Статья о возможностях "Живой математики"

Возможности систем динамической геометрии в организации и проведении учебных исследований учащимися.

1.     Одной из важнейших задач Национальной образовательной инициативы «Наша новая школа» [1] является формирование личности обладающей инициативностью способностью творчески мыслить и находить нестандартные решения, умение выбирать профессиональный путь, готовность обучаться в течение всей жизни. Одним из направлений национальной инициативы является реализация образовательных стандартов, которые предполагают вооружение ученика знаниями для успешной социализации, применения в жизни и для дальнейшего использования в обучении и развитие творческой среды для выявления особо одаренных ребят.

Но анализ современной ситуации показал низкую учебную мотивацию школьников, низкий уровень усвоения знаний по математике (что подтверждают результаты ЕГЭ и ОГЭ по математике). Всё это связано с оторванность содержания математического образования от жизни, подмене обучения “натаскиванием” на экзамен, игнорированию действительных способностей и особенностей подготовки учащихся. [2].

Это  вынуждает нас искать идеи создания подходящих условий направленных на популяризацию и развитие творческого потенциала учащихся в сфере математики.

 В связи с этим приоритетным направлением становится обеспечение развивающего потенциала новых образовательных технологий, позволяющих достичь нужных результатов.

2.  Одним из путей повышения эффективности учебной деятельности в основной школе является включение учащихся в исследовательскую и проектную деятельность. Исследовательские работы могут быть построены таким образом, что в них будут востребованы практически любые способности учащихся, реализованы личные пристрастия к тому или иному виду деятельности (Мотив – цель – средства – действия – результат)

3.  В традиционной практике исследовательский метод не всегда находит свою реализацию. В большинстве случаев к исследовательской деятельности привлекаются только отдельные ученики, достигшие определённых успехов в освоении математики. Тогда как основная масса учащихся остаётся вне этого процесса. Возникает противоречие между необходимостью развития исследовательских навыков у всех школьников и сложившейся практикой обучения.

Особую актуальность проблема приобретает в преподавании геометрии, что, по мнению учеников, относится к наиболее сложной школьной дисциплине. (Причин: геометрические задачи, в отличие от алгебраических, не алгоритмичны; необходимость всё доказывать; использование аксиоматического метода построения теории;  недостаточное внимание педагогов к формированию образов геометрических понятий и реализации исследовательской составляющей процесса обучения геометрии). А именно геометрия потенциально содержит в себе богатейшие возможности для реализации различного рода исследований, практической направленности обучения математике, формирования интеллектуальной сферы личности ребёнка и т.д. Но для этого необходимо кардинально поменять отношение школьников к геометрии, сделать её более привлекательной для них. В сложившейся ситуации исследовательские и проектные работы могут помочь формированию более высокого уровня мотивации школьников и овладению ими необходимыми компетенциями в рассматриваемой предметной области.

Формирование опыта исследовательской деятельности в процессе обучения геометрии осуществляется через решения задач. В психолого-педагогической литературе встречаются следующие термины: «поисковая задача», «творческая задача», «исследовательская задача» и «познавательная задача»: везде присутствует направленность исследовательских задач на самостоятельное формулирование проблемы и ее разрешение. при этом следует использовать потенциал школьных учебников и задачников по геометрии.

Выделяю два вида задач: задачи исследовательского характера и исследовательские задач. . К задачам исследовательского характера отнесем задачи на выявление и формулировку определенных законо-мерностей, задачи, предполагающие самостоятельную формулировку вопроса по данному условию, задачи на существование того или иного математического объекта.

. К исследовательским задачам отнесем задачи, предполагающие различные способы решения, параметрические задачи, задачи на исследование геометрического объекта с целью установления его характерных признаков., Выделим шесть типов задач: 1) задачи, не со-держащие требования; 2) задачи на установление истин-ности высказывания; 3) задачи, решаемые различными способами; 4) задачи с измененными условиями; 5) зада-чи, обратные данным; 6) задачи с параметрами.

К задачам первого типа можно отнести задачи, в ко-торых по предполагаемым данным нужно отыскать все, что возможно. При решении таких задач важно обратить внимание учащихся на полноту их решения, на различные способы нахождения неизвестных элементов задачи, а также на последовательность построения действий и логику рассуждений каждого учащегося, основанную на индивидуальном восприятии данной информации, т.е., решая задачу такого типа, учащиеся продвигаются впе-ред в порядке и темпе, который соответствует их индиви-дуальным особенностям. Кроме того, на основе наблюде-ний, анализа учащиеся выявляют связи и отношения меж-ду элементами задачи и на основе синтеза формулируют проблемы и строят гипотезы.

К задачам второго типа относятся задачи на выясне-ние истинности некоторых математических предложений, связанных с изучаемым понятием, или на существование данного объекта. Отвечая на вопрос задачи, учащиеся мысленно решают проблему: “В чем заключается ошиб-ка?” или “Существует ли данная геометрическая конфи-гурация?” К задачам данного типа можно отнести и раз-личные математические парадоксы. Таким образом, к за-дачам второго типа можно отнести задачи, где предлага-ются ошибочные рассуждения или нереальные конфигу-рации и требуется найти ошибку и исправить ее.

Задачи третьего типа не требуют от учащихся обще-го, одинакового для всех, решения. Каждый может решить задачу тем способом, который ему понятнее. Как прави-ло, приступая к решению задачи, учащиеся ищут веду-щую идею, из которой следует исходить. Если такая идея найдена, то дальнейшее решение представляет ее конкре-тизацию и воплощение. Но, как отмечалось ранее, не вся-кая идея обеспечивает достижение цели. Тогда начинает-ся поиск других идей для данной задачи и их отбор для ее решения – в этом основная трудность решения.

Чтобы иметь возможность выбрать идею решения за-дачи, нужно располагать достаточным запасом таких идей. Понятно, что запас идей создается в практике реше-ния задач. Получив задание и уяснив суть проблемы за-дачи, учащиеся в процессе эмпирического поиска предла-гают несколько гипотез, которые порождают соответ-ствующий метод решения. Таких гипотез или идей может быть несколько. Не стоит бояться, что выбранный учени-ком путь (или предложенная гипотеза) не приведет к цели, но это будет способствовать тому, что учащиеся убеж-даются в необходимости рассмотрения различных вари-антов преобразования. Верные гипотезы, как правило, приводят к верным методам решения проблемы.

Решение задач разными способами, по сути, является для учащихся исследовательской деятельностью, так как позволяет им: 1) рассматривать объекты, данные в задаче, с разных точек зрения; 2) находить свои, новые пути ре-шения; 3) проверить правильность полученного результа-та: если в процессе решения такой задачи получается один и тот же результат, то его можно считать достовер-ным; 4) из нескольких способов решения выбрать наибо-лее рациональный, что имеет большое значение для прак-тической подготовки учащихся, для решения ими жизнен-ных вопросов.

Формой организации такой деятельности может слу-жить урок одной задачи. Напомним его суть. К данному уроку нужна специальная подготовка. Учитель заранее дает условие задачи (минимум за неделю; время на под-готовку зависит от степени сложности задачи). Отметим, что решение задачи должно быть посильно для учеников всего класса. Класс делится на творческие группы, кото-рым даются ориентиры способа решения задачи.

Например, для решения задачи: «В треугольнике АВС из вершины С проведены высота и медиана, делящие угол С на три равные части. Доказать, что угол С равен 90˚» могут быть даны следующие ориентиры: признаки равен-ства треугольников, свойство биссектрисы угла, свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30˚, тригонометрические функции, теорема сину-сов, координатный метод.

Получив ориентир способа решения задачи, учащиеся решают ее. Затем на уроке они должны защитить свой способ решения: приготовить наглядность, рассказать, что за метод был использован, чем пользовались для обоснования того или иного факта (теоретический мате-риал), что нового узнали, отметить достоинства и недо-статки.

К задачам четвертого типа можно отнести задачи, нацеленные на перестраивание условия путем отказа от избыточной информации, и задачи на частичное измене-ние условия с целью создания новой проблемы. Задачи с избыточными и недостающими данными играют немало-важную роль в формировании такого вида исследова-тельской деятельности, как выдвижение гипотез, так как позволяют выявить у учащихся умения устанавливать связи и отношения между элементами задачи, необходи-мые для ее решения, выделять главное и существенное в задаче, находить нужные данные.

Например, анализируя условие задачи: «Даны две окружности. Радиус одной из них равен 3 см, расстояние между их центрами 10 см. Пересекутся ли эти окружно-сти?», учащиеся приходят к выводу, что дать точный от-вет на вопрос задачи нельзя, так как необходимо знать радиус второй окружности. Но задачу можно предложить в дальнейшем к решению, рассмотрев все возможные слу-чаи, связанные со вторым радиусом и таким образом ре-шить вопрос о взаимном расположении двух окружностей на плоскости.

Опыт в решении таких задач позволяет предложить учащимся работу, которую они выполнят вполне осо-знанно. В следующих задачах необходимо дополнить условие недостающими данными, чтобы решение каждой задачи было единственным: 1) построить равнобедрен-ный треугольник по данному его основанию; 2) построить прямоугольный треугольник по данному ему катету и т.п.

Приведем пример задачи с частично измененным условием: «Построить треугольник по данным трем сере-динам его сторон». Применим метод аналогии и перефор-мулируем исходную задачу: 1) построить квадрат по данным четырем серединам его сторон; 2) построить тре-угольник по двум данным серединам его сторон и т.д. Из-меняя условия задачи различным образом, можно полу-чить много интересных и необычных задач. Это все отве-чает опыту работы учителей, которые рекомендуют не заканчивать работу над задачей, а «поиграть» с ней по-дольше, рассмотрев обратную, противоположную, рас-ширенную. Все такие дополнительные задачи часто называют обращенными, поскольку они придуманы на основе каких-либо задач.

Задачи пятого типа ставят учащихся на позицию ис-следователей, так как направлены на открытие ими новых фактов, что позволяет сформулировать им новые теоремы и определения понятий, а это, в свою очередь, и является целью исследовательской деятельности. По сути, с помо-щью составления учащимися обратных теорем и задач, обратных данной, мы учим формулировать проблемы и доказывать гипотезы. Ценным является и то, что многие из обратных теорем и задач затем используются при реше-нии других задач.

Приведем пример задачи, которая связана с обраще-нием ее условий: «Доказать, что в прямоугольном тре-угольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине». В этой простой задаче фактически сформули-рован необходимый признак прямоугольных треугольни-ков. Но является ли он их достаточным признаком?

Сформулируем обратное утверждение: «Если в тре-угольнике медиана, проведенная к большей стороне, рав-на ее половине, то этот треугольник прямоугольный», оно является истинным.

Итак, получено основное характеристическое свой-ство прямоугольных треугольников и можно дать еще од-но его определение: «Треугольник называется прямо-угольным, если у него существует медиана, равная поло-вине стороны, к которой она проведена».

Задачи шестого типа также ставят учащихся на пози-цию исследователей, так как позволяют учащимся рас-смотреть проблему с разных точек зрения, дать полное и исчерпывающее ее решение. Формировать такой подход к решению задач можно на примерах, не связанных с вы-числениями или доказательствами; как правило, это за-дачи на конструирование геометрических объектов («Вы-резать квадрат. Разрезать его на две равные части. Сколь-ко различных фигур можно из них сложить?»), а также обобщенные задачи, которые позволяют рассмотреть все возможные дающие разные решения случаи (о такой за-даче, связанной с расположением двух окружностей, го-ворилось выше).