Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Статья по математике "Чудесный треугольник Блеза Паскаля"

Статья по математике "Чудесный треугольник Блеза Паскаля"



Внимание! Сегодня последний день приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Чудесный треугольник Блеза Паскаля

Все узнают о треугольнике Паскаля в юности. Но, видимо, узнают не все чудеса, которые содержит треугольник. В самом деле, мы до сих пор открываем новые вещи!

Строится треугольник довольно легко: по внешним краям нужно поставить единицы, а каждое число внутри равно сумме двух чисел, которые стоят над ним. Так, третье число в шестой строке равно hello_html_m3030531e.png, потому что это сумма чисел hello_html_30b1e6fc.png и hello_html_6deef086.png.

Внимание! На самом деле мы будем говорить, что hello_html_m3030531e.png является вторым числом в пятой строке. По причинам, которые скоро станут ясны, мы начинаем нумеровать строки и столбцы треугольника с нуля. Например, второе число в четвертой строке равно hello_html_6deef086.png.

Зная правило сложения, можно продолжать бесконечно: вы можете написать столько строк, сколько позволит ваше терпение.

hello_html_595b554b.png

Первые 10 строк треугольника Паскаля

Паскаль ввел свой треугольник в 1653 г. в Traité du triangle arithmétique как часть задачи исследования вероятностей и для вычислений. Задачи были примерно такие: “Если я хочу выбрать двух человек из четырех данных, сколько существует возможных пар?’’ или “Какова вероятность выпадения фулл-хауса (примеч. в покере три карты одного достоинства и две другого), когда раздается по пять карт из колоды, которая хорошо перемешана?’’ Паскаль и Ферма в основном обсуждали вероятность в письмах, которыми они обменивались в то время. Вы можете увидеть исходный треугольник Паскаля здесь.

Каким образом треугольник связан с вероятностью? Ну, если вы хотите выбрать hello_html_m5315909c.png объектов из hello_html_724194c6.png данных, то количество возможных вариантов выбора равно hello_html_m5315909c.png-му числу в hello_html_724194c6.png-й строке треугольника. Помните, что номера строк и чисел в строках треугольника начинаются с нуля! Используя это правило, мы видим, что существует ровно hello_html_6deef086.png способов выбрать двух человек из четырех данных. И так hello_html_27497899.png — третье число в девятой строке треугольника, то существует hello_html_27497899.png способа выбрать трех человек из девяти данных. Научившись вычислять это, вы сделаете маленький шаг к вычислению всевозможных вероятностей.

На первый взгляд, кажется довольно непонятным, почему треугольник дает правильный ответ на этот вопрос. Может также показаться странным, что мы должны всегда начинать с нуля, чтобы заставить его работать. Чтобы увидеть, что все это совершенно верно, мы сделаем два замечания.

Во-первых, если у вас есть группа объектов, каким количеством способов вы можете выбрать нуль объектов из них? Есть ровно один способ выбрать нуль объектов, а именно: просто заявив, что вы не берете ни одного из них. Кроме того, у вас есть только один способ выбрать все объекты. И это как раз соответствует единицам на двух концах каждой строки.

hello_html_694bb831.png

Блез Паскаль

Во-вторых, если мы хотим выбрать hello_html_m5315909c.png предметов из данных hello_html_724194c6.png, мы замечаем, что есть два взаимоисключающих сценария: либо наш любимый предмет является одним из выбранных, либо это не так. Если мы выбираем его, то мы должны также выбрать hello_html_76400d4a.png предмет из оставшихся hello_html_m61ca24f6.png предметов, чтобы выбрать ровно hello_html_m5315909c.png предметов. Если мы не выбираем данный предмет, то мы должны выбрать все hello_html_m5315909c.png предметов из данных hello_html_m61ca24f6.png предмета, оставшихся после исключения нашего любимого предмета. Так как это взаимоисключающие возможности, чтобы получить общее количество вариантов выбора, мы должны сложить количества вариантов в каждом сценарии.

Короче говоря, чтобы получить число способов выбора hello_html_m5315909c.png объектов из данных hello_html_724194c6.png, мы должны сложить количество способов выбрать hello_html_76400d4a.png объект из hello_html_m61ca24f6.png, и число способов выбрать hello_html_m5315909c.png объектов из hello_html_m61ca24f6.png. Но это именно и есть правило сложения для треугольника Паскаля!

Мы уже знаем, что треугольник полностью определяется расположением единиц по его сторонам и правилом сложения. Так как эти свойства применимы также к ответу на вопрос о количестве вариантов выбора объектов, треугольник должен и здесь давать правильный ответ.

Возможность сделать такие расчеты неоценима во множестве случаев. Поэтому мало удивляет, что Паскаль не был первым. Данные числа были рассмотрены индийскими, китайскими и иранскими математиками в разное время, начиная с момента более чем тысячелетней давности. И, конечно, все узнают треугольник Яна Хуэя, 1303 г.:

hello_html_m1b832117.png

Забавно, даже не будучи в состоянии различить числа, вы можете найти опечатку в этом треугольнике, которому больше 700 лет! Подсказка: правило сложения делает треугольник Паскаля симметричным относительно вертикальной прямой, проходящей через его вершину. Если вы посмотрите внимательно, в треугольнике Ян Хуэя эта симметрия в одном месте нарушается.

В треугольнике много чудесного. Где же чудеса? Некоторые из них легко заметить. Если вы сложите числа в hello_html_724194c6.png-й строке треугольника, вы всегда получите hello_html_m115e2e1b.png в степени hello_html_724194c6.png (например, hello_html_3aae44d2.png). Для нас это довольно скучно.

Несколько более интересным является тот факт, что если вы сложите числа, стоящие в треугольнике по диагоналям, получится последовательность чисел Фибоначчи. А последовательность чисел Фибоначчи сама содержит множество сюрпризов.

hello_html_m6bb81e5a.png

Недавно нечто удивительное и новое было обнаружено в треугольнике Паскаля. Как мы видели, если сложить числа, стоящие в строке треугольника, происходит что-то интересное. Этот факт о суммах так же стар, как и сам треугольник. Однако до 2012 г., до Харлана Бразерса, никто не пытался выяснить, что произойдет, если перемножить числа в каждой строке.

Давайте обозначим через hello_html_f9c6200.png произведение чисел в hello_html_724194c6.png-й строке треугольника. Так, hello_html_m70ebeace.png, и так далее. Числа, которые получаются, кажется, не имеют каких-либо явных чудесных свойств. У Бразерса возникла идея посмотреть, что произойдет, если вы разделить эти произведения, вычисленные для рядом стоящих строк. Точнее, для hello_html_19f94d01.png он нашел числа hello_html_75db8b6a.png, получающиеся по следующей формуле:

hello_html_772897f8.png.

Т. е. для каждой строки он рассмотрел дробь, числитель которой равен произведению всех чисел в строке, стоящей под ней, и в строке, стоящей над ней, а знаменатель — произведению всех чисел в данной строке в квадрате.

И вот удивительная вещь: когда hello_html_724194c6.png становится все больше, это отношение становится все ближе к числу hello_html_5c290c50.png! Помните, hello_html_5c290c50.png — это десятичное число с бесконечным числом цифр, приближенно равное hello_html_m61dc0938.png. Оно появляется при капитализации процентов, модели роста численности населения и других ситуациях с экспоненциальным ростом. Удивительно, что это число может быть таким довольно простым способом найдено в треугольнике Паскаля. Так как вы знаете, что нужно искать hello_html_5c290c50.png, несложно понять, что рассмотренное отношение действительно становится все ближе к hello_html_5c290c50.png с ростом hello_html_724194c6.png. Как вы можете видеть здесь, для вычислений требуется всего лишь немного алгебры.

Вот такая симпатичная анимация Ричарда Грина наглядно показывает результат Харлана Бразерса:

hello_html_m6c2fb87e.png

Существует еще одно чудо в треугольнике, которое каждый должен знать. Давайте каждое число в треугольнике покрасим в один из двух цветов, в зависимости от того, является оно четным или нечетным. Например, мы могли бы покрасить четные числа белым, а нечетные — синим. Если мы сделаем это для первых 500 строк треугольника, получим вот такую закономерность:

hello_html_m2700ef4a.png

Это известный фрактал, известный как треугольник Серпинского! Это приводит к разного рода вопросам. Число четное или нечетное, если оно при делении на hello_html_m115e2e1b.png дает остаток hello_html_m2d5f2d97.png или hello_html_m2d12a854.png соответственно. Что происходит, когда разделим на hello_html_7d523903.png? Остатки могут быть равны hello_html_3ce1f4ac.png или hello_html_44ae2e35.png. Что произойдет, если использовать восемь цветов и покрасить каждое число в соответствии с его остатком при делении на восемь? Для первых 500 строк треугольника получим прекрасную картину:

hello_html_m14ab7d3d.png

Существует забавное приложение, которое позволяет увидеть, что происходит, если менять число, на которое вы делите (также называемое модулем). Полезный совет: когда вы используете приложение, нажмите на маленький символ “плюс’’, чтобы использовать более детальную версию управления. В треугольнике Паскаля есть множество других удивительных вещей. Для начала, если вы заинтересовались этим, подойдет веб-сайт mathforum.org. Ну а более, скажем, эксцентричные, вещи, которые можно найти в треугольнике, имеются здесь.





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 04.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров28
Номер материала ДБ-176722
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх