Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Статья "Олимпиадные задачи по математике для подготовки к ЕГЭ"

Статья "Олимпиадные задачи по математике для подготовки к ЕГЭ"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Олимпиадные задачи по математике для подготовки к ЕГЭ

Часто бывает так, что серьёзное увлечение математикой начинается с решения какой-либо понравившейся нестандартной задачи. Такая задача может встретиться на уроке в школе, на занятии математического кружка, в журнале или книге. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады – от школьных, районных и городских до международных.. Олимпиадные задачи для своего решения требуют остроумия, сообразительности, умения рассуждать и критически относиться к своим выводам

Решение олимпиадных задач обычно не требует знаний, выходящих за рамки школьной программы. Такие задачи, как правило сформулированы так, что они не принадлежат ни к одному из стандартных типов задач школьного математического курса. Поэтому решение каждой такой задачи требует особого подхода, наличие способности к интенсивному творческому труду.

На любой математической олимпиаде предлагаются геометрические задачи. Формулировки этих задач могут быть самыми разнообразными. Так же разнообразны разделы геометрии, к которым относятся эти задачи. Поэтому ясно, что в рамках одной статьи невозможно рассмотреть все методы решения таких задач. Тем не менее, у по-настоящему олимпиадных геометрических задач есть отличительная особенность: при их решении используются нестандартные, оригинальные методы.

.. В отличие от алгебры, в геометрии почти нет стандартных задач, решающихся по образцам. Практически каждая геометрическая задача требует "индивидуального" подхода, четкости и последовательности в рассуждениях, понимания логических связей между различными этапами решения задачи. Говоря о методах решения геометрических задач, следует отметить некоторые особенности данных методов: большое разнообразие, взаимозаменяемость, трудность формального описания, отсутствие четких границ области применения. Кроме того, очень часто при решении некоторых достаточно сложных задач приходится прибегать к использованию комбинаций методов и приемов.

Хочется поделиться решением нескольких олимпиадных планиметрических задач.


1. Доказать, что если а и b — катеты, а с —гипотенуза, то , где r — радиус вписанной окружности.


Решение:

I способ


Поскольку OD АС, OF ВС и C = 90°, то FODC — квадрат. OD = OF = ОЕ = r, AD = b - r, BF= а – r. Но AD = АЕ и BF = BE как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки. Значит, АЕ = b - r, BE = а – r, и АВE+ВЕ т. е. с = (b - r) + (а - r), откуда), ч. т. д.

II способhello_html_1184d7a1.png

Заметим, что

С другой стороны, тогда , тогде , откуда .(1)

По теореме Пифагора , или , т. е. , или , тогда (1) примет вид , ч.т.д.


2. Доказать, что площадь прямоугольного треугольника с острым углом в 15° составляет восьмую часть квадрата гипотенузы.

Решение:

I способ

Пусть АС = b, ВС = a, АВ = c. Проведем AM так, чтобы ВАМ = 15°, тогда АМС = МАВ + MBA = 30° (внешний угол АМВ), AM = 2АС = 2b (по свойству катета, лежащего против угла в 30°). Значит, и МВ =2b.


Построим MN АВ, тогда MNB~ АСВ и , или , откуда , и так как , то ч. т. д


hello_html_7520b250.png

II способ


ab=, ч. т.д.



3.. Доказать, что площадь равнобедренной трапеции определяется по формуле , где m — длина диагонали, — угол между ними.

Решение: Пусть в трапеции ABCD АВ = CD, АС = BD= m и AOB = , AO=x, CO=y. hello_html_64db3fc4.png

Заметим, что


4. В АВС длины сторон образуют арифметическую прогрессию, причем ВС < АС < АВ.

Известно, , где г и R — соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей. Найти величину угла B.


Решение. Пусть AB=c, AC=b, BC=a, причем Так как по условию задачи стороны a,b,c образуют арифметическую прогрессию, то

(1)

По теореме синусов =2R, откуда

Известно, что


Учитывая (2), находим и, так как



, так как , тогда , откуда .

По условию задачи , откуда Значит ,

Ответ: 30°.


Автор
Дата добавления 12.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров93
Номер материала ДБ-078813
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх