Статья по геометрии на тему "Открытие Лобачевского".

Открытие Лобачевского

Учитель математики

ОБОУ ЦДО «Новые технологии»

Носикова О.В.

Ученый должен идти по непроторенным

путям, несмотря на препятствия

Н.И.Лобачевский

            Проблема пятого постулата, связанная с теорией параллельных линий, стала центральной проблемой обоснования геометрии. Во Франции  проблема постулата Евклида рассматривалась как проблема методики (Лежандр), геометры Германии связывали ее с вопросами методологии, или по выражению Гаусса «метафизики пространства».

            Вопрос о происхождении геометрических истин был одним из центральных вопросов теории познания Канта. Утверждая, что основные положения геометрии имеют априорное происхождение, Кант считал что постулаты должны обладать признаку самоочевидности. С этой точки зрения проблема пятого постулата вставала с новой остротой. Только этот постулат не обладал самоочевидностью. Возможность его доказательства представлялась равносильной возможности априорного обоснования всей геометрии. Гаусс именно так ставит вопрос . Сомнения в доказательстве этого постулата Гаусс  распространяет на возможность априорного обоснования геометрии.

            Гаусс утверждает, что геометрия, основанная не предположении, противоречащем постулату Евклида, совершенно последовательна. Гаусс знал, что при переходе к новой геометрии определение параллельных линий, принятое в обычной геометрии, нужно заменить более сложным, но зато не зависящим от  пятого постулата Евклида. Ему было известно, что в неевклидовой геометрии сумма углов треугольника отличается от 180 градусов и что мера этого различия пропорциональна площади треугольника. Вследствие этого не существует подобных треугольников, но зато существует абсолютная мера длины. Он владел основными формулами гиперболической тригонометрии. В течение своей жизни Гаусс не публиковал своих исследований по невклидовой геометрии, и не отозвался публично о работах Больаи и Лобачевского. Считается, что он опасался встретить непонимание современников.

            Это не волновало гениального творца неевклидовой геометрии  Николая Ивановича Лобачевского, который говорил, что основания математики  «должны быть несомнительные для нас истины, первые понятия о природе вещей, которые, будучи раз приобретены, сохраняются навсегда...». Он уточняет, что источником приобретения понятия является опыт.

            Все понятия должны логически вытекать из простых понятий. Исходя из этих принципов, он предлагает считать основным объектом геометрии тело, а основным отношением между телами — их прикосновение. Все остальные объекты (поверхность, линия, точка и т. д.) должны быть определены через эти понятия.

            Эту точку зрения Лобачевский изложил в сочинении «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных».

            По его мнению, пятый постулат говорит о сложных, составных понятиях и не вытекает прямо из непосредственно наблюдаемых свойство геометрических тел.

            В соответствии со сложной природой пятого постулата его проверка должна опираться на сложный эксперимент, требующей математической базы, которая не может основываться на постулате Евклида, она должна быть геометрией, отличной от геометрии Евклида, и такую геометрию и разработал Лобачевский.

            Он исходит из того, что угол параллелизма не является прямым, как в геометрии Евклида, а представляет собой функцию соответствующего отрезка. Лобачевский показывает, что для треугольников, длина стороны которых по сравнению с радиусом кривизны пространства, приближенно справедливы формулы евклидовой геометрии, это позволяет ему впоследствии говорить, что «воображаемая Геометрия обнимает употребительную Геометрию как частный случай, к которому переходим, принимая линии бесконечно малыми».Чем больше размеры фигур, тем больше свойства фигур геометрии Евклида отличаются от «воображаемой геометрии» Лобачевского.

            Будучи несомненно уверенным в логической безукоризненности своей геометрии, Лобачевский, тем не менее, ставит вопрос о доказательстве ее непротиворечивости во всех своих работах и в особенности в сочинении «Воображаемая геометрия». Одновременно с этим, он строит  аналитическую и дифференциальную геометрию своего пространства и вычисляет длины дуг, площади поверхности и объемы. Сравнивая выражения этих величин, он получает многочисленные соотношения между определенными интегралами. Проверяя эти соотношения аналитически, Лобачевский находит, таким образом, новые подтверждения непротиворечивости своей системы.

            Параллельно с Гауссом и Лобачевским к открытию неевклидовой геометрии пришел венгерский ученый Янош Больаи. Эти открытия не получили признания при  жизни Лобачевского и Больаи.

ЛИТЕРАТУРА:

Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике/ сост.Г.Д.Глейзер. - М.: Изд-во УРАО, 2001. -384 с.

А.П.Норден «Открытие Лобачевского и его место в истории новой геометрии»