергия: для среднего и старшего возраста. – Москва: Издательство Академии педагогических наук РСФСР, 1959 с.128-133 .

2.      Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е.Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций, М.:Просвещение, 2017- с.201-230 ;

3.      Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г.Функции и графики..-М.: «Наука», 1968.-с.24-32.

4.      Глейзер Г.И. История математики в школе: 7-8 класс - М.: Просвещение.- 1982.с 78-81

Краткое описание документа:

Проект по теме 7 класса "Функции. Линейная функция". Выполняется учащимися, для обобщения темы, так как изучался в 7 классе на дистанционном обучении