Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Статьи / Статья по матиематике на тему Финансовая математика
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Статья по матиематике на тему Финансовая математика

библиотека
материалов





















Статья на тему «Финансовая математика»













Балашова Елена Владимировна

Учитель математики МБОУ Лицей №19



Содержание

  1. Введение……………………………………………………………………………….2

  2. Логика финансовых расчётов………………………………………………………...3

Предмет и метод курса «Финансовая математика»…………………………………_

Применение методов финансовой математики в практической работе……………_

Факторы, учитываемые в финансово-экономических расчетах……………………4

Фактор времени в рыночной экономике……………………………………………..5

Виды процентов………………………………………………………………………..5

3. Вычисления по простым процентам………………………………………………….7

Расчеты при начислении простых процентов………………………………………._

Математическое дисконтирование по простым процентам………………………..9

Наращение при дробном числе лет………………………………………………….10

Наращение процентов m раз в году………………………………………………….11

4. Финансовая эквивалентность обязательств…………………………………………12

Принцип финансовой эквивалентности обязательств…………………………….._

Эквивалентность процентных ставок………………………………………………._

5. Финансовые расчеты в страховании………………………………………………..14

Основные понятия и базовые принципы страхования…………………………….._

Финансовые потоки в страховании………………………………………………....15

Структура тарифной ставки…………………………………………………………_

Страхование жизни………………………………………………………………….._

Методы построения страховых тарифов……………………………………………16

Определение единовременной нетто-ставки по дожитию…………………………17

6. Приложение…………………………………………………………………………..18

7. Список литературы…………………………………………………………………..20














ВВЕДЕНИЕ


В коммерческих вузах и училищах в дореволюционной России курс Финансовая математика преподавали под названием Высшие финансовые вычисления. В условиях административно-командной экономики, эта научная дисциплина в значительной степени утратила актуальность. Однако со становлением рыночных отношений вновь появилась потребность в использовании количественных методов оценки финансовых операций.

Практическая необходимость в применении методов финансовой математики обусловлена переходом к экономическим методам управления, функционированием новых коммерческих структур, становлением рынка ценных бумаг, развитием банковского сектора, коренными изменениями условий проведения хозяйственных операций и т.д. В этих условиях управленческие решения нецелесообразно принимать лишь на интуитивной основе. Гораздо более качественные результаты могут быть достигнуты с помощью формализованных методов оценки, основанных на применении финансовой математики.

В настоящее время Финансовая математика является одним из наиболее динамично развивающихся разделов экономической науки, направленных на оптимизацию принимаемых решений при проведении финансовых и коммерческих операций. Любая такая операция предполагает согласование ее участниками целого ряда условий (параметров сделки): сумму кредита (займа, инвестиций), сроки, способы начисления процентов и погашения долга и т.д. При этом на результат финансовой операции в каждом случае оказывает влияние множество факторов, определяющих конъюнктуру финансового рынка. Без проведения количественного анализа затруднительно, а иногда и невозможно определить доходность той или иной финансовой операции и параметры финансовой сделки. Для решения этих и других задач служат методы финансовой математики.















ЛОГИКА ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ

Предмет и метод курса «Финансовая математика»


Финансовая математика – это наука, изучающая методы и методики определения стоимостных и временных параметров финансовых и инвестиционных операций, процессов и сделок, а также модели управления инвестициями, капиталом и его составляющими.

Объект финансовой математики – финансовые операции и сделки и их технико-экономическое обоснование, направленное на извлечение прибыли. Предмет – финансовые и актуарные оценки показателей эффективности этих операций и сделок, а также доходов отдельно взятых участников этих сделок, определяемых в виде процентных ставок, норм и коэффициентов, скидок, доходов и дивидендов, ренты и маржи, котировок ценных бумаг, курсов валют, курсовых разниц и пр.

В курсе финансовой математики систематически излагаются методы количественного анализа, используемые при принятии управленческих решений в финансовой сфере. Рассматриваются методы учета факторов времени, инфляции, оценки потоков платежей, операций с ценными бумагами и др.

Финансовая математика охватывает определенный круг методов вычислений, необходимость в которых возникает всякий раз, когда в условиях сделки или финансово-банковской операции оговариваются конкретные значения трех видов параметров:

1) стоимостные характеристики (размеры платежей, долговых обязательств, кредитов и т. д.);

2) временные данные (даты и сроки выплат, продолжительность льготных периодов, отсрочки платежей и т. д.);

3) процентные ставки (последние иногда задаются в открытой форме).


Применение методов финансовой математики

в практической работе


Методы финансовой математики используются в расчетах параметров, характеристик и свойств инвестиционных операций и стратегий, параметров государственных и негосударственных займов, ссуд, кредитов, в расчетах амортизации, страховых взносов и премий, пенсионных начислений и выплат, при составлении планов погашения долга, оценке прибыльности финансовых сделок.

Методы финансовой математики чаще всего применяются при решении следующих практических задач:

  1. исчисление конечных сумм денежных средств, находящихся во вкладах, займах, ценных бумагах путем начисления процентов;

  2. учет ценных бумаг;

  3. установление взаимосвязи между отдельными параметрами сделки и определение параметров сделки, исходя из заданных условий:

  4. определение эквивалентности параметров сделки для получения равной отдачи от затрат, произведенных различными способами;

  5. анализ последствий изменения условий финансовой операции;

  6. исчисление обобщающих характеристик и отдельных параметров денежных средств, рассматриваемых как финансовые потоки;

  7. разработка планов выполнения финансовых операций;

  8. расчет показателей доходности финансовых операций и др.

На практике методы финансовой математики применяют в работе финансовых организаций, торговых фирм и инвестиционных компаний, фондовых и валютных бирж.


Факторы, учитываемые в финансово-экономических расчетах


Финансовые процессы определяются многими факторами или параметрами, которые с достаточной долей условности можно отнести к двум типам: внутренним и внешним.

К внутренним факторам относятся те, которые определяют основные, существенные и непосредственные характеристики финансового процесса. К ним относятся, например, такие, как структура портфеля активов, участвующих в сделке, контрактные характеристики сделки, такие, как способ начисления процентов в кредитных сделках, выбранная схема погашения и т. п., а также факторы, определяющие начальные условия сделки: величину инвестируемого капитала, начальный момент инвестиций.

К внешним относятся факторы, определяющие рыночную среду, т.е. условия, в которых протекает финансовый процесс: такие, как фактор времени, текущие и будущие рыночные цены, инфляционные ожидания и др. Рассмотрим некоторые из них.

Инфляционные ожидания – существенный фактор, влияющий на уровень процентных ставок. Снижение покупательной способности денег за период кредитования приводит к уменьшению реального размера заемных средств, возвращаемых кредитору. Соответственно кредиторы пытаются компенсировать снижение реальных доходов за счет увеличения процентных ставок по активным операциям.

Конкуренция на рынке финансовых ресурсов также оказывает влияние на уровень банковских процентных ставок. Чем выше конкуренция среди заемщиков, тем выше процентные ставки по кредитам. Чем выше конкуренция среди кредиторов, тем они ниже.

Развитие рынка ценных бумаг выступает одним из факторов ценообразования на кредитном рынке. Организованный рынок государственных и корпоративных долговых обязательств является альтернативой прямому банковскому кредитованию, поэтому важнейшие параметры рынка ценных бумаг (доходность, объемы совершаемых операций, ожидания инвесторов, состояние инфраструктуры) и денежно-кредитного рынка находятся в прямой зависимости.

Открытость национальной экономики, международная миграция капиталов, обменный курс валют, состояние платежного баланса страны – факторы, также влияющие на национальную систему процентных ставок.

Фактор риска присущ практически любой финансовой сделке. С позиции макроэкономики риск зависит от экономической, политической и прочих составляющих и часто не поддается управлению.

Система налогообложения определяет размер чистой прибыли, остающейся в распоряжении налогоплательщика. Меняя ставки налогообложения, порядок взимания налогов, применяя систему льгот, государство стимулирует определенные экономические процессы. Этот порядок справедлив и для денежно-кредитного рынка. Например, инвестор может отдать предпочтение менее доходным государственным ценным бумагам, при наличии по ним определенных налоговых льгот.

Задание внутренних и внешних факторов финансового процесса полностью определяет его динамику. Так, задание схемы начисления процентов и процентной ставки полностью определяет процесс накопления денежной суммы вклада.

Внешние факторы, как правило, не поддаются управлению, однако при проведении финансово-экономических расчетов их необходимо учитывать. Это относится, прежде всего, к учету влияния инфляции, налоговой системы, финансовых рисков. Внутренние факторы могут рассматриваться двояко: как управляющие параметры, либо как параметры, значение которых необходимо определить в ходе выполнения расчетов.

Особую роль среди этих факторов играет фактор времени. В силу особой важности этого фактора, его влияние на финансовые процессы будет рассмотрена более подробно.


Фактор времени в рыночной экономике


В условиях рыночной экономики при проведении долгосрочных финансовых операций важную роль играет фактор времени. «Золотое» правило бизнеса гласит: «Денежная сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра». Поэтому в финансовых расчетах фактор времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм. Действительно, всегда найдутся организации и частные лица (заемщики), нуждающиеся в кредитах на тот или иной период и готовые платить за такой заем (ссуду). Таким образом, в большинстве случаев увеличение стоимости капитала происходит в результате предоставления его в долг и взимания процентной ставки.

Фактор времени в финансовой сфере учитывается с помощью процентной ставки. В узком смысле процентная ставка представляет собой цену, уплачиваемую за использование заемных денежных средств. Однако в финансовом менеджменте ее также часто используют в качестве измерителя уровня (нормы) доходности производимых операций, исчисляемого как отношение полученной прибыли к величине вложенных средств и выражаемого в долях единицы (десятичной дробью) или в процентах.

Виды процентов


Методы финансово-экономических расчетов различны в зависимости от вида применяемых процентов. Относительно момента выплаты или начисления дохода за пользование предоставленными денежными средствами проценты подразделяются на обычные (декурсивные) и авансовые (антисипативные).

Отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами начисления процентов или срок финансовой операции, если проценты начисляются один раз, называется периодом начисления процентов.

Обычные проценты начисляются в конце периода относительно исходной величины средств. Доход, определяемый обычным процентом, выплачивается в конце периодов финансовой операции. Такие проценты применяют в большинстве депозитных и кредитных операций, а также в страховании.

Авансовые (антисипативные) проценты начисляются в начале периода относительно конечной суммы денег. Доход, определяемый авансовым процентом, выплачивается в момент предоставления кредита. Такая форма расчетов называется авансовой или учетом. При этом базой расчета процентов служит сумма денег с процентами (сумма погашения долга). Исчисленные таким образом проценты взимаются вперед и являются авансом. Так рассчитывают проценты в некоторых видах кредитования, операциях с дисконтными ценными бумагами, в международных расчетах.

Рассмотренным двум видам процентов на практике соответствуют определенные процентные ставки. Это, во-первых, обычная ставка процентов - rote of interest () которая рассчитывается как отношение дохода, полученного за определенный период времени к величине капитала, предоставляемого в кредит. Во-вторых, учетная (антисипативная) ставка - discount rote (). Учетная ставка рассчитывается, как отношение дохода, полученного за определенный период времени к ожидаемой сумме погашения долга.

Простейшим видом финансовой операции является однократное предоставление в долг некоторой суммы с условием, что через n лет будет возвращена большая сумма . В этом случае обычная годовая ставка процентов рассчитывается по формуле (1), а учетная ставка — по формуле (2):

В экономической литературе первый показатель также называют «процентная ставка», «процент», «рост», «ставка процента», «норма прибыли», «доходность», а второй - «учетная ставка», «дисконт». Обе ставки взаимосвязаны, т.е. зная один из показателей, можно рассчитать другой по формулам (3) и (4) соответственно:

В зависимости от условий проведения финансовых операций, начисление процентов может осуществляться с применением простых, либо сложных процентов.

Простые проценты, как правило, используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года. Базой для исчисления процентов за каждый период в этом случае служит первоначальная (исходная) сумма сделки.

Сложные проценты широко применяются в долгосрочных финансовых операциях со сроком проведения более одного года. Однако могут быть использованы и в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями сделки. При этом база для начисления процентов меняется за счет присоединения ранее начисленных процентов, т.е. она включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов.

Практика расчетов процентов основывается на теории наращения денежных средств по арифметической или геометрической прогрессии. Арифметическая прогрессия соответствуют простым процентам, геометрическая - сложным.


Пример. Предприниматель получил на два года кредит в размере 100 тыс. руб. В конце срока он должен возвратить 140 тыс. руб. Определите годовые процентную и учетную ставки.


Решение:





ВЫЧИСЛЕНИЯ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТАМ


Расчеты при начислении простых процентов


Начисление простых процентов может происходить дискретно в зависимости от условий договора раз в год, полугодие, квартал или месяц. Иногда проценты начисляют и за более короткий срок.

Пусть задана исходная стоимость денег . Наращенную (будущую) сумму денег через определенный период обозначим через ;

Число процентных периодов, т.е. периодов начисления процентов - ;

Ставку процентов за период- .

Тогда простые обычные проценты за один процентный период начисляются следующим образом:

Следовательно, в конце первого процентного периода сумма денег составит .

В конце второго процентного периода сумма увеличится еще на и составит: .

В конце третьего - и т.д.

Наконец, в конце n-го процентного периода наращенная сумма составит: .

Таким образом, процесс наращения суммы денег за счет начисления простых процентов моделируется как арифметическая прогрессия с первым членом и разностью

Следовательно, наращенная сумма денег за счет начисления простых процентов за процентных периодов времени имеет вид:

Формулой (2.1) можно воспользоваться, например, для исчисления суммы погашения ссуды, предоставленной под простые проценты; размера срочного вклада с процентами и пр.

Множитель называется множителем наращения простых процентов. Он показывает, во сколько раз увеличилась сумма вклада (или долга) к концу срока финансовой операции.

Сумма начисленных процентных денег может быть определена по формуле: . Разность называется дисконтом.


Пример. Вклад 100 000 рублей размещен в сберегательный банк на 3 года под обычные простые проценты 4,5 % годовых. Определите наращенную сумму вклада.

Решение:

Найдем наращенную сумму вклада по формуле (5):


Наращение суммы вклада (процентные деньги) составит 13500 рублей.

В рассмотренном примере срок финансовой операции составляет 3 года. Однако, как правило, к наращению по простым процентам прибегают при выдаче краткосрочных ссуд, срок которых менее года (n<1). Рассмотрим более общий случай, когда n не является целым числом.

Отметим, что при использовании формулы (5) размерности n и ί должны быть согласованы. Если n измеряется в годах, то ί – ставка годовых процентов (показывает рост за год).

В случае если продолжительность финансовой операции не равна целому числу лет, периоды начисления процентов n выражают дробным числом, как отношение продолжительности финансовой сделки в днях к количеству дней в году (или отношение продолжительности финансовой сделки в месяцах к числу месяцев в году).

Обозначим срок операции (time), В качестве временной базы выберем продолжительность года, выраженную в тех же единицах, что и .Обозначим ее (year-год). Подставим отношение вместо в формулу (5), получим формулу (6)

Иногда при расчете простых процентов предполагают, что год состоит из 12 месяцев по 30 дней в каждом. Проценты, рассчитанные по временной базе Y=360 дней, называются обыкновенными или коммерческими процентами (ordinary interest). При использовании действительной продолжительности года (365 или 366 дней) получают точные проценты (exact interest).

Число дней финансовой операции также можно измерить приближенно и точно. В первом случае ее продолжительность определяется из условия, согласно которому месяц принимается равным 30 дням. Точное число дней финансовой операции определяется путем подсчета числа дней между датой ее начала и датой ее окончания по календарю. Первый и последний день финансовой операции считается за один день. На практике для подсчета ее продолжительности можно пользоваться табл. 1 и 2 (приложение 1). В таблицах приведены порядковые номера дней в году (для обычного и високосного годов соответственно). Срок проведения финансовой операции рассчитывается как разность между порядковыми номерами даты ее окончания и даты начала. Таким образом, на практике применяют три варианта расчетов:

  1. Точные проценты с точным числом дней ссуды.

Этот вариант дает самые точные результаты. Он обозначается 365/365.Он применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками, например в Великобритании.

  1. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды.

Этот метод, иногда называемый банковским (Bankers Rule), распространен в ссудных операциях коммерческих банков, в частности во Франции. Он обозначается как 365/360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов.

  1. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в практике коммерческих банков Германии. Этот метод обозначается как 360/360.

Вариант расчета с точными процентами и приближенным числом дней ссуды лишен смысла и не применяется.

Пример. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20 января до 5 октября включительно под 18 % годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока? Найти решение тремя способами.

Определим точное число дней ссуды. Дате 20 января соответствует № 20 (таблица 1 приложения 1). Дате 5 октября - № 278. Таким образом, точное число дней ссуды составит 258 дней (278 – 20).

Определим приближенное число дней ссуды. При этом продолжительность каждого месяца принимается за 30 дней. Количество полных месяцев срока ссуды равно 8 (с 20 января по 20 сентября). Срок от 20 сентября по 5 октября составляет 15 дней: (30-20)+5. Приближенное число дней ссуды рассчитывается таким образом: 8·30+15=240+15=255 дней.

Определим величину долга в конце срока тремя методами:

1.Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):


=

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360)

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)



Математическое дисконтирование по простым процентам


В финансовой практике часто приходится решать задачу, обратную вычислению наращенной суммы, которая может быть сформулирована таким образом: определить сумму , которую необходимо инвестировать в данный момент времени, с тем, чтобы через некоторый определенный период получить при установленной ставке процента требуемую наращенную сумму . Для решения этой задачи применяется операция дисконтирования.

Дисконтирование позволяет по известным наращенной сумме, процентной ставке и сроке финансовой операции определить современную стоимость этой наращенной суммы.

Другими словами дисконтирование позволяет определить, какую первоначальную сумму надо дать в долг, чтобы получить в конце срока сумму при условии, что на долг начисляются проценты по ставке .

В зависимости от вида процентной ставки применяются два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае при расчете применяют обычные (дискурсивные), а во втором – авансовые проценты.

Рассмотрим, как производится математическое дисконтирование.

Выразив из формулы , получим формулу математического дисконтирования:

hello_html_m71892618.gif,

Здесь - современная стоимость наращенной (будущей) суммы денег ; - срок проведения финансовой операции (число процентных периодов); - процентная ставка.

Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в его окончательной сумме .


Пример. Заемщик должен возвратить кредит единовременным платежом с процентами за период 2 года. Проценты по кредиту составили 12% годовых. Какую сумму получил заемщик в момент заключения кредитного договора и чему равен дисконт, если сумма к возврату составляет 1 500 000 рублей?

Решение: FV=1500 000 рублей; n=2 года; i= 0,12

,

.


В случае если срок финансовой операции задан в днях или в месяцах, из формулы

получим формулу математического дисконтирования для n<1:

,

где - длительность финансовой операции в днях (в месяцах); - число дней (месяцев в году).

Пример. Какую сумму инвестор должен внести сегодня под 16% годовых, чтобы через 180 дней после подписания договора накопить 310 тыс. руб. при условии, что начисляются простые точные проценты.

Решение: FV=310 000 рублей; t=180 дней; i=0,16; Y=365 дней.


Наращение при дробном числе лет


Наращение по сложной процентной ставке при дробном числе лет может производится двумя методами: точным и смешанным.

Точный метод. Формула наращения сложных процентов, выведенная для целых положительных n, может применяться и для нецелых .

Пример. 13 января в банк положили сумму 1000$, до востребования под ставку 6% годовых сложных процентов. Какую сумму снимет вкладчик 1сентября.

Решение:

13 января - № 13; 1 сентября - № 244.

Следовательно, t=244-13=231. PV=1000$; i=0,06.


Смешанный метод наращения по сложным процентам. Если начисление процентов происходит за период, превышающий один год, и при этом период финансовой операции, выраженный в годах, является дробным числом, то с точки зрения инвестора (кредитора) наибольший эффект может быть получен при начислении процентов по смешанной схеме начисления процентов.

Смешанный метод (смешанная схема) начисления процентов – это такой метод, который предусматривает использование на разных временных интервалах различных схем начисления процентов. Такой метод позволяет комбинировать простые и сложные проценты с целью получения наибольшего эффекта. Формула наращения при этом имеет вид:

hello_html_m4a1388d5.gif

где а - целое число лет;

b - дробная часть года.

Эту формулу, как правило, используют в реальной банковской практике для финансовых вычислений.

Пример. Кредит в размере 3 млн. руб. выдан на 3 года и 160 дней под 16,5% сложных годовых. Найти сумму долга на конец срока двумя методами.

1) Точный метод:

.

2) Смешанный метод:


Как видим, смешанный метод дает более высокий результат.


Наращение процентов m раз в году


Иногда в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, полугодие, квартал, месяц или другой период времени. В этом случае проценты начисляются раз в году. В контрактах, как правило, фиксируется не ставка за процентный период, а годовая ставка процентов, которая в этом случае называется номинальной.

Пусть годовая (номинальная) ставка равна i, срок финансовой операции n лет, а число периодов начисления процентов в году рано m. Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке , Количество начислений при этом составит: .

Формулу наращения в этом случае можно представить следующим образом:

,

где - номинальная годовая ставка;

-общее количество периодов начисления, .

Пример. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб. через пять лет при применении сложной ставки 15,5% годовых, если проценты начисляются ежеквартально?

Решение; PV= 100 000 рублей; n=5 лет; i= 0,155; m= 4.

.


ФИНАНСОВАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ


Принцип финансовой эквивалентности обязательств


В финансовой практике часто возникают ситуации, когда необходимо заменить одно обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один, изменить схему начисления процентов и т.п. В таких случаях возникает вопрос о том, на каких принципах должно основываться изменение контракта.

На практике в качестве такого принципа наиболее часто применяется принцип финансовой эквивалентности обязательств, позволяющий сохранить баланс интересов сторон контракта. Этот принцип предполагает неизменность финансовых отношений до и после изменения условий контракта. Так, при изменении способов начисления процентов необходимо учитывать взаимозаменяемость между различными видами процентных ставок.

Эквивалентными называют процентные ставки, которые при замене одной на другую приводят к одинаковым финансовым результатам, т.е. отношения сторон не изменяются в рамках одной финансовой операции.

При изменении условий платежей для реализации названного принципа необходимо учитывать разновременность платежей, которые производятся в ходе выполнения условий контракта до и после его изменения.

Эквивалентными считаются такие платежи, которые оказываются равными после их приведения по заданной процентной ставке к одному моменту времени, либо после приведения одного из них к моменту наступления другого по заданной процентной ставке.


Эквивалентность процентных ставок


Для нахождения значений эквивалентных процентных ставок следует составить уравнение эквивалентности.

а) Рассмотрим эквивалентность простой процентной и простой учетной ставок. Предположим, что временная база равна 360 дням.

Полагаем, что начальные и наращенные суммы при применении рассматриваемых ставок должны быть одинаковы. Составим уравнение эквивалентности, исходя из равенства множителей наращения:

Решая эти уравнения относительно i и d, получим формулы 1.3 и 1.4. приведенные в разделе 1.

Если срок финансовой операции задан в днях, то эти формулы примут вид:



Если же временная база для процентной ставки i, как это часто бывает, составляет 365 дней, а для учетной ставки d – 360 дней, то:


Пример. Срок до погашения векселя 100 дней. Операция учета векселя должна принести 20% годовых в виде обычных точных процентов. Какую следует назначить учетную ставку?

Решение:


Следовательно, для обеспечения заданного уровня доходности необходимо назначить учетную ставку 18,7%.


б) Определим соотношение эквивалентности между простой процентной ставкой наращения и сложной процентной ставкой.

Для решения поставленной цели приравняем множители наращения друг другу:


где - простая процентная ставка наращения;

-сложная процентная ставка наращения;

-срок операции в годах.

Решим это уравнение относительно и .

,

,

.

Пример. Кредит предоставлен под 20% простых годовых на 0,5 года. Определите доходность финансовой операции в виде сложной годовой процентной ставки.

Решение; i =0,2; n = 0,5.


или 21%


ФИНАНСОВЫЕ РАСЧЕТЫ В СТРАХОВАНИИ


Основные понятия и базовые принципы страхования


Страховщик – специализированная организация, проводящая страхование,

Страхователь – физическое или юридическое лицо, уплачивающее страховые взносы и вступающее в конкретные страховые отношения со страховщиком.

Объекты и предметы страхования – подлежащие страхованию материальные ценности, в личном страховании – жизнь, здоровье и трудоспособность страхователя или застрахованного лица.

Страховая сумма – сумма денежных средств, на которую фактически застрахованы имущество, жизнь, здоровье.

Страховой тариф – процентная ставка от совокупной страховой суммы. Страховой тариф служит основой для формирования страхового фонда.

Финансовые расчеты в страховании (актуарные расчеты) базируются на двух основных принципах – финансовой эквивалентности обязательств страхователя и страховщика, учета фактор времени и солидарности застрахованных.

Согласно принципу финансовой эквивалентности обязательств теоретическая себестоимость страховой операции – нетто-премия должна быть равна стоимости страхования. Этот принцип реализуется с помощью уравнения, в котором нетто-премия приравнивается к актуарной стоимости страховых платежей, которая представляет собой современную стоимость страховых выплат с учетом условий страхования.

Учет фактора времени достигается с помощью дисконтирования платежей – приведения их к начальному моменту времени.

Например, пусть страхователь в возрасте лет заключил договор со страховщиком, согласно которому последний выплатит ему сумму при достижении возраста лет. Предположим, вероятность дожития до этого возраста равна. Тогда математическое ожидание выплаты составит . Поскольку выплаты премии и страховых сумм производятся в разное время, найдем современную стоимость платежа А с учетом вероятности его выплаты с помощью операции дисконтирования:

Здесь - сложная годовая процентная ставка.

Величина А представляет собой математическое ожидание дисконтированной страховой выплаты, то есть актуарную стоимость страховой выплаты. Нетто-премия при страховании на дожитие равна этой величине.

Принцип солидарности застрахованных подразумевает согласованность интересов. Например, в негосударственном пенсионном страховании пенсии выплачиваются из накоплений всех участников данного вида страхования, доживших и не доживших до их получения. То есть пенсионные расходы распределяются между всеми участниками. В результате цена страхования пенсии оказывается меньше, чем обеспечение такой же пенсии по сберегательной схеме, то есть без учета фактора солидарности.

Аналогично при страховании на дожитие страховая выплата обеспечивается не только собственным взносом застрахованного лица, но и взносами тех, кто не дожил до этого возраста.

В медицинском страховании в соответствие с принципом солидарности участники, у которых затраты на лечение незначительны или вовсе отсутствуют, оплачивают часть медицинских расходов участников с более высокими расходами на эти цели поскольку расходы распределяются между всеми застрахованными.


Финансовые потоки в страховании


Совокупность страховых взносов и выплат, производимых в разные моменты времени можно рассматривать как вероятностные потоки платежей. Заранее количество платежей в таких потоках неизвестно, поскольку взносы производятся лишь за живущих участников страхования. Выплаты также получают только живущие (за исключением страхования на случай смерти, когда выплата осуществляется в случае смерти застрахованного лица). Каждый член такого потока связан с некоторой вероятностью дожития. Такой поток обычно называют условным или страховым аннуитетом.

Модель потока платежей, учитывающая все требования к взносам и выплатам, позволяет получить такую важную для актуарных расчетов характеристику, как актуарная стоимость страховых выплат (или взносов).

Под актуарной стоимостью потока платежей понимают сумму последовательных платежей, дисконтированных на некоторый момент времени, с учетом вероятностей их выплат.

Структура тарифной ставки


Для определения размера денежных выплат каждого страхователя, как участника солидарной ответственности, рассчитывается тарифная нетто-ставка, используемая для расчета страхового платежа – основного источника дохода страховщика. Расчет нетто-ставки базируется на оценке вероятности наступления страховых случаев.

Нетто-ставка – основная часть страхового тарифа. Она формирует страховой фонд и устанавливается условиями страхования. Для рисковых видов страхования в состав нетто-ставки включается рисковая надбавка, которая учитывает отклонения возможных выплат от их среднего уровня и формирует запасной фонд.

Страховой и запасной фонд предназначены для расчетов со страхователями: выплаты суммы страховых возмещений, отчислений в резервный фонд, отчислений на предупредительные мероприятия.

Брутто-ставка включает в себя нетто-ставку и нагрузку. Нагрузка обеспечивает расходы на ведение дела и прибыль страховой кампании. За счет нагрузки страховщик оплачивает труд работников, содержание помещений и пр. Нагрузка, как правило, составляет 10-20% брутто-ставки. Брутто-ставка может быть рассчитана на основе соотношения:

где Р – брутто-ставка, Н – нетто-ставка, f – доля нагрузки в брутто-ставке.


Страхование жизни


Рассмотрим основные виды страхования жизни.

а). Страхование на дожитие. Выплата производится при условии дожития застрахованного лица до определенного возраста и полной оплаты соответствующего договора очередными или единовременными взносами.

б). Страхование на случай смерти. Страховая сумма выплачивается только при наступлении смерти застрахованного в период действия договора.

в) Страхование от несчастных случаев. Выплата производится, если физическое лицо пострадает от несчастного случая. Под несчастным случаем подразумевается физическое повреждение, следствием которого может быть временная инвалидность, постоянная инвалидность, смерть.

г) Смешанное страхование жизни. Этот вид страхования объединяет в одном договоре страхование на дожитие, на случай смерти и страхование от несчастных случаев. Нетто-ставка по смешанному страхованию рассчитывается как сумма нетто-ставок его составляющих.


Методы построения страховых тарифов


Условия страхования жизни обычно предусматривают выплаты в связи с дожитием застрахованного лица до окончания действия договора страхования или в случае его смерти в течение этого срока.

Вероятность дожить до определенного возраста или окончания срока страхования зависит в первую очередь от возраста в момент страхования и срока действия договора страхования жизни.

Она определяется с помощью таблицы смертности населения. Эта таблица разработана на основе данных демографической статистики (дифференцированно для мужчин и женщин). Таблица содержит конкретные цифры смертности для каждого возраста в расчете на 100000 населения. На основе этих таблиц рассчитывают страховые тарифы.

Возраст человека обозначается символом , а число лиц, доживающих до возраста , обозначается . Число умирающих при переходе от возраста к возрасту обозначается символом .

Вероятность умереть в возрасте лет, не дожив до возраста лет:

(11.3)

Например, из 100 000 родившихся женщин до 50 лет доживают 90792 чел. (), до 51 года не доживают 459 чел. (), следовательно, вероятность умереть в возрасте 50 лет у женщин:


Используя таблицу смертности, страховщик может определить величину страхового фонда, необходимого для выплаты в обусловленные сроки страховых сумм.

Используя метод дисконтирования можно определить его современную стоимость, равную сумме, которую необходимо собрать со страхователей в момент заключения договора страхования.

Страховые взносы могут вноситься единовременно при заключении договора страхования или ежегодно, образуя финансовую ренту. Рассмотрим некоторые случаи определения нетто-ставок.




Определение единовременной нетто-ставки по дожитию


Условия страхования предусматривают выплаты в связи с дожитием застрахованного лица до окончания срока договора. С помощью таблицы смертности устанавливается вероятное число выплат по дожитию застрахованного лица до окончания срока страхования. На основе данных о страховых суммах определяется размер страхового фонда, необходимого для страховых выплат.

Предположим, страхователь в возрасте лет заключил договор со страховщиком, согласно которому последний выплатит ему сумму при достижении возраста лет. Обозначим вероятность дожития до этого возраста .

Тогда , где - число лиц, заключивших договор страхования в возрасте лет, - число лиц, доживших до окончания договора страхования.

Математическое ожидание выплаты составит

Дисконтируя эту величину по сложной процентной ставке , определим математическое ожидание дисконтированной страховой выплаты, то есть актуарную стоимость страховой выплаты или величину единовременного взноса (без учета нагрузки):

Предположим, Тогда единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие определяется по формуле:



Пример. Страховщик заключил договор страхования с мужчиной 45 летнего возраста на 5 лет на дожитие на сумму 20 000 руб. Необходимо определить единовременную страховую премию при условии, что нагрузка составляет 10%. Страховщик предполагает всю сумму страховых взносов инвестировать под 9% годовых.

Решение:

Согласно таблице смертности ; .

Определим нетто-ставку:

Найдем брутто-ставку, учитывая, что нагрузка по формуле


Следовательно, величина единовременного взноса составит:

При единовременном взносе страхователь сразу при заключении договора погашает свои обязательства перед страховщиком и в дальнейшем не производит никаких дополнительных взносов.

Приложение


В данном разделе представлены методики расчета по некоторым стандартным формулам финансовой математики

Финансовая математика - область математики, посвященная экономическим расчетам. Методик финансовой математики очень много, наиболее часто, с ее помощью решается задача оценки временной стоимости денег, для различных схем инвестирования денежных средств.

Проценты

Одной из важнейших тем является задача расчета наращенных процентов по инвестированному капиталу. При любом типе экономики, где капитал имеет стоимость и инфляция положительна, рубль сегодня стоит больше рубля, который должен быть получен через год, два, три. Именно для этого применяются варианты расчета процентов, которые идентифицируют денежные потоки во времени, определяя стоимость денег с учетом будущих периодов. Зная текущую стоимость будущих денежных потоков, мы можем нивелировать разницу во временном распределении денежных потоков.

-

hello_html_m5c4cd1bb.gif

Сложный процент

-

hello_html_m6e59747e.gif

Однократное внутригодовое начисление процентов

-


Многократные внутригодовые начисления процентов

с целым числом лет


дробная часть по формуле простых процентов

с дробным числом лет


дробная часть по формуле сложных процентов

с дробным числом лет


FV - Будущая стоимость (future value, конечная стоимость) - инвестированные средства и сумма всех начислений сложных процентов на них или проекция заданного в настоящий момент количества денег на определенный промежуток времени вперед при определенной процентной ставке.

PV - Текущая стоимость (present value, размер инвестиции) - стоимость будущих поступлений денег, отнесенная к настоящему моменту или проекция планируемых к получению денег, через определенный промежуток времени и при определенной процентной ставке, на настоящий момент.

r - Процентная ставка (interest rate, discount rate, ссудный процент, годовая ставка, процент, рост, ставка процента, норма прибыли, доходность, ставка наращения) - процентная ставка, которая используется для оценки стоимости денег во времени.
Процентная ставка рассчитывается отношением будущей стоимости за 1 период, за вычетом текущей, к текущей стоимости( (FV-PV) /PV).

r - Ставка дисконтирования (discount rate, учетная ставка, дисконтная ставка, дисконт) - процентная ставка, используемая для определения текущей стоимости будущих денежных потоков. Ставка дисконтирования рассчитывается отношением будущей стоимости за 1 период, за вычетом текущей, к будущей стоимости ( (FV-PV) /FV).

Краткосрочные ссуды - ссуды, предоставляемые на срок до одного года с однократным начислением процентов.

Точный процент - при этом продолжительность определяют исходя из точного числа дней, для года считают как 365 или 366, квартала от 89 до 92, месяца от 28 до 31.

Обыкновенный процент - при этом продолжительность определяют исходя из приблизительного числа дней в году 360, квартале 90, месяце 30.

Точное число дней ссуды - продолжительность периода начисления определяется точным числом дней ссуды.

Приблизительное число дней ссуды - продолжительность периода начисления определяется приблизительно, считая, что в месяце 30 дней.

Наращение - финансовая операция, при которой происходит расчет будущей стоимости сегодняшней инвестиции при заданном сроке и процентной ставке.
































Литература


  1. Бочаров П.П., Касимов Ю. Ф. Финансовая математика.: Учебник. – М.: Гардарики, 2002

  2. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения: Учебно-практическое пособие для ВУЗов. – М.: ПРИОР,1998

  3. Касимова О.Ю. Введение в финансовую математику (анализ кредитных и инвестиционных операций). – М.: Анкил, 2001

  4. Ковалев В.В. Методы оценки инвестиционных проектов.- М.: Финансы и статистика, 2003.

5. Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. – 2-е изд. – М.: Финансы и статистика, 2002.

6. Криничанский К.В. Математика финансового менеджмента: учебное пособие. – М.: Издательство «Дело и Сервис», 2006.

7. Кузнецов Б. Т. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов – М.: Издательство «Экзамен», 2005.

8.Лукасевич И.Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений.: Учебное пособие для вузов. – М.: Финансы, ЮНИТИ, 1998.

9. Малыхин В.И. Финансовая математика/ Учебное пособие для вузов. –М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999

10. Мелкумов Я.С. Финансовые вычисления. Теория и практика: Учебно-справочное пособие. – М.:ИНФРА, 2002

11. Салин В.Н., Ситникова О.Ю. Техника финансово-экономических расчетов: Учебное пособие. -М.: Финансы и статистика, 1998

12.Симчера В.М. Введение в финансовые и актуарные вычисления. – М.: Финансы и статистика, 2003

13. Уланов В.А. Сборник задач по курсу финансовых вычислений/Под ред. Проф. В.В. Ковалева. -М.: Финансы и статистика, 2000

14.Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. – М.: «Дело-Ltd», 1995. гл. 12 «Изменение эффективности инвестиций».




18


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 15.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров287
Номер материала ДБ-263658
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх