Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Статья по математике на тему: "Алгебралық есептерді шешудің геометриялық әдістері"

Статья по математике на тему: "Алгебралық есептерді шешудің геометриялық әдістері"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m38166183.gifhello_html_14cf1ad1.gifhello_html_1e57bc19.gifhello_html_m4ac5d449.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_67756208.gifhello_html_m5daed579.gifhello_html_ddd01e4.gifhello_html_1be6d47c.gifhello_html_m38a5ef90.gifhello_html_m2c0e23b4.gifhello_html_266abcb3.gifhello_html_22b92ca.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_4c447aec.gifhello_html_4c447aec.gifhello_html_4c447aec.gifhello_html_4c447aec.gifhello_html_4c447aec.gifhello_html_4c447aec.gifhello_html_3cd95151.gifhello_html_250db16d.gifhello_html_m2dbeaf9b.gifhello_html_m456da30a.gifhello_html_35de182.gifhello_html_m7f30bf6e.gifhello_html_m4afd5879.gifhello_html_6eae6552.gifhello_html_3156aab7.gifhello_html_97186b8.gifhello_html_1a15291d.gifhello_html_79de4413.gifhello_html_68435692.gifhello_html_m35824a44.gifhello_html_5a210d86.gifhello_html_49696042.gifhello_html_m39175a84.gifhello_html_266e19fa.gifhello_html_m1b5053dd.gifhello_html_m68419bb7.gifhello_html_mc847691.gifhello_html_m55581714.gifhello_html_m6589135f.gifhello_html_m2825f828.gifАЛГЕБРАЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУДІҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ӘДІСТЕРІ

Астана қаласы, №25 орта мектебі математика пәнінің мұғалімі: Қабиден Г.Қ.


Көптеген математикалық тапсырмалардың бірнеше шығарылу жолдары бар. Тапсырмаларды шешудің ең тиімді жолдарын қарастыру математикалық дайындықтың шығар шыңы. Алгебралық тапсырмалардың шешімдерін табудың ең бір қажетті әдісі ол геометриялық түсіндірме әдісі. Немесе мұндай әдіспен шешілетін тапсырмаларды геометриялық алгебра деп атайды.

Математиканыоқытуда геометрия курсы үлкен орын алады. Математикаға бөлінген уақыттың 40%-ін геометрия алады. Геометрияны оқытудың басты мақсаттарының бірі — оның теориялық негіздерін білу және оларды практикада қолдану дағдыларын меңгерту. Сонымен қатар оқушының логикалық ойлауын, дәлелдеу қабілетін, талқылауларды себептеу, ойды дәл және анық тұжырымдай білу мәселелері де маңызды міндеттер болып табылады.

Геометрия — логикалық ойлауға, кеңісті қиялмен елестетуге деген мүмкіндіктерге байбірегей мектеп пәні. Ендеше неге бұл әлеуетті, ереже ретінде алгебра сабағында қолданбасқа? Алгебра мен геометрияны тұтас бір құрылым екенін есетен шығарып, үнемі оларды екі бөлек пән ретінде қарастырады.

Бұл жұмысқа мынадай мақсаттар қойылды: есепті геомериялық тұрғыдан шешуде зор мүмкіндік туғызу, нақты алгебралық мәселелерді геометриялық жолмен шешудің артықшылғын көрсету.

Зерттеу пәні: Есептерді шешудің геометриялық әдісі.

Зерттеу аймағы: Алгебралық тапсырмалар.

Зерттеу әдісі: Ұқсастық, қорыту, ғылыми әдебиеттерге анализ, .

Геометрия курсының көкейкесті мәселелері ол – бұл курстың мазмұнының ғылыми құндылығын, оқу материалдарының түсініктілігін арттыру, мазмұнды геометриялық есептердің ролін күшейту. Логикалы- математикалық жүйелі дағдыны қалыптастру үшін қазіргі кезде есептерді шығарудың тек бір қана әдісімен тоқталып қалу жеткіліксіз. Қосымша әдісретін де геометриялық емес есептерді геометиялық жолмен шығаруәдістерін пайдалануға болады. Геометрия курсы қандай жолмен құрылмасын онда міндетті түрде теоремаларды дәлелдеудің, есептерді шығарудың әртүрлі әдістері қарастырылады. Сонымен алгебра курсында қарастырылатын есептерді геометрялық жолмен шығарыруының түрлі тәсілдерін қарастырайық.

1.Теңдеулер жүйесін геометриялық әдіспен шешу:

Мысалы жоғары сынып алгебра пәнінде, мемлекеттік емтихан сұрақтарында мынада теңдеулер жүйесі жиі кездеседі.

Тапсырма 1. hello_html_m58498715.gif және hello_html_m5e0e9eed.gif оң сандары үшін hello_html_210a0812.gif hello_html_m58498715.gif және hello_html_m5e0e9eed.gif мәндерін таппай, hello_html_md801902.gif өрнектің мәнін есептеу.

Шешуі: Бұл есепті шығару үшін біз әрине бірден алгебралық шығару жолдарына жүгінеміз. Бірақ есептің шартында бізге берілгендей hello_html_m58498715.gif және hello_html_m5e0e9eed.gif мәндерін таппай hello_html_md801902.gif осы өрнекті орындау керек. Ал бұл мүмкін емес. Сондықтан біз берілген теңдеулерден жүйе құрамыз hello_html_22a57040.gif және осы жүйеден hello_html_m58498715.gif және hello_html_m5e0e9eed.gif мәндерін тауып соңынан hello_html_md801902.gif мына өрнектік мәнін есептейміз. Бұл әрине біріншіден ұзақ шығаруы және көп уақыт бөлуге мәжбүрлейді.

Осы жүйені hello_html_13435b94.gif Пифагор теоремасына кері теорема бойынша hello_html_m51b4ad80.gif және 5 сандары - АОС үшбұрышының катеттері мен гипотенузасының ұзындықтары. hello_html_m767b416d.gif. Ал hello_html_m468fe2ff.gif және 13 сандары - АОВ үшбұрышың қабырғаларының ұзындықтары. hello_html_605b103f.gif. Және hello_html_50412bc2.gif және 12 ВОС үшбұрышының қабырғаларының ұзындықтары және hello_html_22372de0.gif

А


hello_html_m24e95053.gif

13 О
х
hello_html_3227996e.gif

hello_html_m5cc62be7.gif

В С

12
hello_html_502fb8c3.gif, АВС үшбұрышы тікбұрышты үшбұрыш. hello_html_26e95339.gif

hello_html_mc18198f.gif

hello_html_70351fa0.gif

hello_html_m7e3939a8.gif

hello_html_m6a752a29.gif

hello_html_1795dbb1.gif

hello_html_4ae286b9.gif

hello_html_23666113.gif


hello_html_m1521196b.gif

Жауабы: 120.



2. Тригонометриялық есептерді шешу:

Көптеген тригонометриялық тапсырмаларды орындауда есептің шығарылуы не ұзаққа созылады не болмаса қиындықтар кездеседі. Ал геометриялық әдіспен шығару есепті біршама жеңілдетеді және есептің шығарылу жолы қысқаша әрі түсінікті болады. Тригонометриялық функцилар – ол белгілі геометриялық аппарат, сондықтан оларды да көрсету үшін қарапайым есептерден бастап көрсету керек.


Тапсырма 2. Тікбұрышты үшбұрышты қарастырайық.

Есептеңіз: hello_html_m7c718ebb.gif

Шешуі: Кері тригонометриялық функцияның барлық белгілері осы – оң сандар, І – ширекте, демек сүйір бұрыш. Сондықтан оны тікбұрышты үшбұрыш арқылы табуға болады.

hello_html_m1a154f87.gifтангенсі hello_html_6a1c94eb.gif – ге тең тікбұрышты үшбұрыштың бұрышы. Демек, сүйір бұрышқа қарсы жатқан катеттің, сол бұрышқа іргелес катетке қатынасы hello_html_6a1c94eb.gif. Пифагор теоремасы бойынша гипотенузасын табамыз.

hello_html_59e4fd5e.gif

2


3


hello_html_m739485f8.gif

hello_html_m5e7c9897.gif, a=2, b=3, hello_html_m75aa8ad8.gif

hello_html_78a1920a.gif, hello_html_m360f475f.gif hello_html_m38d6a7d8.gif


Жауабы: 6.


3.Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу:hello_html_1e4da703.png

hello_html_m37886d5e.gif.

Шешуі: hello_html_m113b6dc9.gif үшбұрышын қарастырайық, hello_html_m24fe9e95.gifAC=x, B=3,CD=1және D нүктесі hello_html_m113b6dc9.gif үшбұрышының ішкі облысында жатыр.

hello_html_m113b6dc9.gifүшбұрышы Пифагор теоремасы бойынша hello_html_m39d187c1.gif косинустар теоремасы бойынша hello_html_3a1bc52a.gif.

hello_html_m7844f8bb.gif, hello_html_m6d9cb2c8.gif (яғни егер hello_html_m21456a39.gif)

hello_html_252abbb1.gifүшбұрышынан косинустар теоремасы бойынша

hello_html_332c58d2.gif

Жауабы: hello_html_6f5e8cf4.gif


Тапсырма 3. Қозғалысқа берілген тапсырма.


Автобус А қаласынан В қаласына 40 км/сағ жылдамдықпен бет алды. Автобус 30 км жол жүргеннен кейін, А қаласынан 60 км/сағ жылдамдықпен шыққан автокөлік В қаласына hello_html_m1bcf515d.gifсағ автобустан кейін келді. Екі қаланың арақашықтығын тап.


S, км

B hello_html_m1bcf515d.gifc

M D





N


30км



А hello_html_m57c90caf.gif с С t, уақыт


АВ – автобустың қозғалыс графигі

СD – автокөліктің қозғалыс графигі


Шешуі: х км – екі қаланың арақашықтығын табу.

hello_html_m5ac4efd8.gif

hello_html_1655bf18.gif

hello_html_m44469728.gif

hello_html_mdfaab81.gif0


ҰЙҒАРЫМ:

Геометриялық әдіс дегеніміз – ол оқушыларға жақсы идея ұсынатын әдіс. Бұл жерде оқушылар геометриялық заңдар мен геометриялық фигуралардың қасиеттерін пайдалана отырып, есеп шығарудың жеңіл және қызық екенін айқындайды. Сонымен біз кейбір алгебралық есептерді геометиялық әдіспен шығарып мынадай тұжырымға келдік.

Алгебралық әдіс түрлері


Геометрялық фактылар

Модулмен берілген теңдеулер мен теңсіздіктер

Координаталық тәдіс

Екі айнымалысы бар теңсіздіктер жүйесі

Геометрялық модульдің мағынасы

Квадрат теңдеу мен теңсіздіктер

Косинустар теоремасы

Сызықты емес теңдеулер жүйесі

Тригонометрялық алмастырулар

Иррационалдық теңдеулер мен теңсіздіктер

Көрсеткіштік теңдеулер

Векторлардың скаляр көбейтіндісі

Тригонометриялық теудеулер

Тікбұрышты үшбұрыштың қасиеттері

Параметрлік теңдеулер

Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының синусы, косинусы және тангенсі

Функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін табу

Біз алгебралық есептерді геометриялық жолмен шығарудың мынадай алгоритмдерін ұсынамыз:

1) Геометриялық модель есептерін, геометриялық тілге аударамыз;

2) Геометриялық есепті шығарамыз;

3) Геометриялық тілде алынған жауапты, алгебралық тілмен берілген есепке қоямыз.


Есептердің геометриялық жолмен шығаудың артықшылықтары:

  • Есепті бұл жолмен шығару бастапқы іс – әрекетті нақты айқындайды;

  • Графиктік сурет - теңдеулерді құрастыруда, есептердің бірнеше шығару жолдарын қарастырғанда талдау жасауды жеңілдетеді;

  • Графиктерді қолдану аймағын кеңейтеді және оқушылардың графикті салу мәдениетін қалыптастырады;

  • Теңдеулерді шешудің жаңа технологиясын көрсетеді;

  • Пәндер ішіндегі (алгебра мен геометрия) байланыс және пәнаралық (математика және физика) байланысты көрсетеді.


ҚОРЫТЫНДЫ:

  1. Біз әр түрлі есептерді қарастыра отырып, оқушыларға бірнеше геометриялық әдістерді көрсетіп, есептерді шешуде алгебралық әдіс пен геометриялық әдісті салыстырдық;

  2. Жеңіл және көрнекті геометриялық әдіс пен тригонометриялық есептер шығады. Бұл әдіс есептің дұрыс шығарылу сапасын тексереді;

  3. Бұл жерде геометриялық әдіс оқушылардың ойлау қабілетін арттырады және уақытты үнемдей білуге үйретеді. Көбінесе жоғары сынып оқушылары пайдалануға ыңғайлы.


ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР:

  1. Куликова Л. В. ,Литвинова С. А., За страницами учебника математики, М. - Глобус, 2008.

  2. Киселева Ю. С., Методическое пособие по теме: Использование геометрических методов

при решении алгебраических задач.

  1. В.А. Филимонов, Геометрия помогает решить задачу – Математика в школе № 2-3, 1992

  2. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др., Алгебра и начало анализа: Учеб. Для 10-11 кл. образоват. учреждений ,– 10-е изд., дораб. – М.: Просвящение, 2002. – 384с.

6


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 03.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров229
Номер материала ДВ-409453
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх