Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Статья по математике на тему "Теоремы о соотношении площадей в плоских геометрических фигурах"

Статья по математике на тему "Теоремы о соотношении площадей в плоских геометрических фигурах"



  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Теоремы о соотношении площадей в плоских геометрических фигурах

«Одна и та же формула может относиться к совершенно разным вещам».

(М. Уильямс)

Теорема

Площадь квадрата всегда в два раза больше площади равнобедренного прямоугольного треугольника, и наоборот, площадь равнобедренного прямоугольного треугольника всегда в два раза меньше площади квадрата.

Доказательство

Докажем, что площадь квадрата в два раза больше площади равнобедренного прямоугольного треугольника.

Рассмотрим квадрат hello_html_465e6414.gif

I:\DCIM\IMG_20150905_135929.jpg

Сторона hello_html_24c3aaa.gif Из точки hello_html_m702bf415.gif к точке hello_html_66e6724f.gif проведём диагональ. Получаем два равнобедренных прямоугольных треугольника, которые в сумме составляют квадрат. Это hello_html_5f2a4860.gif и hello_html_m781a23bb.gif По условию доказательства все четыре стороны квадрата hello_html_m57563b23.gif равны друг другу, значит, катет hello_html_2a0f3555.gif равен катету hello_html_2252cc00.gif а катет hello_html_2a5a91ce.gifравен катету hello_html_m4a73e878.gif

Предположим, что длина катета hello_html_m771df7b9.gif равна 4 см, значит, длина катета hello_html_2f7cd09d.gif также будет равна 4 см. Учитывая, что hello_html_5f2a4860.gif равен hello_html_2309c5cf.gif сразу по трём признакам можно сделать вывод, что катет hello_html_m410d9df1.gif

Таким образом, мы получаем квадрат, состоящий из двух равнобедренных прямоугольных треугольников, со сторонами 4 на 4 см. Воспользовавшись формулой для нахождения площади квадрата получаем

hello_html_m30a486d0.gif

подставим значения посчитаем

hello_html_4183740d.gif

Т. е. площадь квадрата равна hello_html_9bfa3b5.gif

Воспользовавшись формулой для нахождения площади треугольника получаем

hello_html_54fc73f6.gif

подставим значения посчитаем

hello_html_1cfa4949.gif

Т. е. площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна hello_html_6e755345.gif

Как видно из вычислений, площадь квадрата в два раза больше площади равнобедренного прямоугольного треугольника. Теорема доказана.

Теорема

Площадь прямоугольника всегда в два раза больше площади неравнобедренного прямоугольного треугольника, и наоборот, площадь неравнобедренного прямоугольного треугольника всегда в два раза меньше площади прямоугольника.

Доказательство

Докажем, что площадь прямоугольника в два раза больше площади неравнобедренного прямоугольного треугольника.

Рассмотрим прямоугольник hello_html_m498426e3.gif

I:\DCIM\IMG_20150905_140535.jpg

Сторона hello_html_31763488.gif а сторона hello_html_m3adb7536.gif Из точки hello_html_m702bf415.gif к точке hello_html_66e6724f.gif проведём диагональ. Получаем два неравнобедренных прямоугольных треугольника, которые в сумме составляют прямоугольник. Это hello_html_5f2a4860.gif и hello_html_m55cd9faa.gif По условию доказательства только две взаимно противолежащие стороны прямоугольника hello_html_m57563b23.gif равны друг другу, значит, катет hello_html_2a0f3555.gif не равен катету hello_html_2252cc00.gif а катет hello_html_1967a0aa.gif не равен катету hello_html_mc9704ad.gif

Предположим, что длина катета hello_html_m771df7b9.gif равна 3 см, а длина катета hello_html_2f7cd09d.gif равна 5 см. Учитывая, что hello_html_5f2a4860.gif равен hello_html_2309c5cf.gif сразу по трём признакам можно сделать вывод, что катет hello_html_92eb21a.gif а катет hello_html_m5b048f83.gif

Таким образом, мы получаем прямоугольник, состоящий из двух неравнобедренных прямоугольных треугольников, со сторонами 3 на 5 см. Воспользовавшись формулой нахождения площади прямоугольника получаем

hello_html_m5a99a40f.gif

подставим значения посчитаем

hello_html_m5584c46a.gif

Т. е. площадь прямоугольника равна hello_html_m3fdba505.gif

Воспользовавшись формулой для нахождения площади треугольника получаем

hello_html_54fc73f6.gif

подставим значения посчитаем

hello_html_m34a6c29d.gif

Т. е. площадь неравнобедренного прямоугольного треугольника равна hello_html_mc344429.gif

Как видно из вычислений, площадь прямоугольника в два раза больше площади неравнобедренного прямоугольного треугольника. Теорема доказана.

Прямая задача

Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если площадь квадрата равна 25 hello_html_m5df9e7d6.gif

I:\DCIM\IMG_20150905_195643.jpg

Решение

Формула нахождения площади равнобедренного прямоугольного треугольника через площадь квадрата:

hello_html_4b12217b.gif где

hello_html_m6c1d8a00.gifплощадь равнобедренного прямоугольного треугольника;

hello_html_m359a03de.gifплощадь квадрата.

hello_html_m44cdfd4b.gif



Прямая задача

Найдите площадь неравнобедренного прямоугольного треугольника, если площадь прямоугольника равна 15 hello_html_m5df9e7d6.gif

I:\DCIM\IMG_20150905_195707.jpg

Решение

Формула нахождения площади неравнобедренного прямоугольного треугольника через площадь прямоугольника:

hello_html_4b12217b.gifгде

hello_html_m6c1d8a00.gifплощадь неравнобедренного прямоугольного треугольника;

hello_html_m359a03de.gifплощадь прямоугольника.

hello_html_m1f6eb57b.gif

Обратная задача

Найдите площадь квадрата, если площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна 12,5 hello_html_m5df9e7d6.gif

I:\DCIM\IMG_20150905_195722.jpg

Решение

Формула нахождения площади квадрата через площадь равнобедренного прямоугольного треугольника:

hello_html_1134e3af.gifгде

hello_html_m359a03de.gifплощадь квадрата;

hello_html_m6c1d8a00.gifплощадь равнобедренного прямоугольного треугольника.

hello_html_70f84a09.gif

Обратная задача

Найдите площадь прямоугольника, если площадь неравнобедренного прямоугольного треугольника равна 7,5 hello_html_m5df9e7d6.gif

I:\DCIM\IMG_20150905_195734.jpg

Решение

Формула нахождения площади прямоугольника через площадь неравнобедренного прямоугольного треугольника:

hello_html_1134e3af.gifгде

hello_html_m359a03de.gifплощадь прямоугольника;

hello_html_m6c1d8a00.gifплощадь неравнобедренного прямоугольного треугольника.

hello_html_e7fa990.gif


Автор
Дата добавления 15.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров177
Номер материала ДA-046097
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх