Статья «Область определения и множество значений тригонометрических функций »

 «Область определения и множество значений тригонометрических

функций »

Тригонометрические функции
Область определения и множество значений тригонометрических функций.

У каждой функции у=f(x) есть два типа переменных: зависимые и независимые. Переменная «х» является независимой, поскольку она может принимать любые значения, кроме тех, которые «превращают» функцию в пустое множество ( этого необходимо избегать). Они бывают с одной или несколькими независимыми переменными. Необходимо выяснить все значения зависимой переменной.

Областью значений функции называют множество всех значений, которые принимает зависимая переменная (у).

Каждому действительному числу x соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки (1;0) на угол x радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Тем самым каждому действительному числу x поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции
y = sin x и y = cos x.

Таким образом, областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

Чтобы найти множество значений функции y = sin x, нужно выяснить, какие значения может принимать y при различных значениях x, т.е. установить, для каких значений y есть такие значения x, при которых sin x = y. Известно, что уравнение sin x = a имеет корни, если |a| ≤ 1, и не имеет корней, если |a| > 1.
Следовательно, множеством значений функции y = sin x является отрезок -1 ≤ y ≤ 1.
Аналогично множеством значений функции y = cos x также является отрезок -1 ≤ y ≤ 1.

Функция y = tg x определяется формулой y = tg x = sin x/cos x. Эта функция определена при тех значениях x, для которых cos x ≠ 0
Известно, что cos x = 0 при x = π/2 + πn, n Є Z.
Следовательно, областью определения функции y = tg x является множество чисел x ≠ π/2 + πn, n Є Z.

Так как уравнение tg x = a имеет корни при любом действительном значении a, то множеством значений функции y = tg x является множество R всех действительных чисел.

Функции y = sin x, y = cos x, y = tg x называют тригонометрическими функциями.

Пример 1. Найти область определения функции

;

;

;

Ответ: −.

Пример 2. Найти все решения уравнения 

;

;

Ответ:

Пример 3. Найти множество значений функции:

А) у=2 sin^2 x – cos 2x

У = 2 sin^2 x – (1 – 2 sin^2 x)

Y = 4 sin^2 x – 1

-1<= sin x <=1

0<= sin ^2 x <=1

0<= 4 sin^2 x <=4

-1 <= 4 sin^2 x – 1<=3

Ответ: у = [-1;3]

Б) у = 1 – 8 cos^2 x *sin^2 x

Y = 1 – 2 sin^2 *2x
- 1 <= sin x <=1

0<= sin^2 x<=1

0>= - 2sin^2 x>= -2

-1 <= 1 - 2 sin^2 x<=1

Ответ: у = [ - 1; 1]

В) у = 1 – 2 | cos x |

0<= | cos x| <= 1

- 2  <= - 2 | cos x | <=0

- 1 <= 1 – 2 | cos x | <=1

Ответ: у = [ -1;1]