Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Статья по математике на тему "УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛИ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОСИЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ"

Статья по математике на тему "УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛИ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОСИЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Уравнения, содержащие модули.

Использование равносильных преобразований

1.1. Уравнение вида hello_html_4917706d.gif

Рассмотрим простейшее уравнение вида:

hello_html_m3760eb58.gif где hello_html_7629d48c.gif число.

Если hello_html_4388e5e9.gif то решений нет.

Если hello_html_227826ff.gif то hello_html_m5f82d788.gif.

Если hello_html_m6afd5239.gif то hello_html_32d325bc.gif или hello_html_m520843d6.gif.

Примеры.

Решите уравнения:

а) hello_html_m62e2359b.gif

б) hello_html_m5e26838a.gif

в) hello_html_m5a002c1d.gif

г) hello_html_32a93f02.gif

д) hello_html_462cdacc.gif

е) hello_html_m3f927771.gif

ж) hello_html_4b558829.gif

Решение:

а) hello_html_15e04536.gif

hello_html_m76d14f7d.gif или hello_html_m66efac8e.gif.

б) hello_html_63552d20.gif

hello_html_mfb0d435.gif, то уравнение решений не имеет.

в) hello_html_312fbdac.gif

hello_html_27e6a458.gif

hello_html_m3622f51f.gif

hello_html_71fa972c.gif

hello_html_m2c611f37.gif

г) hello_html_50606b51.gif

hello_html_13e8bdbe.gif или hello_html_329eab60.gif



д) hello_html_m4f17a08b.gif

hello_html_m48e4fcbf.gif

hello_html_m3c0d3d2d.gif

hello_html_67d5a2d3.gif или hello_html_m5bae73eb.gif



е) hello_html_6aa753fc.gif

hello_html_m3f927771.gif

hello_html_m6a86bbd9.gif

hello_html_70cf5cf7.gif или hello_html_m311a473d.gif



ж) hello_html_m5eb05af9.gif

hello_html_381c82ad.gif

hello_html_m2f4bc0e3.gif

hello_html_586e8b9.gif нет решений.

Ответ: а) hello_html_m2f6e2453.gifhello_html_114eb080.gif

б) нет решений

в) 1,4

г) hello_html_63860926.gifhello_html_m45cecba2.gif

д) 2; 12

е) hello_html_108ceac2.gifhello_html_7e846f57.gif

ж) нет решений

1.2. Уравнение вида hello_html_m5de2ebc0.gif

hello_html_m21908b55.gif

Примеры.

Решите уравнения:

а) hello_html_72edd295.gif

б) hello_html_m164a5f94.gif

Решение:

а) hello_html_72edd295.gif

hello_html_450f068b.gif

hello_html_m6726137c.gif

hello_html_421a7b38.gif



б) hello_html_m164a5f94.gif

hello_html_m5a59fcbf.gif

hello_html_42972770.gif



hello_html_65139787.gif



hello_html_651b8226.gif или hello_html_30a64e9f.gif

hello_html_mdc2ce8d.gifhello_html_m1892df5d.gifhello_html_2d027dfe.gif

Ответ: а) hello_html_421a7b38.gif

б) hello_html_mdc2ce8d.gifhello_html_m1892df5d.gifhello_html_2d027dfe.gif.

1.3. Уравнение вида hello_html_5a676009.gif

hello_html_cc6b1bd.gif

Примеры.

Решите уравнения:

а) hello_html_m5cfbf743.gif

б) hello_html_566e186f.gif.

Решение:

а) hello_html_m5cfbf743.gif

Запишем уравнение в виде hello_html_m63ae4dd4.gif,

hello_html_107b4d6b.gif

Получили уравнение вида

hello_html_a27ef8a.gif

Оно равносильно неравенству:

hello_html_m38444bae.gif

hello_html_m33d34d1c.gif



Данное уравнение можно было бы решить иначе, используя свойство модуля: hello_html_m4882577b.gif

hello_html_7aa5d8a5.gif тогда уравнение примет вид:

hello_html_5c7a5230.gif

Получили уравнение вида hello_html_m5de2ebc0.gif

hello_html_2159e821.gif



б) hello_html_566e186f.gif

Уравнение равносильно неравенству

hello_html_181ef2af.gif



hello_html_6fd6aad.gif



hello_html_m11a09399.gifhello_html_63f50f58.gif

Ответ: а) hello_html_m69ec1778.gif

б) hello_html_m260840fd.gif

1.4. Уравнение вида hello_html_32333248.gif

Рассмотрим уравнение:

hello_html_2965346a.gif

Решение:

Большое количество ошибок при решении задач этого типа вызвано тем, что учащиеся, освобождаясь от модуля, забывают учесть условия, при которых модуль был раскрыт с тем или иным знаком.

Рассмотрим первый случай, когда hello_html_77b6f109.gif Тогда модуль в левой части уравнения раскрывается со знаком «+», то есть уравнение примет вид:

hello_html_m143d41eb.gif

Поскольку hello_html_4b4b557f.gif (верно), то значение hello_html_592ab0e5.gif является корнем данного уравнения.

Во втором случае hello_html_7347f88c.gif. Тогда модуль раскрывается со знаком «–», и исходное уравнение переписывается в виде:

hello_html_m54169f6a.gif

Поскольку значение hello_html_m21e826d8.gif не удовлетворяет условию hello_html_7347f88c.gif (8+2=10, 10<0 неверно), то оно не является корнем уравнения.

Ответ: hello_html_592ab0e5.gif.

Уравнение вида hello_html_m339ed78.gif можно решать двумя способами. Первый, стандартный, основан на раскрытии модуля, исходя из его определения, и заключается в переходе к совокупности (объединению) двух систем:

hello_html_m53431ef.gif

Именно этим способом был решен выше приведенный пример.

Второй способ состоит в переходе от исходного уравнения к равносильной системе:

hello_html_m796567eb.gif

Первый способ рациональнее применять в случае сложного выражения для функции hello_html_m258f6f02.gif и не очень сложного для функции hello_html_1bb8e2b9.gif Второй способ удобнее использовать, если выражение для функции hello_html_m258f6f02.gif не сложно.

Пример.

Решите уравнение:

hello_html_5fc11b1c.gif

Решение:

В нашем случае hello_html_m603c813b.gif

Выражение для функции hello_html_a761468.gif «проще», используем второй способ решения. Для этого запишем систему, равносильную исходному уравнению:

hello_html_m4bf010fa.gifhello_html_359d0872.gif

hello_html_2829eb7e.gif имеет корни hello_html_m6d3cd808.gifhello_html_m69204397.gif

Уравнение hello_html_4c0f95f5.gif решений не имеет.

hello_html_48818d2f.gif

Оба корня удовлетворяют неравенству hello_html_6a7eec72.gif

Ответ: hello_html_m2e1a4ffe.gifhello_html_3c327529.gif

Решив уравнение первым способом, можно убедиться, что в этом случае он менее рационален.

1.5. Уравнение вида hello_html_m676e3ea0.gif

hello_html_m5bc65adc.gif

Пример.

Решите уравнение:

hello_html_m67e57443.gif

Решение:

В нашем случае hello_html_70f16c84.gif

hello_html_m239a0fd4.gif

Тогда исходное уравнение будет равносильно системе:

hello_html_m6d2623c.gifhello_html_m51b82467.gifhello_html_m1c0dfc92.gifhello_html_295d6774.gif

Ответ: hello_html_295d6774.gif

1.6. Уравнение вида hello_html_m5acd3b2d.gif

hello_html_4d0b8a99.gif

Пример.

Решите уравнение:

hello_html_m17cb9ea0.gif

Решение:

Заметим, что hello_html_46c7ddf5.gif

Тогда уравнение будет равносильно системе:

hello_html_m5f12e767.gifhello_html_m2b46874b.gifhello_html_70699c1a.gif

hello_html_bf315b2.gif



Ответ: hello_html_2d027dfe.gif

1.7. Уравнение вида hello_html_m5f2de694.gif



hello_html_m76b07216.gif



Пример.

Решите уравнение:

hello_html_4f4703f.gif

Решение:

Так как hello_html_2fcae2e1.gifhello_html_7f16f236.gif при любых hello_html_2b8a2485.gif, то исходное уравнение равносильно системе

hello_html_m2a4307ea.gifhello_html_m49f237f.gif

hello_html_m4cd8016d.gif

Ответ: 2.



Полезно знать, что hello_html_7343f66.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m51f4e7f1.gif

Покажем, как можно решить уравнение hello_html_m7aab2907.gif Перейдем к равносильной системе уравнений:

hello_html_m452a0396.gifhello_html_2338ca59.gifhello_html_2cf7d715.gif

Ответ: 0.

1.8. Уравнение вида hello_html_m211aa9b2.gif

hello_html_463df115.gif.

Пример.

Решите уравнение:

hello_html_m64eaac08.gif

Решение:

В нашем случае hello_html_7aec1d60.gif

hello_html_4fd315c5.gif.

Уравнение будет равносильно неравенству:

hello_html_21c79adb.gif



hello_html_156d518f.gif

Ответ: hello_html_6e172934.gifhello_html_m1892df5d.gifhello_html_m328ec3ca.gif

1.9. Уравнение вида hello_html_5741bbc2.gif.

hello_html_m56071bf9.gif

Пример.

Решите уравнение:

hello_html_890bb20.gif

Решение:

hello_html_3290cff2.gif

Уравнение равносильно неравенству:

hello_html_m4253a936.gif

Разделим обе части неравенства на 6

hello_html_m5bad7da7.gif



hello_html_105187a3.gif

Ответ: hello_html_521bcebc.gifhello_html_m1892df5d.gifhello_html_m328ec3ca.gif

1.10. Уравнение вида hello_html_m4e5ce83a.gif.

Уравнение hello_html_m4e5ce83a.gif равносильно объединению уравнений:

hello_html_48beaee.gif

Примеры.

Решите уравнения:

а) hello_html_m98a3b61.gif

б) hello_html_m45990786.gif

Решение:

а) hello_html_m98a3b61.gif

hello_html_m64c8e2d1.gifhello_html_1a3800f3.gifhello_html_6c816271.gifhello_html_38552355.gif

б) hello_html_m45990786.gif

hello_html_m67afbd.gif

hello_html_m4609ee4.gifhello_html_m60dcf625.gif

Решим каждое уравнение совокупности:

Первое уравнение имеет корни hello_html_663c494d.gifhello_html_38cbb60.gif.

Для второго уравнения найдем дискриминант D=hello_html_57745dfc.gif

Его корни hello_html_m1a6b8605.gifhello_html_15a79d17.gif

Ответ: а) 0; 1

б) hello_html_m5b2ba7d1.gif 1; hello_html_m75d67502.gif 6


Краткое описание документа:

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа, как в области действительных чисел, так и в области комплексных чисел.

Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах.

Например, в механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие модуля числа содержится в определениях таких понятий, как предел, ограниченная функция и других.

Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы и в заданиях ЕГЭ.

В статье систематизированы подходы к решению задач с модулями, показаны алгоритмы решений уравнений , содержащих неизвестные под знаком абсолютной величины. Данный материал будет полезен учащимся, готовящимся к сдаче ЕГЭ по математике, а также может быть использовано учителями как содержательная часть элективного курса.

Автор
Дата добавления 14.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров234
Номер материала 280607
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх