Статья по математике на тему "Дидактическая цепочка"

Дидактическая цепочка –  это система последовательных заданий, направленных на изучение особенностей математического объекта и установление связей между ними.  Система заданий может  быть  предложена обучающимся в разных видах.

1) В виде  демонстрации или непосредственного поиска (что, безусловно, лучше) способов доказательства известного математического факта,  (пусть это будет теорема о свойстве биссектрисы угла треугольника).

2) В виде, организованного учителем, коллективного (или индивидуального, самостоятельного) поиска способов решения задачи разными способами (на так называемом уроке одной задачи).

3)  Учителем может быть предложена система задач, связанных одной идеей с нарастающим уровнем трудности, решение которых направлено на поиск особенностей, например, какой-либо геометрической фигуры.

Дидактические цепочки могут быть реализованы как на одном уроке, так и на нескольких уроках. Качество их построения (полнота, уровень сложности) и степень реализации зависят от профессионализма учителя и уровней обученности и обучаемости учеников.

В каждом из случаев их реализация направлена на развитие творческих cпособностей учащихся и формирование умений устанавливать и использовать внутрипредметные связи.

Рассмотрим пример одной из таких  дидактических цепочек.

1. Урок одной задачи. 11 класс. Тема: «Объём. Свойства объёмов».

Основание прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D  - прямоугольник ABCD, в котором BC = 4, AB = 6. Боковое ребро AA₁ равно 6. Через вершины B, C₁ и середину AA₁, точку K, проведена плоскость, пересекающая ребро A₁D₁ в точке L. Найдите объём пирамиды B₁BKLC₁.

Замечание 1. Данную задачу целесообразно рассматривать до знакомства  обучающихся с формулой объёма усечённой пирамиды и вывести обучающихся на вывод этой формулы посредством самостоятельного работы в спокойной домашней обстановке. Как способ (IV способ предполагает найти искомый объём в виде разности объёмов усечённой пирамиды KA₁LBB₁C₁ и треугольной пирамиды B₁KA₁L) решения его можно рассмотреть на одном из следующих уроков по обозначенной теме.

Замечание 2. Способ(V) решения, связанный с проведением высоты из вершины В₁, рассматривать на уроке нецелесообразно, можно лишь упомянуть о нём, в связи с его трудоёмкостью.

I способ связан с представлением объёма пирамиды B₁BKLC₁  в виде суммы объёмов двух треугольных пирамид(два случая).

Решение.  Соединим точки L и B. Тогда                    

                                                                                         

II способ основан на представлении объёма пирамиды B₁BKLC₁ в виде разности объёмов треугольных  пирамид (два варианта решения).

                                                                                                              Решение.

                                                                                    

                                                                                    

III способ решения основан на достраивании пирамиды B₁BKLC₁ до наклонной призмы  MNBLB₁C₁, объём которой в два раза больше объёма искомой пирамиды.

                                                                                             Решение.

                                                                           

Безусловно, у обучающихся в дальнейшем вызовут интерес задачи, связанные с определением расстояния вершин А₁ и В₁ данной призмы до плоскостей KB₁L и KBL соответственно.

      Интересно также, что объём пирамиды в четыре раза меньше объёма данной призмы!  

      Этот факт можно использовать для составления «новой» задачи!

Урок одной задачи.

Рассмотрим одну несложную, но любопытную задачу:    «»

Она предполагает разнообразные способы решения, применение которых позволяет не только формировать у учащихся  творческий подход к изучению математики, развивать у них исследовательские навыки,  демонстрировать значение  использования внутрипредметных связей при установлении зависимостей между математическими объектами, но и активно (!) готовиться к сдаче ЕГЭ.

Решение.

Первый способ.

Из условия вытекает, что

И нужно доказать, что Следующая цепочка верных неравенств приведет нас к желаемому результату:

  Требуемое доказано.

Второй способ.

Ясно, что

В силу соотношения между средним геометрическим и средним арифметическим двух неотрицательных чисел можно записать следующее:

 Прибавим к обеим частям верного неравенства  выражение  Получаем:

Но  поэтому

Третий способ.

Опираясь на соотношение между средним квадратичным и средним арифметическим двух положительных чисел, имеем:

 

Четвертый способ решения указывает на связь алгебры и тригонометрии.

Согласно условию можно допустить:   Решение

задачи свелось к доказательству истинности неравенства  

Очевидно, что

 И требуемое очевидно истинно.

Решение пятым способом основано на применении известного свойства скалярного произведения ненулевых векторов. (То есть где   - угол между векторами  и

Причем, ввиду того, что  

И равенство слева выполняется в случае, если векторы  и  противонаправлены, а справа -  если векторы  и  сонаправлены.)

Рассмотрим векторы  и  Тогда   и

 а 

И далее  то есть

Решим задачу шестым способом.

Рассмотрим  графическую интерпретацию задачи.

Для этого введем замену:  Тогда уравнение и неравенство будут выглядеть так:  и   Учитывая, что  построим их графики – отрезок с концами на координатных осях Ох и Оу в точках ,  и открытую область, ограниченную четвертью окружности

и положительными координатными полуосями.

Ясно, что эти графики касаются в точке  Все точки первого графика расположены в области, являющейся графиком неравенства

Следовательно, требуемое доказано.