Статья по математики на тему: "Развитие пространственного воображения на уроках математики"

Развитие пространственного воображения в пропедевтическом курсе математики.

Учитель математики Л.Р.Саморокова

Своеобразие геометрии, выделяющее ее среди других разделов математики, да и всех наук вообще, заключается в неразрывном органическом соединении живого воображения со строгой логикой. Геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой.

Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют эти два элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одной из двух сторон, нет и подлинной геометрии.

Наглядность, воображение принадлежат больше к искусству, строгая логика – привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины – “лед и пламень не столь различны меж собой”. Так геометрия соединяет в себе эти две противоположности. Так ее и надо изучать, соединяя живость воображения с логикой, наглядные картины со строгими формулировками и доказательствами.

Поэтому основное правило изучения геометрии состоит в том, что встречаясь с определением, теоремой или задачей, нужно, прежде всего, представить и понять их содержание: представить наглядно, нарисовать или, еще лучше, хотя и труднее, вообразить то, о чем идет речь, и одновременно понять, как это точно выражается.

Не секрет, что многие учащиеся не обладают достаточно развитым пространственным воображением. Проблема старая, но актуальная. Если учитель не решает ее еще тогда, когда ведет младшие и средние классы, то через несколько лет его уроки стереометрии с теми же учениками будут терять большую часть своей эффективности.

Все психологические процессы, в том числе и пространственное воображение, развивается и совершенствуется в результате деятельности. Эта деятельность должна чем-то стимулироваться и направляться, т.е. необходима система упражнений.

Познавательные возможности у детей младшего школьного возраста намного выше, чем обычно принято считать. Чтобы содействовать развитию таких возможностей на основе геометрического материала у школьников с учетом возрастных особенностей 11 – 13 лет необходимо формирование интереса к изучению геометрии; подготовка учащихся к изучению систематического курса геометрии; сохранение, закрепление и развитие пространственных представлений учащихся, а также, знакомство с геометрией как инструментом познания и преобразования окружающей действительности.

Разъединенность планиметрии и стереометрии – весьма вредная для дела особенность курса. У учащихся подавляется пространственное воображение. Последние издания учебника “Геометрия”, 10 – 11 классы авторов Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. пытаются сгладить переход от планиметрии к стереометрии, изображая объемные тела цветными, но при переходе учащихся от учебника к рабочим тетрадям эта попытка сходит на нет. Изображение фигуры в тетради становится бесцветным, и учащиеся испытывают затруднения в чтении и изображении таких рисунков. (Не заставлять же старшеклассников рисовать цветными карандашами!)

В поисках преодоления этого недостатка уместно обратиться к истокам геометрии. Первоначальные геометрические сведения, дошедшие до нас, содержатся в египетских папирусах и вавилонских клинописных таблицах, имеющих более чем четырехтысячелетнюю давность. Получение новых геометрических фактов при помощи рассуждений (доказательств) относится к VI в. до н.э. и связано с именем древнегреческого математика Фалеса, который впервые применил движения: перегибание чертежа, поворот части фигуры и т.д. Постепенно геометрия становится дедуктивной наукой, т.е. наукой, в которой подавляющее большинство фактов устанавливается путем вывода, доказательства. Вершиной древнегреческой геометрии была книга “Начала”, написанная Евклидом (III в. до н.э.), содержащая свойства параллелограммов и трапеций, подобие многоугольников, теорему Пифагора и т.д.

В нынешнем курсе представлен, лишь, евклидов этап истории геометрии, а доевклидов не рассматривается вовсе. Не отражено в нем-то время, когда ученые еще не владели методами строгих доказательств, но знали уже практически все, что входит в нынешнюю школьную геометрию. Почему бы ни познакомить учащихся перед систематическим курсом со всеми объектами изучения, используя для этого часть часов, отведенных на повторение изученного материала в 5 – 6 классах. Тогда в 7 классе можно четко поставить задачу – выстроить уже знакомый материал так, чтобы удалось доказать справедливость уже известных фактов и других, еще неизвестных. При такой постановке вопроса изживается догматизм, а те умения, которым удается сформировать в 5 – 6 классах, дальнейшее изучение геометрии дается легко.

Заметим, что для решения многих задач не надо специальных знаний, т. е. их можно предлагать учащимся уже в пятом классе.

Первую серию упражнений условно можно назвать “выходом в пространство”. Это устные задачи, в которых, казалось бы, ничего не сказано о пространстве.

Например:

1. Разделите круглый сыр тремя разрезами на восемь частей.

2. Из шести спичек сложите четыре правильных треугольника так, чтобы стороной каждого была целая спичка.

3. Расположите пять одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась четырех остальных.

4. Можно ли расположить шесть одинаковых карандашей так, чтобы каждый касался пяти остальных?

5. Арбуз разрезали на четыре части и съели. Получилось пять корок. Может ли быть такое?

6. Четыре страны имеют форму треугольников. Как расположены страны одна относительно другой, если у каждой из них есть общие границы с тремя другими? Нарисуйте.

7. Деревянный куб покрасили снаружи краской, каждое его ребро разделили на пять равных частей, после чего куб распилили так, что получились маленькие кубики, у которых ребро в пять раз меньше, чем у исходного кубика. Сколько получилось маленьких кубиков? У скольких кубиков окрашены три грани? Две грани? Только одна грань? Сколько осталось не окрашенных кубиков?

8. Сколько одинаковых квадратов надо взять, чтобы из них можно было сложить в два раза больший квадрат? Сколько одинаковых кубиков надо для составления в два раза большего куба?

9. Треугольник можно разделить на четыре равных треугольника. Как? Если от треугольной пирамиды отрезать четыре ее уголка, проводя разрезы через середины ребер, то будет ли оставшаяся часть также треугольной пирамидой?

10. На какое самое большое число частей можно разрезать блин тремя разрезами? Сколько частей может получиться при трех разрезах каравая?

Далее учащимся можно предложить более сложные упражнение, где работает не только пространственное воображение, но и первоначальные знания с начальной математики:

1.     Имеется куб со стороной 3 см. сколько надо сделать распилов, чтобы распилить его на кубики со стороной 1 см?

2.      Можно ли внутри равнобедренного треугольника поместить другой равнобедренный треугольник с такими же боковыми сторонами? А с большими?

3.      На сколько треугольников разбивается выпуклый шестиугольник отрезками, соединяющими какую-либо его вершину с остальными вершинами шестиугольника? А если взять произвольный n-угольник?

4.      Почему канализационные люки делают круглыми, а не квадратными?

5.      Расположите пять одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась четырех остальных.

6.      На столе один пятак лежит неподвижно, а другой катится вокруг первого, касаясь его. Сколько раз он обернется вокруг своего центра, прежде чем вернется в исходное положение?

7.      Вокруг небольшого курортного городка расположены три круглых не соединяющихся между собой озера: большое, средних размеров и маленькое. Отдыхающие, в каком бы направлении ни отправлялись на загородную прогулку, двигаясь по прямой, обязательно приходили к одному из озер. Может ли быть такое? Как расположены городок и озера?

8.      Хозяйка, приведя козу на пастбище, вбила два колышка на расстоянии 10 м один от другого, натянула между колышками веревку с кольцом так, что кольцо может скользить от колышка к колышку, а к кольцу веревкой длиной 5 м привязала козу. Нарисуйте фигуру, состоящую из точек, до которых может добраться коза.

9.      Сколько граней у шестигранного карандаша?

10.  Дан бумажный круг. Перегибанием бумаги найдите его центр.

11.  Сделайте в тетрадном листке разрез так, чтобы в образовавшуюся дыру мог бы пролезть человек.

А также, для решения данного вопроса, предлагается проведения внеклассных мероприятий, игр, на развитие пространственного воображение школьников.

Тем самым, ребятам будет легко и интересно заниматься геометрией в 7-11 классах.

Список литературы

1.     Александров А.Д. О геометрии // Математика в школе. 1980. №3. -С.56-62.

2.     Ананьев Б.Г., Рыбалко Е.Ф. Особенности восприятия пространства у детей. М.: Просвещение, 1964. - 304 с.

3.     Верченко С.Б. Развитие пространственных представлений учащихся при изучении геометрического материала в 4-5 классах: Дисс. . канд. пед. наук. Москва, 1983.-215 с.

4.     Шарыгин И.Ф., Ерганжиева JI.H. Наглядная геометрия: Учебное пособие для учащихся V-VI классов. М.: МИРОС, 1998. - 240 с.