Статья по математике на тему: "Магические квадраты"

План:

1. Введение.

2. История Магических квадратов.

3.  Типы Квадратов.

4. Вывод.

                                                                                                                                 1

Цель: Изучение свойств магического квадрата.

Задачи: Изучить свойства и принцип работы магического квадрата.

Древние предпочитали пользоваться числами, изображениями и мифологическими историями для защиты, суммирования и сохранения своих знаний, так как числа и рисунки преодолевают языковые барьеры, которые могут появиться в будущем. Магический квадрат 3- го порядка был известен ещё в Древнем Китае и Индии. Бенджамин Франклин строил магические квадраты  в 18 веке. Сегодня благодаря тому, что очень многие интересуются и исследуют магические квадраты, известны различные методы их построения в  зависимости от видов. Сегодня уже известно, что древние цивилизации Майя, перуанцы и египтяне шифровали свои сакральные знания через числа.    Принцип работы: в магическом квадрате сумма чисел в каждом ряду одинакова.  Бывают магические квадраты-головоломки, которые состоят из цифр и привязанных к ним картинок. Такой квадрат всегда отгадывает выбранную картинку.

Магический квадрат 1. Задумайте любое двухзначное число. 2. Вычтите из него составляющие его цифры (например, из числа 52 надо вычесть 5 и 2, получится 45). 3. Найдите это число в таблице и символ, которому оно соответствует. 4. Вообразите мысленно себе этот символ.

99  98  97  96  95  94  93  92  91  90  89  88  87  86  85  84  83  82  81  80  79  78  77  76  75  74  73  72  71  70  69  68  67  66  65  64  63  62  61  60  59  58  57  56  55  54  53  52  51  50  49  48  47  46  45  44  43  42  41  40  39  38  37  36  35  34  33  32  31  30  29  28  27  26  25  24  23  22  21  20  19  18  17  16  15  14  13  12  11  10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0 

Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица , заполненная  числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от  1 до 99 . Магические квадраты существуют для всех порядков , за исключением  квадрата состоящего  из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

2	7	6
9	5	1
4	3	8

18	13	14
11	15	19
16	17	12

12	42	36
44	30	6
24	18	48

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой.                                                                                                                         Исторически значимые магические квадраты                           

Квадрат Ло Шу.

Ло Шу единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое его изображение на черепаховом панцире датируется 2200 до н.э..

Квадрат Альбрехта Дюрера

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514).                  

Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»

4

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в  квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

 Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона – мл.

Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат – нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) – квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия

5            

Квадраты с дополнительными свойствами.

Дьявольский магический квадрат

Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях. Такие квадраты называются ещё пандиагональными. Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию — торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:

1	12	7	14
8	13	2	11
10	5	3	16
15	4	6	9

1	8	13	12
14	11	2	7
4	5	16	9
15	10	3	6

1	8	11	14
12	13	2	7
6	3	16	9
15	10	5	4

Однако было доказано что из последнего третьего варианта простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата. То есть третий вариант – это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные. Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n=4k+2 (k=1,2,3…).

6

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных пандиагональных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.  Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.

1	15	24	8	17
9	18	2	11	25
12	21	10	19	3
20	4	13	22	6
23	7	16	5	14

Разломанные диагонали пандиагонального квадрата.

Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный . Пример идеального магического квадрата.

21	32	70	26	28	69	22	36	65
40	81	2	39	77	7	44	73	6
62	10	51	58	18	47	57	14	52
66	23	34	71	19	33	67	27	29
4	45	74	3	41	79	8	37	78
53	55	15	49	63	11	48	59	16
30	68	25	35	64	24	31	72	20
76	9	38	75	5	43	80	1	42
17	46	60	13	54	56	12	50	61

7

У идеальных магических квадратов порядок n обязательно нечетный. Построение магических квадратов

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы.

Ещё проще построение выполнить следующим образом. Берётся матрица n x n . Внутри её строится ступенчатый ромб. В нём ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом нечётных чисел. Определяется значение центральной ячейки C. Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка C-1 ; ижняя левая ячейка C+1 ; нижняя правая ячейка C-n ; верхняя левая ячейка C+n. Заполнение пустых ячеек в ступенчатых угловых треугольниках ведётся с соблюдением простых правил: 1)по строкам числа слева направо увеличиваются с шагом n + 1; 2) по столбцам сверху вниз числа увеличиваются с шагом n-1.

Разработаны также четкие алгоритмы построения пандиагональных квадратов. Наиболее трудный случай, - пандиагональный и ассоциативный магический квадрат 9x9. На базе этих результатов появилась возможность строить идеальные магические квадраты для n = 9*(2k + 1) (k=0,1,2,3,…) . Пандиагональные квадраты четно-нечетного порядка удается скомпоновать лишь в том случае, если они нетрадиционные.

Примеры более сложных квадратов

Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности. Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее. Сказанное иллюстрируют следующие схемы:

                                                                                                                           8

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

100 11 30 61 60 50 31 71 81 10

99 89 22 39 52 42 62 72 19 9

93 88 78 33 48 53 63 28 18 3

7 84 77 67 44 54 37 27 14 94

5 16 75 66 56 46 36 25 85 95

6 15 26 65 55 45 35 76 86 96

4 17 74 64 47 57 34 24 87 97

8 83 73 38 43 58 68 23 13 98

92 82 29 32 49 59 69 79 12 2

91 20 21 40 51 41 70 80 90 1

Cуществуют несколько десятков других методов построения магических квадратов       

                                                                                                                              9                         

Шахматный подход. Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому неслучайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек.

                                                                                                                    10

Вывод:

С давних времён люди изучали  свойства магических квадратов, расширяя и углубляя знания  в области математики.  Изучение магических квадратов для человека имеет большое познавательное значение, так как благотворно влияет на развитие логического мышления и развитие интеллекта в целом, а также несут определённую информацию.

11

Используемая литература.

1.     Дорофеев Г.В. Математика. Просвещение, 2004 г.

2.     Гусев В.А. Внеклассная работа по математике. Просвещение, 1997.

3.     Кордемский Б.А. М., ГИФМЛ, 1958 г.

4.     Котрелл М. Хранители гробниц. Секретный код терракотовой армии. М., ЭКСМО, 2004 г.

5.     Калиниченко Н.М. М., Астрель, 2008 г.

6.     Матвиевская Г.И. Альбрехт Дюрер – учёный. М.. Наука, 1987 г.

12

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Абазинская средняя общеобразовательная школа № 5»

Магические квадраты

Выполнил: уч-ся 10 кл. Вольф А.

Руководитель: Алёнина Н.И.

2010-2011 г.