Статья "Однородные тригонометрические уравнения

Однородные тригонометрические уравнения

Определение.

Тригонометрическое уравнение вида   , где , называется  однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Для его решения достаточно обе части уравнения разделить на cosx:

  , учитывая, что  , получаем:   

Замечание «О потере корней»

При проведении почленного деления на функцию возможна потеря корней. Рассмотрим примеры.

1)      Решим уравнение (х-1)х=0 двумя способами:

Решение:  1 способ:

                     2 способ: разделим уравнение на (х-1). Получим: х=0.

       Как видим во втором случае мы потеряли корень х=1. Его  можно восстановить, если приравнять к нулю функцию, на которую проводилось деление, и, прорешать полученное уравнение: х-1=0, значит х=1

2)      Решим уравнение  двумя способами.

Решение: 1 способ:

                   2 способ: Разделим уравнение на , получим

    Как видим во втором примере потери корней нет, так как  уравнение =0 не имеет решений.

3)      Вернемся теперь к решению нашего тригонометрического уравнения. Следует заметить, что при делении на cosx  потери корней нет, не смотря на то, что уравнение cosx=0  имеет решения! Действительно,   те значения х, при которых выполняется равенство cosx=0  не удовлетворяют данному тригонометрическому уравнению, в силу того, что в противном случае  выполнялось бы  также равенство sinх =0, а sinx  и  cosx одного и того же аргумента не могут быть равны нулю одновременно.

4)      Решим уравнение двумя способами

Решение: 1 способ:

                   2 способ: Разделим уравнение на х, получим,(х-2)х=0. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Как видим в этом примере потери корней нет., так как мы провели деление на х, а х=0 – является корнем уравнения, который найден в процессе решения исходного уравнения.

  Сделаем вывод:

При решении уравнений методом почленного деления возможна потеря корней. Чтобы установить имела ли место  потеря корней необходимо приравнять к нулю функцию, на которую производилось деление, найти корни полученного уравнения и подставить их в исходное уравнение. Если найденные корни являются корнями исходного уравнения, и не были установлены в процессе его решения,  то эти корни были потеряны в процессе деления и их необходимо включить в ответ. Если же полученное уравнение не имеет корней или имеет корни, которые не являются корнями исходного уравнения, или являются корнями исходного уравнения, но были установлены в процессе его решения, то в этом случае потери корней нет…

Рассмотрим пример

Решить уравнение: 3sinx-2cosx=0

Решение: это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на cosx, получим   ,   

Определение. Тригонометрическое уравнение вида , где ,называется однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Для его решения достаточно обе части уравнения разделить на :

  , 

Получили квадратное уравнение относительно tgx.

Замечание: 

Следует заметить, что при делении на  потери корней нет, так как те значения х, при которых  выполняется равенство=0 не удовлетворяют исходному уравнению в силу того, что в противном случае  выполнялось бы также равенство sinx=0, чего быть не может (sinx и cosx не равны нулю одновременно).

Рассмотрим примеры.

1.      Решить  уравнение

Решение:

 Данное уравнение равносильно уравнению. Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим уравнение на , получим:

       Сделаем замену переменной: tgx=t, получим квадратное уравнение:

          Корнями этого уравнения являются:

          Обратная замена: 1)

                                              2)

2.      Решить  уравнение

Решение: Применяя формулу синуса двойного аргумента, получим:

. Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим уравнение на :

. Пусть , получаем квадратное уравнение: .  Корни этого уравнения:

Получаем:    

                           

3.      Решить уравнение 

Решение: Применяя формулу синуса двойного угла и основное тригонометрическое тождество, , получаем:

Выполнив преобразования, получим:

. Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Делим это уравнение на :

Решив это уравнение, получим , значит