Статья. Обучение школьников доказательству.

Статья. Обучение доказательству.

         Осуществляемый процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, в частности ее нравственных качеств. Это во многом зависит от решения указанной проблемы.

I. Что понимать под обучением доказательству? Оказывается, что в разные периоды развития методики математики вкладывали различный смысл в содержание этого понятия. Примерно до 60-х гг. оно отождествлялось с заучиванием готовых доказательств. Истоки такого представления восходят к Евклиду и закрепляются трудами Аристотеля, Гильберта, которые сводили доказательство к его логической форме. Поскольку учащиеся не владели правилами вывода, то под обучением доказательству и можно было понимать лишь разучивание и воспроизведение доказательств, содержащихся в учебниках математики. Эта мысль очень ярко выражена в одной из работ того времени. В статье "К вопросу о понимании геометрических доказательств учащимися" (Изв. АПН РСФСР. Вып. 54. 1954) Ф. Н. Гоноболин выделяет три уровня понимания. Первый характеризуется тем, что учащиеся схватывают лишь отдельные фрагменты доказательства без последующей их связи друг с другом; основная черта второго уровня состоит в понимании учащимися последовательной связи отдельных элементов доказательства, но без выделения логической схемы; третьему уровню свойственно понимание учеником идеи доказательства.

Ясно, что продвижение ученика в овладении приведенными уровнями понимания доказательства невозможно вне обучения его логическим действиям. Некоторыми исследователями обращается внимание на это. Так, рекомендуется специально обучать действиям подведения объекта под понятие, выведению следствий, правилам импликации, дедукции, контрапозиции и т. д. (Г. А. Буткин, М. Б. Волович, Э. И. Айвазян и др.). Особо отметим работы А. А. Столяра по реализации логической составляющей доказательства. Однако, несмотря на значительные усилия исследователей, проблема обучения школьников логическим действиям не получила удовлетворительного решения. По-видимому, одной из причин этого было то, что предложенные авторами средства, в частности задачи, ориентируемые на формирование действий, не вписывались в тогдашнее представление о содержании обучения математике, методике формирования понятий и работе с теоремой.

С начала 70-х гг. под влиянием книг Д. Пойя, работ Ю. М. Колягина, 3. Крыговской и других меняется представление об обучении доказательству. Акцент смещается в сторону эвристической составляющей доказательства. Несколько резко эта мысль высказана А. А. Столяром: "Под обучением доказательству мы понимаем обучение мыслительным процессам поиска, открытия и построения доказательства, а не обучение воспроизведению и заучиванию готовых доказательств" (Педагогика математики. Минск, 1974. С.145). Новый акцент в обучении доказательству значительно стимулировал исследования проблемы методики обучения решению задач, в частности обучения поиску способа решения задачи, использованию методов научного познания в изучении математики, формированию эвристических приемов и т. д. Надо сказать, что хотя в теории обучения решению задач и произошел поворот в сторону приобщения ученика к поисковой деятельности, в практике ощутимых конкретных успехов в обучении доказательству было мало. Основная причина этого заключалась в том, что рекомендации по реализации эвристической составляющей не имели необходимой логической основы. Кстати, это было замечено 3. И. Слепкань, которая отмечала, что под обучением доказательству следует понимать обучение учащихся готовым доказательствам, предлагаемым учителем и учеником, и обучение самостоятельному поиску доказательств (Психолого-дидактические основы обучения математике. Киев, 1983). Отметим еще одну важную мысль, содержащуюся в названной книге. Готовые доказательства, подчеркивает 3.И.Слепкань, должны выступать как модели, на которых школьники обучаются приемам умственной деятельности, лежащим в основе умения доказывать, применять различные методы доказательств, самостоятельно искать доказательства. Однако практическая реализация этих важных и интересных мыслей не была найдена.

Удивительно, что многие годы оставалась и остается незамеченной книга И. Лакатоса "Доказательства и опровержения" (М., 1976), в которой были высказаны важные положения об обучении доказательству. В частности, автор выделяет следующие уровни владения доказательством: 1) понимание и воспроизведение готовых доказательств; 2) самостоятельный разбор готового доказательства; 3) осуществление самостоятельного доказательства; 4) опровержение предложенных доказательств. Мысль о важности последнего уровня подчеркивалась в работах Я. С. Дубнова, В. Л. Минковского, А. И. Фетисова и других.

Прежде чем сформулировать обобщенную концепцию обучения доказательству, выделим ряд психологических положений, имеющих непосредственное отношение к ней: 1) структуры мозга, руководящие аналитической деятельностью, формируются к 13—14 годам; 2) развитие "доказательного" мышления проходит две стадии. В собственно подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их. В юношеском же возрасте уже заметно выступает критическое отношение к готовым доказательствам и стремление к собственным доказательствам (П. П. Блонский, С. Л. Рубинштейн, М. Г. Ярошевский).

Резюмируя все сказанное, приходим к выводу, что обучение доказательству есть обучение анализу готовых доказательств, их воспроизведению или опровержению, самостоятельному поиску и конструированию доказательства. Особенность данной концепции не только в расширенном толковании обучения доказательству, но и в том, что она не противопоставляет логику и эвристику, а объединяет обе составляющие в единое целое. Практическая реализация этой концепции требует ее методического анализа.

II. Начальный уровень умения доказывать характеризуется пониманием необходимости логических обоснований, навыками осуществлять простейшие дедуктивные выводы и пониманием того, что из одних утверждений логическим путем можно выводить новые утверждения. Он соотносится в основном с обучением математике учащихся V—VI классов. Следующий уровень включает умение школьников осуществлять цепочки дедуктивных умозаключений, а также работу по формированию действий выведения следствий, преобразованию требования задачи (заключения теоремы) в новое, из которого данное вытекает как следствие, составлению вспомогательных задач. Эти действия образуют основу поиска способа решения задачи (доказательства теоремы), а также применения методов научного познания (аналогии, обобщения и т.д.) в различных ситуациях и в этом смысле имеют эвристический характер. Этот уровень по своему содержанию соотносится с первыми разделами систематического курса планиметрии, которые включают и многие эвристики, основанные на ассоциациях: "равенство отрезков — равенство треугольников", "равенство углов — равенство треугольников", "сторона а треугольника больше стороны b — угол, лежащий против стороны а, больше угла, лежащего против стороны b", "сравнить два объекта — ввести в рассмотрение третий объект, находящийся с данными в известных отношениях" и т. д. Обучение умениям осуществлять цепочки логических шагов в доказательстве и применять указанные эвристики составляет содержание рассматриваемого уровня в обучении школьников доказательству.

Доказательства в школьном курсе геометрии содержательны, свернуты. В них присутствует в значительной мере интуитивный компонент, а порой даже делается ссылка на утверждение, отсутствующее в учебнике. Анализ доказательства: выделение логических шагов, поиск и устранение логических пробелов, развертывание дедуктивных умозаключений в логическую схему, выделение идеи доказательства и его воспроизведение — составляет содержание следующего компонента понимания доказательства, а его усвоение — содержание следующего уровня обучения школьников доказательству. Этот анализ готовит учащихся к самостоятельному поиску и осуществлению доказательства. Немаловажное значение в этом принадлежит и вооружению школьников эвристическими приемами, начало чему положено на предыдущем уровне усвоения доказательства. Эвристическая составляющая переходит в такие приемы, как прием элементарных задач, представления задачи в пространстве состояний, прием вспомогательной фигуры, рассмотрения предельных случаев, прием аналогии, обобщения и т. д. Возможности учебников геометрии для формирования указанных эвристических приемов значительны. Уже изучение первых теорем, например, признаков равенства треугольников, способствует формированию метода аналогии, а заключительный этап работы с задачей является хорошим средством обучения школьников обобщению и конкретизации.

Участие школьников в самостоятельном открытии фактов, формулировках, конструировании доказательств, естественно, сопряжено с возникновением разного рода ошибок, поэтому важно умение критически оценивать результаты своей и своих товарищей работы, которое и формируется в процессе опровержения предложенных утверждений и доказательств. Этот наиболее высокий уровень обучения доказательству обоснован и результатами психологических исследований. Вспомним хотя бы работы П. П. Блонского, в которых отмечается наличие в юношеском возрасте способности критического отношения к окружающему и изучаемому, развитие которой предполагает адекватную этой способности деятельность, а таковой и является деятельность по опровержению готовых доказательств. Этот уровень обучения доказательству можно отнести к VIII—IX классам.

Итак, система обучения доказательству имеет сложное строение, а потому осветить все аспекты ее функционирования в журнальной статье не представляется возможным. Остановимся на формировании некоторых умений.

III. В методической литературе неоднократно предпринимались попытки формирования у школьников навыков дедуктивного мышления, причем как на математическом, так и ином материале. Вот пример одного из таких упражнений: можно ли на основании предложений: "В понедельник я хожу в школу. Сегодня я был в школе" — сделать вывод: "Сегодня понедельник"? Однако дальше экспериментов авторов диссертационных исследований решение этой проблемы не продвинулось, хотя еще П. П. Блонский отмечал, что младшему школьному возрасту посильны рассуждения по схеме правила заключения и правила отрицания. Причина этого в том, что весь ими специально подобранный для формирования навыков дедуктивного вывода материал не вписывался в школьные учебники математики.

Иную ситуацию мы имеем сейчас. Общеизвестно, что важным элементом методики формирования понятий являются упражнения на распознавание объектов, принадлежащих понятию.

Пример: какие из углов, изображенных на рис. 1, являются смежными?

Углы 1 и 2 (рис. 1,а) являются смежными, потому что у них общая сторона, а две другие образуют дополнительные лучи. Полная структура обоснования такова.

Если у двух углов одна  сторона общая, а две  другие — дополнительные  лучи,

то  такие  углы  являются  смежными  (I).

Углы  1  и 2 имеют общую сторону, а две другие их стороны — дополнительные лучи (II).

Углы 1  и 2 смежные (III).

Утверждение I, являющееся общим, называют большой посылкой, утверждение II, выражающее частное суждение, — малой посылкой, а утверждение III — выводом.

Обобщенная  схема рассуждения  имеет  вид:

 – и  называется  правилом  заключения.

Углы 1 и 2 (рис. 1,б) не являются смежными, поскольку не имеют общей стороны (хотя две их стороны образуют дополнительные лучи). Полная структура умозаключения такова.

Углы являются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие лежат на дополнительных лучах (I). Углы 1 и 2 не имеют общей стороны (II). Углы 1 и 2 не  являются смежными (III). Обобщенная  схема  умозаключения  имеет  вид:

  (правило  отрицания).

Курс математики V—VI классов дает хорошую возможность для пропедевтики формирования умений рассуждать по указанным схемам.

Пример: какая из дробей больше  или ?

Из двух дробей с равными знаменателями больше та, числитель которой больше.

Числитель дроби  больше числителя дроби .

Значит, дробь   больше дроби .

При выполнении подобных упражнений учитель озвучивает свои действия и требует этого от учащихся. Например, выполняя сложение дробей   и  ученики должны рассуждать так: дроби   и  имеют один и тот же знаменатель. При сложении дробей с равными знаменателями нужно сложить их числители и оставить тот же знаменатель. Следовательно, при сложении дробей  и  нужно сложить 4 и 3, оставив знаменателем 8, т. е. .

Легко видеть, что основу обоснования составляет правило заключения. Конечно, не следует надеяться на то, что ученики сразу же начнут грамотно рассуждать. Учитель должен терпеливо и настойчиво внедрять подобные рассуждения в обоснование учащихся и давать при этом образцы рассуждений.

Еще пример из учебника математики Э. Р. Нурка и А. О. Тельгмаа. Упражнение 603: "Какие из углов, изображенных на рис. 2: 1) больше 90°; 2) меньше 90°; 3) равны 90°?

Приведем рассуждения, сопутствующие выполнению упражнения 1. Угол больше 90°, если прямой угол является его частью. Угол EOB содержит прямой угол. Значит, угол ЕОВ больше 90°. Обучение школьников умению логически рассуждать — важная задача учителя математики. При хорошо организованной пропедевтической работе в V—VI классах учащиеся VII класса уже с первых уроков овладевают рассуждениями, основу которых составляют правила заключения и отрицания, и используют эти правила в дальнейшем в качестве ориентировочной основы выполнения действия распознавания. Такая работа должна проводиться при выполнении упражнений не только на распознавание объектов, принадлежащих понятию, но и на распознавание ситуаций, удовлетворяющих теореме.

Пониманию структуры наиболее употребимых дедуктивных умозаключений может способствовать использование специальных упражнений на отыскание: а) большой посылки; б) малой посылки; в) вывода.

Примеры: запишите пропущенные утверждения.

а)   Вертикальные   углы  равны.

…………………………………

.

б) …………………………………

Углы  1  и 2 вертикальные.

.

в) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

∆ АВС  равнобедренный.

……………………………….

Выполнение подобных упражнений должно подкреплять изучение первых теорем курса геометрии VII класса.

С первых уроков геометрии следует осуществлять систематическую работу и по формированию таких действий, как выведение следствий, переформулировка требования задачи, составление вспомогательных задач, образующих основу эвристических приемов. (Ясно, что пропедевтика их формирования может и должна осуществляться еще в V—VI классах.) Можно предложить следующую последовательность формирования указанных действий. Вначале акцент делается на овладении умениями извлекать информацию из условия и требования задачи, вычленять отдельные элементы, комбинировать их, соотносить требование с условием и т. д. Примеры упражнений, ориентированных на усвоение этих действий:

1. На луче АВ отложен отрезок АС. При каком условии точка С лежит между точками А и В?

2. Из вершины  С равнобедренного  треугольника ABC отложены отрезки СА₁ на стороне АС и СВ₁ — на стороне СВ. Дополните условие так, чтобы из него следовало равенство треугольников САВ₁ и СВА₁.

Подобные упражнения выполняются, как правило, устно при изучении соответствующих фактов: упражнение 1 — при изучении основных свойств откладывания отрезков, упражнение 2 — равенства треугольников.

В качестве примера рассмотрим методику работы с упражнением 1. После выделения условия, заключения, выполнения рисунка проходит примерно следующая беседа.

Учитель: Итак, нам известно, что отрезок АС отложен на луче АВ. Что можно сказать о расположении точек А, В и С, если точки В и С не совпадают?

Ученик: Либо С лежит между А и В, либо В лежит между А и С.

Учитель:  А что нам надо установить?

Ученик: Надо найти условие, которое вместе с данным позволило бы сделать вывод: С лежит между А и В.

Учитель: Что еще нужно знать, чтобы утверждать, что С лежит между А и В?

Ученик: Отрезок АС меньше отрезка АВ.

Учитель: Какое же утверждение мы должны включить в условие?

Ученик:  АС < АВ.

Оформление решения этой задачи может быть таким: С между А и В при условии:  АС < АВ.

Сама же беседа обучает школьников грамотной постановке вопросов, ответов на них, служит образцом рассуждений.

Последующая серия упражнений ориентирована на овладение учащимися действием выведения следствий из данных. Это действие является важным компонентом логической составляющей доказательства, однако оно зачастую помогает найти путь к решению задачи, и в этом смысле прием выведения следствий относят к эвристическим приемам.

Примеры  соответствующих упражнений:

3. Точка С лежит между точками А и В, а точка X — между точками А и С. Докажите, что точки А, В, С и X принадлежат одной прямой. Сформулируйте все утверждения, полученные в процессе решения этой задачи.

4. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 30°. Что следует из этого?

При выполнении подобных упражнений внимание учащихся акцентируется на выводимых следствиях, что прямо подчеркивается в требовании задачи. Полученные следствия и данные утверждения можно использовать для составления учащимися задач. Выполняя упражнения этой группы, можно прибегать и к "развертке" получения отдельных следствий с указанием большой и малой посылок.

На первых уроках геометрии VII класса специальным предметом формирования должен быть прием переформулировки требования задачи (заключения теоремы). Сущность его заключается в замене требования задачи новым так, чтобы из него вытекало первоначальное. Очевидно, использование его предполагает владение приемами выведения следствий, подведения объекта под понятие, навыками анализа ситуаций. Приведем примеры упражнений, ориентированных на его усвоение.

5. Решите   задачи,   заменив   предварительно   их требования   новыми   так,   чтобы   из   них  следовали первоначальные.  (Такая  редакция  формулировки  задачи  принята  потому,  что  ученики  VII класса  не знакомы  с  понятием  равносильности.)

1) Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на  одной прямой.

2) Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что если отрезки AC, BC, BD и AD равны, то  прямые АВ и  CD перпендикулярны.

В процессе доказательства приходится не только осуществлять выведение следствий, замену требования новым, но и самостоятельно формулировать промежуточные задачи. В нижеприведенных упражнениях предлагается учащимся к имеющемуся набору данных самостоятельно подобрать требование и решить полученную задачу.

6. Даны   два   луча  АВ   и   BD.   Сформулируйте требование  и решите  полученную  задачу.

Предполагаемые вопросы: 1) назовите лучи с вершиной А; 2) назовите лучи с вершиной В; 3) укажите лучи, не имеющие общих точек; 4) назовите дополнительные лучи.

7. Сумма вертикальных углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50°.

Предполагаемые вопросы: 1) найдите эти углы; 2) найдите сумму двух других углов; 3) найдите все углы.

Конструирование упражнений, позволяющих организовать целенаправленную работу по формированию указанных умений, можно осуществить на задачном материале первых разделов учебников геометрии. Для этого необходима лишь небольшая корректировка задач учебников. Приведенные упражнения могут служить образцом в осуществлении этой работы.

Идея привлечения школьников к составлению геометрических задач может осуществляться при использовании готовых чертежей. Это позволяет формировать комплекс многих действий, составляющих умение доказывать. Действительно, такая работа предполагает анализ ситуации, заданной рисунком (выделить объекты, отношения между ними, привести словесную формулировку заданной ситуации, обозначить ряд требований, причем при этом приходится осуществлять простое и составимое вычленение фигур, представлять фигуру в плане различных понятий и т. п.), выведение следствий из данных рисунка. Отметим и то, что решение школьных задач в учебнике геометрии основано на трансформации словесной формулировки задачи в чертеж, а обратная трансформация не используется, что ведет к перекосу в обучении умения решать задачи, а в конечном счете — к значительным трудностям, испытываемым учащимися при решении геометрических задач.

Пример: составьте несколько задач, используя рис. 3.

Рис. 3 фиксирует конфигурацию, состоящую из смежных углов и их биссектрис. Требованиями задач могут быть следующие предложения: а) найдите угол между биссектрисами; б) докажите, что угол между биссектрисами смежных углов прямой. (На второе утверждение может навести восприятие рисунка.) Можно предложить учащимся сформулировать утверждение, обратное утверждению б, и доказать его. (Два угла с общей стороной, биссектрисы которых образуют прямой угол, являются смежными.) Решение этой задачи предполагает выполнение обратного действия, заключающегося в трансформации словесной формулировки задачи в ее графическую модель. Более подробно эта идея изложена в нашей статье «Составление геометрических задач на заданных чертежах» (Математика в школе. 1993. №6. С. 14).

По-видимому, каждому учителю математики знакомы те трудности, с которыми встречается ученик VII класса при изучении теорем, выделяя отдельные шаги доказательства, устанавливая связи между ними, выполняя обоснование утверждений. Снижению этих трудностей способствует применение специальных карточек. На карточке дана таблица, состоящая из двух колонок. Одна колонка содержит утверждения, другая — их обоснования, причем в колонках имеются пропуски, которые предстоит заполнить ученику. Запишем в виде таблицы (без пропусков) доказательство теоремы о сумме углов треугольника по учебнику А. В. Погорелова.

I Утверждения 1.   BD || AC 2.   A и D по разные стороны от прямой ВС. 3.    - внутренние накрест лежащие углы для прямых АС и BD и секущей ВС. 4.   5. 6. 7. - внутренние односторонние углы при параллельных прямых АС и ВD и секущей ВС 8. 9.

II Обоснования По построению По построению По определению внутренних накрест лежащих углов По свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей ВС – внутренний луч угла АВD Утверждения 4, 5 По определению внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей По свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей Утверждения 6, 8

Читатель может сам убедиться в том, что, например, доказательство одной из первых теорем курса геометрии VII класса (учебник геометрии Л.С. Атанасяна и др.) — теоремы о биссектрисе равнобедренного треугольника — содержит 16 логических шагов. Приведенное в учебнике доказательство настолько сжато, что разобраться в нем непросто даже сильному ученику.

Формы работы с такими карточками весьма разнообразны. Вот одна из них. Учитель, проработав с классом канву доказательства, выдает каждому ученику карточку, в которой он должен заполнить пустые места. При этом ученик может пользоваться и учебником, сопоставляя содержание карточки с доказательством теоремы, содержащимся в учебнике. Во время работы учеников с карточками учитель следит за их действиями и оказывает им необходимую помощь. По выполнении задания осуществляется проверка понимания учащимися доказательств теоремы посредством специальных вопросов, одни из которых закрепляют в сознании школьника эвристики, другие формируют ассоциации, связанные с ними. Пример: "Для доказательства перпендикулярности двух прямых надо доказать равенство смежных углов, образуемых при пересечении прямых". Данная эвристика образует ассоциацию: перпендикулярность прямых → равенство образуемых смежных углов.

В процессе работы с карточками возможны задания на развертывание дедуктивных умозаключений, составляющих доказательство теоремы.

Итак, одну из моделей работы с доказательством на первых уроках геометрии в VII классе составляют три этапа. На первом обсуждается канва доказательства, второй включает изучение доказательства с помощью специальных карточек и сопутствующих упражнений, на третьем этапе осуществляется запись доказательства в тетрадях школьников и на классной доске. По мере продвижения учащихся в изучении геометрии надобность в использовании карточек будет уменьшаться, а доля самостоятельности в отыскании способа доказательства, его построении, записи — увеличиваться.

Активности ученика в процессе доказательства будет способствовать работа учителя по формированию эвристических приемов и повышению уровня логической строгости. Первое направление связано с использованием аналогии, обобщения, рассмотрением частных случаев, предельных положений и т. д., а также с продолжением работы по вооружению школьников специальными эвристиками, например: сравнение двух углов может осуществляться посредством третьего, находящегося с двумя данными в известных отношениях; равенство отрезков следует из того, что они являются противоположными сторонами параллелограмма, и т. п.