Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Научные работы / Статья, Некоторые критерии плюригармоничности
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Статья, Некоторые критерии плюригармоничности

библиотека
материалов

Некоторые критерии плюригармоничности



Теорема Гартогса и Лелона утверждает , что сепаратно-голоморфные или сепаратно-гармонические функции являются , соответственно голоморфными или гармоническими функциями по совукупности переменных. Основной трудностью в доказательстве этих теорем является установление непрерывности (и даже полунепрерывности или ограниченности) рассматриваемых функции по совокупности переменных . В этом отношении поучителен пример Ян Вигеринского показывакщий , что существует сепаратно-субгармоническая функции ,не ограниченная сверху по совукупности переменных , тем самымне являюшаяся
субгармонической по совокупности переменных.

Доказательство теоремы Гартогса опирается на следующую лемму Гартогса : если функция голоморфна в поликруге и при каждом фиксированном по Zn голоморфнао продолжается в большом круге то она голоморфно продолжается по совокупности переменных в поликругеправедлив аналог этой леммы для прюригармонических функций: пусть функция пларигармонична в поликруге и при каждом фиксированном гармонически продлжается по Zn в большой круг. Тогда U является плюригармонической в большом поликруге

В самом деле , так U плюригармонична в ,то U является реальной частью некоторой голоморфной функции , f-голоморфна в . Кроме того при фиксированном она является реальной частью голоморфной функции

.

Рассмотрим разность . Так как в , то из теоремы единственности следует , что .Сл едовательно, функция голоморфнапо в большом кпуге при каждом фиксированном и голоморфна в меньшем полкруге .

Тогда пименяя лемму Гартогса , мы получаем голоморфность f в поликруге и , следовательно , U является плюрегармонической в этом круге .

В первом параграфе данной главы рассматриваем вопросы продолжения плюригармонических функций вдол направления оси . Доказывается плюрегармоническое продолжение функций по направлению теоремы I.

Аналог леммы Гартогса для плюригармонических функций

Теорема I. Пусть функция определена в поликруге и удовлетворяет следущим условиям:

  1. При каждом фиксированном фнкция комплексного переменного гармоична в круге

  2. гармонична в по

  3. функция плюрегармонична по совокупности переменных в некотором поликруге

Тогда функция плюригармонична в поликруге

Для доказательства теоремы I нам потребуется следующая лемма , являющаяся гармоническим аналогом этой теоремы.

Лемма I. Пусть функция определена в поликруге . и удовлетиоряет следущим условиям:

  1. При каждом фиксированном функция переменного гармонична в круге

  2. Функция субгармонична в по

  3. Функция субгармонична в поликруге

Тогда функция гармонична в поликруге .

Доказательство. Берем произвольное число и для фиксированного и согласно формуле Пуассона выразим через интеграл по окружности ,

(I.I) где

Сначала для ясности изложения рассмотрим случай , когда , т.е. является даважды гладкой функцией по совокупности переменных.

По условию леммы оператор Лапласа



Так как гармонична по , и,следовательно при любом фиксированном . Отсюда и из формулы (I.I) имеем

Рассмотрим функцию



реальная часть которой совпадает с . Ясно , что она голоморфна по в круге для любого фиксированного . Тепер , из условия 3 леммы следует , что оператор Лапласа

Согласно теоремы о среднем (которая вытекает также из выражения (I.I) при ) имеем



Отсюда

Из свойства открытости голоморфных функций, голоморфная по функция либо , либо переводит окрестность нуля в некоторую окрестность нуля. Последнее невозможно в силу того , что

В

Следовательно , . Таким образом в .Так как произвольное , то отсюда мы получим гармоничность функции в .

Таперь рассмотрим общий случай , когда - произвольная субгармоническая функция.

По условию леммы в этом случае Лаплассиан положителен в обобщенном смысле функционал определяемыйинтегралом



Где - безконечно гладкая, финитная в поликруге функция , является положетельным , т.е. при . В частности, для любых финитных неотрицательных функций класса соответственно в облясях и имеем



Где - форма обьема в

Так как

То по теореме Фубини и из гармоничности по имеем



где и -формы обьема в и соотвественно.

Отсюда



Для всех финитных неотрицательных функций

Следовательно , внутренний интеграл положителен:



Для каждого фиксированного

Отсюда , по теореме фубини и их формулы (I) для каждого фиксированного и для каждого фиксированного

Имеен



Где

Ясно , что функция



Голоморфна по в , и



Согласно теоремы о среднем и условию леммы.

Так как



В , то из этого следует, что

Отсюда



Для каждого фиксированного и для любой неотрицательной в функции . Следовательно , при каждом фиксированном функция гармонична в по . Теперь нетрудно показать , что в обобщенном смысле. Действительно , для любой финитной в поликруге функции имеем:



Следовательно, оператор Лапласа от субгармонической функции равен нулю в обобщенном смысле.

Такая субгармоническая функция обязана быть гармонической согласно представлению Рисса . Лемма доказана.

Преходим к доказательству теоремы. Оно вытекает из доказонной леммы и из следущего элементарного факта если функция -одновременно гармоническая и плюгармоническая в поликруге , то она плюгармоническая в поликруге

Из условия теоремы I. согласно лемме I вытекает , что гармонична в поликруге .

Тогда из плюрисубгармоничности в этом поликруге вытекает, что функция является плюгармонической в . Из аналога леммы Гартогса для плюгармонических функций (см. начало гл.I) мы получим , что плюгармонична в большом поликруге

Теорема доказана.

Замечание используя сформулированный во введении результат Чирки Е.М., можно усилить лемму I, потребовав в условии 3 леммы I. Субгармоничность функции не во всем поликруге , а в некотором меньшем поликруге



Действительно , из доказанной леммы I мы в этом случае получим гармоничность и, следовательно , вещественную аналитичность в поликруге , причем при фиксированном функция переменнога будет гармонической в круге . Из теоремы Чирки Е.М. вытекает ,что является вещественно-аналитической в большом поликруге .Более того вещественно-аналитической в будет и оператор Лапласа

Так как в поликруге то по теореме еденственности в поликруге

Это означает , что гармонична в

Из теоремы I. легко вытекает

Следствие I. Пусть функция определена в поликруге



И удовлетворяет следущим условиям :

  1. При каждом фиксированном функция голоморфна в круге

  2. функция голоморфна в по .

  3. функция плюсубгармонична в некотором меньшем поликруге .

Тогда голоморфно продолжается в

Доказательство. Применив продолжается теорему I. I к функции получим ,что плюгармоническая в . Следовательно, существует функция такая , что фиксируем теперь и рассмотрим разность . Она голоморфна по в круге и принимает чисто мнимое значение , так как

Отсюда разность является в мнимой константой зависящей , быт может от :



Но при функция голоморфна в по . Отсюда как чисто мнимая , голоморфная функция . Следовательно , функция голоморфна в поликруге и при каждом фиксированном голоморфно продолжается в . Значит, по лемми Гартогса (см. введение ) голоморфна в большом поликруге

Следствие доказано.

Заметим , что произвольная выпуклая функция является плюгармонической функцией . Поэтому следствие I можно сформулировать и в следущем варианте.

Следствие 2. Пусть функция определена в поликруге , и удовлетворяет следущем условиям :

  1. при каждом фиксированном функция голоморфна в поликруге

  2. голоморфна в по

  3. функция выпуклая в некотором меньшем поликруг

Тогда голомофна продолжается












































Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 09.07.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров113
Номер материала ДБ-140343
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх