Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Статья по математике на тему "Скачок Виета"

Статья по математике на тему "Скачок Виета"



  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Скачок Виета

В математике скачок Виета, известный также как отражение корней, — метод доказательства, используемый в теории чисел. Он наиболее часто применяется для задач, в которых дано соотношение между двумя натуральными числами и требуется доказать некоторое утверждение, связанное с этими числами. Есть несколько методов скачков Виета, но все они связаны общей идеей бесконечного спуска, позволяющей находить новые решения уравнения с использованием формул Виета.

История метода

Скачок Виета — относительно новый метод в решении математических олимпиадных задач. Первая задача, для решения которой он был использован, — задача Международной олимпиады по математике (ММО) 1988 г., она считается самой сложной из задач этой олимпиады. Артур Энгель (немецкий учитель математики, автор множества учебников, книг и статей по математике) написал о сложности этой задачи:

Никто из шести членов австралийской Задачной комиссии не смог решить эту задачу. Двое из них — Дьёрдь Секереш и его жена, оба известные решатели и составители задач. Так как это была задача по теории чисел, она была отправлена четырем самым известным австралийским математикам — специалистам в этой области. Им было предложено работать над ней в течение шести часов. Ни один из них не смог решить ее за это время. Задачная комиссия представила ее в жюри XXIX ММО, отметив двумя звездочками. Это означало, что задача сверхсложная, возможно, слишком сложная для того, чтобы ее предлагать участникам олимпиады. После долгого обсуждения жюри все-таки отважилось предложить ее в качестве последней задачи на олимпиаде. Одиннадцать школьников представили ее точные решения”.

Среди одиннадцати школьников, получивших максимальное количество баллов за решение этой задачи, был будущий лауреат Филдсовской премии Нго Бао Тяу.

Стандартный скачок Виета

Стандартный скачок Виета предполагает доказательство от противного и состоит из следующих трех шагов:

1. Предполагается, что существуют числа, связанные данным соотношением, но не удовлетворяющие утверждению, которое нужно доказать.

2. Берется минимальное по отношению к некоторой функции hello_html_47813802.png и hello_html_26a6cb3d.png (обычно hello_html_m349123b6.png) решение hello_html_4e244175.png. Затем исходная связь преобразуется в квадратное уравнение с коэффициентами, зависящими от hello_html_26a6cb3d.png, один из корней которого равен hello_html_47813802.png. Используются формулы Виета для нахождения второго корня уравнения.

3. Показывается, что второй корень образует решение, которое подходит и доставляет меньшее значение нашей предварительно введенной функции. Таким образом, опровержение минимальности значения функции на данном решении противоречит существованию решения, для которого утверждение ложно.

Пример (ММО 1988, задача 6). Пусть hello_html_47813802.png и hello_html_26a6cb3d.png — натуральные числа такие, что hello_html_m98c0f78.png делится на hello_html_353da891.png. Докажите, что hello_html_2485a08d.png является полным квадратом.

1. Пусть hello_html_5a13a076.png. Предположим, что существуют одно или несколько решений данного уравнения, для которых hello_html_m5315909c.png не является полным квадратом.

2. Для данного значения hello_html_m5315909c.png, пусть hello_html_m413177f0.png — решение этого уравнения, которое минимизирует значение функции hello_html_54d0fc3f.png и не умаляя общности hello_html_731e9f4e.png. Мы можем переписать уравнение и заменить hello_html_288fe7a5.png переменной hello_html_6c55ff49.png, что даст hello_html_68653b91.png. Один корень этого уравнения hello_html_712f9940.png. По формулам Виета, другой корень можно записать следующим образом: hello_html_60ce0b5c.png.

3. Первое уравнение показывает, что hello_html_m434bf6b2.png целое число, а второе — что оно отлично от нуля (если hello_html_5d6c836.png, то hello_html_b8241a4.png, но мы предположили, что это не полный квадрат). Кроме того, hello_html_m434bf6b2.png не может быть меньше нуля, потому что это означало бы, что hello_html_m586d08dd.png. Действительно, hello_html_m720af7f9.png, где hello_html_3ae245ee.png (по условию hello_html_328c543e.png — натуральное число), следовательно, hello_html_m48eb79dc.png. Наконец, из hello_html_731e9f4e.png следует, что hello_html_478c5dbf.png, откуда hello_html_55e1e011.png, что противоречит минимальности hello_html_m413177f0.png.

Постоянный убывающий скачок Виета

Метод постоянного убывающего скачка Виета используется, когда мы хотим доказать некоторое утверждение о константе hello_html_m5315909c.png, имея некоторое соотношение между hello_html_47813802.png и hello_html_26a6cb3d.png. В отличие от стандартного скачка Виета, убывающий скачок не является доказательством от противного и состоит из следующих четырех этапов:

1.Случай равенства доказан, так что можно считать, что hello_html_m29c66049.png.

2. hello_html_26a6cb3d.png и hello_html_m5315909c.png фиксированы, и выражение, связывающее hello_html_4fbb6ed0.png и hello_html_m5315909c.png переписывается, чтобы получилось квадратное уравнение с коэффициентами, зависящими от hello_html_26a6cb3d.png и hello_html_m5315909c.png, один из корней которого равен hello_html_47813802.png. Второй корень hello_html_m434bf6b2.png находится по формулам Виета.

3. Доказывается, что для всех определенных выше исходных hello_html_4e244175.png имеем hello_html_5fba435f.png, и число hello_html_m434bf6b2.png целое. Таким образом, мы можем заменить hello_html_4e244175.png на hello_html_m19e1e688.png и повторить этот процесс, пока не дойдем до случая равенства hello_html_47813802.png и hello_html_26a6cb3d.png. Утверждение доказано для равенства, а hello_html_m5315909c.png в ходе этого процесса не изменялось. Этого достаточно, чтобы доказать утверждение для всех упорядоченных пар.

Пример. Пусть hello_html_47813802.png и hello_html_26a6cb3d.png — натуральные числа, такие, что hello_html_151282c7.png делится на hello_html_236c9872.png. Докажите, что hello_html_5f58f5ba.png.

1. Если hello_html_54ca16d3.png, hello_html_6d039b29.png должно делиться на hello_html_m19fc94b8.png и, таким образом, hello_html_3cf88687.png и hello_html_253c2a70.png.

2. Пусть hello_html_6d04ab10.png. Пусть hello_html_m29c66049.png без ограничения общности. Пусть hello_html_m748d8b86.png. Преобразовываем и заменяем hello_html_47813802.png на hello_html_6c55ff49.png, получаем hello_html_m39b2a89.png. Один корень этого уравнения hello_html_30e0ea3c.png, а второй по формулам Виета можно записать следующим образом: hello_html_6b68c655.png.

3. Первое уравнение показывает, что hello_html_m434bf6b2.png целое число, а второе — что оно положительно. Поскольку hello_html_m29c66049.png, hello_html_6368e690.png.

4. Равенство мы имеем, когда hello_html_48c9e248.png. Чтобы выполнялось данное условие, hello_html_5283aadf.png должно делиться на hello_html_47813802.png, откуда hello_html_47813802.png равно hello_html_m2d12a854.png или hello_html_m115e2e1b.png. Первый случай исключается, так как hello_html_6d04ab10.png. Во втором случае hello_html_66a76cd9.png. Так как hello_html_m5315909c.png не изменилось на протяжении всего этого процесса, этого достаточно, чтобы показать, что оно всегда будет равно hello_html_m623f33f.png.

Геометрическая интерпретация

Геометрическая интерпретация скачка Виета может быть описана в терминах узлов решетки на гиперболе в первом квадранте. Этот же процесс поиска меньших корней используется вместо нахождения более низких узлов целочисленной решетки на гиперболе в первом квадранте. Процедура выглядит следующим образом:

1. Из данного условия получаем уравнение семейства гипербол, которое не изменяется при перемене местами hello_html_6c55ff49.png и hello_html_1d127084.png, так что гиперболы симметричны относительно прямой hello_html_m41814a63.png.

2. Докажем требуемое для точек пересечений гипербол и прямой hello_html_m41814a63.png.

3. Предположим, что hello_html_m4e6500a0.png — некоторый узел решетки на какой-то гиперболе, причем hello_html_m3d0c9f69.png, не умаляя общности. Тогда по формулам Виета, найдется соответствующий узел решетки с той же координатой hello_html_6c55ff49.png на другой ветви гиперболы, а при отражении относительно прямой hello_html_m41814a63.pngполучается новая точка на исходной ветви гиперболы.

4. Докажем, что этот процесс дает более низкие точки на одной и той же ветви и может быть повторен до тех пор, пока не будет выполнено некоторое условие (например, hello_html_m248f757d.png). Затем подстановкой этого условия в уравнение гиперболы доказывается требуемое утверждение.

Пример. Этот метод может быть применен к задаче 6 ММО 1988: Пусть hello_html_47813802.png и hello_html_26a6cb3d.png — натуральные числа такие, что hello_html_m98c0f78.png делится на hello_html_353da891.png. Докажите, что hello_html_2485a08d.png является полным квадратом.

1. Пусть hello_html_m1b872a85.png, тогда мы имеем гиперболу hello_html_4eada80.png. Назовем эту гиперболу hello_html_mbc5bcd3.png.

2. Если hello_html_54ca16d3.png, находим hello_html_782e62d4.png.

3. Пусть точка hello_html_m4e6500a0.png — узел решетки на ветви hello_html_mbc5bcd3.png, и предположим, что hello_html_m3d0c9f69.png, так что эта точка находится на верхней ветви. Применяя формулы Виета, получим, что точка hello_html_1d5a225f.png является узлом решетки на нижней ветви. Затем, отображением получаем, что hello_html_55eea3d0.png —  узел решетки на исходной ветви. У этой новой точки вторая координата меньше, и, таким образом, она находится ниже первоначальной точки. Так как эта точка находится на верхней ветви, она все еще выше прямой hello_html_m41814a63.png.

4. Этот процесс может быть повторен. Из уравнения hello_html_mbc5bcd3.png следует, что не возможно путем выполнения данных операций попасть во второй квадрант. Таким образом, этот процесс должен заканчиваться тем, что hello_html_m248f757d.png, и подстановкой находим, что hello_html_7612294e.png.




Автор
Дата добавления 04.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров49
Номер материала ДБ-176714
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх