Статья по алгебре на тему "Делимость чисел"

Делимость чисел

Учитель математики

ОБОУ ЦДО «Новые технологии»

Носикова О.В.

Великий Архитектор Вселенной все более

представляется нам чистым математиком

Джеймс Джинс

            Деление — операция, обратная операции умножения.

            Определение делимости. Целое число а делится на целое число в, если существует такое целое число с, для которого выполняется равенство св=а.

            Делитель числа а — это такое число в, что а делится нацело (без остатка) на в.

            Кратное числа в — это такое число а, что а делится нацело на в.

            Рассмотрим некоторые свойства делимости.

1.      Любое целое число, кроме 0, делится само на себя.

Доказательство. Для любого целого числа а=ах1.По определению делимости а делится на а.

2.      Любое целое число делится на 1.

Доказательство. Для любого целого числа а=ах1.По определению делимости а делится на 1.

3.      Если целое число а делится на в, а в делится на с, то а делится на с.

Доказательство.  По определению делимости если а делится на в, а в делится на с, то по определению делимости должны существовать такие целые числа m и к, такие что, а=bm, b=ck. Отсюда а= ckm. Так как произведение целых чисел m и к есть целое число, то по определению делимости а делится на с.

4.      Сумма слагаемых делится на число с, если на него делится каждое слагаемое по отдельности.

Доказательство. Пусть числа а, в и с делятся на к. Тогда а=kf, b=kr ,c=kn . а+в+с=k(f+r+n). Сумма целых чисел есть целое число, следовательно  а+в+с по определению делимости, делится на к.

Обратное не верно.

5.      Разность делится нацело на с, если уменьшаемое и вычитаемое делятся нацело на с.

Доказательство аналогично доказательству суммы (п.4).

6.      Если среди слагаемых все, кроме одного делятся нацело на с, то сумма этих слагаемых не делится нацело на с.

Пусть а и в кратны с, а  d не кратно. а+в+d= (a+b)+d. Разделим сумму на с. Получим (а+в)/с +d /c. Первое слагаемое — целое число (следует из 4 свойства делимости), второе слагаемое — дробное число. Сумма целого и дробного числа — дробное число. Следовательно сумма не делится на с.

7.      Если в произведении нескольких целых чисел хотя бы один множитель делится нацело на число с, то и все произведение делится нацело на число с.

Доказательство. Рассмотрим произведение целых чисел ав. Пусть а делится на с, в — нет. Можно записать а=кс, где к — целое число. Тогда ав=(кс)в=(кв)с. Произведение целых чисел — целое число

8.      Если в произведении один из множителей делится нацело на число m, а еще один множитель нацело на число n, то все это произведение делится нацело на mn.

Доказательство. Пусть а делится на c, в на d, тогда а=pc b=dk, p и k — целые числа. Тогда ав= pcdk=(pk)cd. Это значит, что ав делится на  cd, так как  pk — целое число.

9.      Среди n последовательных целых чисел ровно одно делится нацело на n.

10.  Произведение n последовательных целых чисел  делится нацело на n.

11.  Сумма или разность двух четных чисел также четное число.

12.  Сумма или разность двух нечетных числе является четным числом.

13.  Сумма или разность четного и нечетного числа является нечетным числом.

14.  Произведение четных чисел, либо четного и нечетного числа является четным числом.

15.  Произведение нечетных чисел является нечетным числом.

Признаки делимости

1.      Число делится на 2, если последняя цифра числа четная.

Доказательство. Представим двузначное число в виде 10а₁+а₀. (Аналогично для любого многозначного числа.) Первое слагаемое делится на 2, так как по свойству 7, если в произведении хотя бы один множитель делится на 2, то и все произведение делится на 2. По свойству 4 чтобы сумма делилась на 2, необходимо, чтобы каждое слагаемое делилось на 2. Отсюда следует, чтобы все число делилось на 2, необходимо, чтобы его последняя цифра делилась на 2.

2.      Число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3.

Доказательство. Рассмотрим число . =10ⁿa_n+...10а₁+а₀. Представим 10=9+1, 100=99+1 и т.д. Получим (99...9a_n+...+9а₁)+(a_n+...а₁+а₀). Вынесем в первой скобке 9. 9 делится на 3, значит по свойству делимости и произведение делится на 3, следовательно слагаемое (a_n+...а₁+а₀) должно делиться на 3.

3.      Число делится на 4(4=2²), если последние две его цифры составляют число, которое делится на 4.

Доказательство аналогично доказательству деления на 2.

4.      Число делится на 5, если последняя цифра числа — 0 или 5.

Доказательство аналогично доказательству деления на 2.

5.      Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

6.      Число делится на 8(8=2³), если последние три его цифры составляют число, которое делится на 8.

Доказательство аналогично доказательству деления на 2

7.      Число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9.

Доказательство аналогично доказательству деления на 3.

8.      Число делится на 10, если последняя цифра числа равна 0.

Доказательство аналогично доказательству деления на 2.

Признаки делимости по сумме граней

Двузначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на двузначные числа.

Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа.

9.      Число делится на 11 если

а) знакочередующаяся сумма цифр числа делится на 11.

Для доказательства 10 на четных местах представляем как 11-1, а на нечетных — как 9+1.  (11а₁+99а₂+1001а₃+...)+(а₀-а₁+а₂-а₃+...)

б) Сумма двухзначных граней делится на 11.

Доказательство. =+100+...=(99+999+...)+(++...). В левой скобке все числа делятся на 11, поэтому число  делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его двузначных граней делится на 11.

10.  Число делится на 37, если сумма его трехзначных граней делится на 37.

11.  Число делится на 7,11,13, если знакочередующаяся сумма трёхзначных граней делится на 7, 11, 13.

Источники:

Колесник М.А. Теория чисел. https://4ege.ru/matematika/56198-teoriya-chisel.html

Понятие делимости и ее свойства. https://100urokov.ru/predmety/urok-2-delimost

Признаки делимости чисел. https://umath.ru/theory/priznaki-delimosti-chisel/