Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Статья "Однородные тригонометрические уравнения

Статья "Однородные тригонометрические уравнения


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Однородные тригонометрические уравнения



Определение.

Тригонометрическое уравнение вида hello_html_3368b6c9.gif, где hello_html_5866e48c.gif, называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Для его решения достаточно обе части уравнения разделить на cosx:

hello_html_19b9cae.gif, учитывая, что hello_html_44e147b5.gif , получаем: hello_html_5bda87b3.gif



Замечание «О потере корней»

При проведении почленного деления на функцию возможна потеря корней. Рассмотрим примеры.

  1. Решим уравнение (х-1)х=0 двумя способами:

Решение: 1 способ: hello_html_15632450.gif

2 способ: разделим уравнение на (х-1). Получим: х=0.

Как видим во втором случае мы потеряли корень х=1. Его можно восстановить, если приравнять к нулю функцию, на которую проводилось деление, и, прорешать полученное уравнение: х-1=0, значит х=1

  1. Решим уравнение hello_html_5bad7250.gif двумя способами.

Решение: 1 способ: hello_html_4293327f.gif

2 способ: Разделим уравнение на hello_html_39af2f88.gif, получим hello_html_3a3348c0.gif

Как видим во втором примере потери корней нет, так как уравнение hello_html_39af2f88.gif=0 не имеет решений.

  1. Вернемся теперь к решению нашего тригонометрического уравнения. Следует заметить, что при делении на cosx потери корней нет, не смотря на то, что уравнение cosx=0 имеет решения! Действительно, те значения х, при которых выполняется равенство cosx=0 не удовлетворяют данному тригонометрическому уравнению, в силу того, что в противном случае выполнялось бы также равенство sinх =0, а sinx и cosx одного и того же аргумента не могут быть равны нулю одновременно.

  2. Решим уравнение hello_html_3ed289c8.gifдвумя способами

Решение: 1 способ: hello_html_3ed289c8.gifhello_html_271ef53f.gif

2 способ: Разделим уравнение на х, получим,(х-2)х=0. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: hello_html_m51daa281.gif

Как видим в этом примере потери корней нет., так как мы провели деление на х, а х=0 – является корнем уравнения, который найден в процессе решения исходного уравнения.



Сделаем вывод:

При решении уравнений методом почленного деления возможна потеря корней. Чтобы установить имела ли место потеря корней необходимо приравнять к нулю функцию, на которую производилось деление, найти корни полученного уравнения и подставить их в исходное уравнение. Если найденные корни являются корнями исходного уравнения, и не были установлены в процессе его решения, то эти корни были потеряны в процессе деления и их необходимо включить в ответ. Если же полученное уравнение не имеет корней или имеет корни, которые не являются корнями исходного уравнения, или являются корнями исходного уравнения, но были установлены в процессе его решения, то в этом случае потери корней нет…

Рассмотрим пример

Решить уравнение: 3sinx-2cosx=0

Решение: это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на cosx, получим hello_html_m37901ae9.gif ,hello_html_m19a98e8b.gif hello_html_m23785cf1.gif hello_html_m66ee7ecd.gif

Определение. Тригонометрическое уравнение вида hello_html_6a4a0e50.gif, где hello_html_m2147285c.gif,называется однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Для его решения достаточно hello_html_m62a00377.gifобе части уравнения разделить на hello_html_1e0411d.gif:

hello_html_m394e36d.gif, hello_html_1582e226.gif

Получили квадратное уравнение относительно tgx.

Замечание:

Следует заметить, что при делении на hello_html_1e0411d.gif потери корней нет, так как те значения х, при которых выполняется равенствоhello_html_1e0411d.gif=0 не удовлетворяют исходному уравнению в силу того, что в противном случае выполнялось бы также равенство sinx=0, чего быть не может (sinx и cosx не равны нулю одновременно).

Рассмотрим примеры.

  1. Решить уравнение hello_html_m6a628048.gif

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнениюhello_html_12c30ce7.gif. Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим уравнение на hello_html_1e0411d.gif, получим:

hello_html_4bfd9c28.gif

Сделаем замену переменной: tgx=t, получим квадратное уравнение:

hello_html_m73784e2b.gifКорнями этого уравнения являются: hello_html_fd132ef.gif

Обратная замена: 1) hello_html_54b2100c.gif

2) hello_html_74a4bf0d.gif

  1. Решить уравнение hello_html_m6feaf7c4.gif

Решение: Применяя формулу синуса двойного аргумента,hello_html_m2f1ff996.gif получим:

hello_html_m209c01bd.gif. Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим уравнение на hello_html_1e0411d.gif:

hello_html_469ec9b5.gifhello_html_6cf99009.gif. Пусть hello_html_2d08a5fe.gif, получаем квадратное уравнение: hello_html_76017f2a.gif. Корни этого уравнения: hello_html_73fa8ae0.gif

Получаем: hello_html_md0d2f18.gif hello_html_336c371e.gif

hello_html_15a505e5.gifhello_html_7c1dbf7f.gif

  1. Решить уравнение hello_html_m5028776a.gif

Решение: Применяя формулу синуса двойного угла и основное тригонометрическое тождество, hello_html_m3e49ccd1.gif, получаем:

hello_html_m5028776a.gifhello_html_46854ab6.gif

Выполнив преобразования, получим:

hello_html_m41c72c9c.gif. Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Делим это уравнение на hello_html_1e0411d.gif:

hello_html_71cb4851.gif



Решив это уравнение, получим hello_html_m3ce7d2fe.gif, значит hello_html_40961d18.gif














Автор
Дата добавления 21.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров199
Номер материала ДВ-084632
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх