Статья по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ на тему "текстовые задачи на путь, время скорость"

Шагаева Анна Борисовна

Учитель математики МБОУ «Барагашская СОШ»

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по теме «Текстовые задачи».

По данной теме у выпускников постоянно возникают трудности. В 9 классе есть простейшие задачи в модуле «Реальная математика» и сложная во второй части «Алгебры», в 11 классе текстовая задача есть в первой и второй частях. Для того, чтобы научиться решать текстовые задачи, надо уметь логически рассуждать, но самое главное – уметь составлять математические модели.

Все задачи можно разбить на группы или типы:

1)     Простейшие задачи.

2)     Задачи на путь, время и скорость. (здесь же окажутся задачи на работу, на заполнение бассейна…)

3)     Задачи на проценты.

4)     Задачи на прогрессию.

Простейшие задачи большинство учеников решают без проблем, так как опыт решения получают и развивают на уроках математики, составляя небольшие схемы и модели. Эта тема хорошо представлена в учебниках математики 5-7 классов. На более сложные задачи, как правило, времени на уроках не хватает (в общеобразовательных школах). Сами дети освоить и разобраться в задачах не могут.  Поэтому, я хочу помочь выпускникам разобраться в более сложных задачах.

Задачи на путь, время, скорость (самая распространенная задача на ЕГЭ и ОГЭ).

На путь время скорость

                                    На работу                                                      средняя скорость

                                                           На бассейн и трубы

На путь время скорость

1.      Готовим таблицу для заполнения данными из задачи, но пока ничего в ней не пишем:

2.      Читаем внимательно задачу. (Для примера, возьму задачу из ОГЭ. «Из пунк­та A в пункт B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 75 км, од­но­вре­мен­но вы­еха­ли ав­то­мо­би­лист и ве­ло­си­пе­дист. Из­вест­но, что за час ав­то­мо­би­лист про­ез­жа­ет на 40 км боль­ше, чем ве­ло­си­пе­дист. Опре­де­ли­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, если из­вест­но, что он при­был в пункт B на 6 часов позже ав­то­мо­би­ли­ста. Ответ дайте в км/ч.» )

3.      В таблицу в первую очередь заносим то, что точно известно: Из пунк­та A в пункт B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 75 км, од­но­вре­мен­но вы­еха­ли ав­то­мо­би­лист и ве­ло­си­пе­дист. Из­вест­но, что за час ав­то­мо­би­лист про­ез­жа­ет на 40 км боль­ше, чем ве­ло­си­пе­дист. Опре­де­ли­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, если из­вест­но, что он при­был в пункт B на 6 часов позже ав­то­мо­би­ли­ста. Ответ дайте в км/ч.»      То есть известно что выехали одновременно из пункта А, и  в пункт В уже не одновременно, но оба прибыли. Значит оба проехали по 75 км. Это и заносим в таблицу.

	путь
Автомобилист	75км
Велосипедист	75км

4.      Теперь думаем что взять за Х. Чаще всего подсказка в вопросе - Опре­де­ли­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста. Заносим в таблицу Х – скорость велосипедиста, читаем снова задачу, чтобы понять, а что со скоростью автомобилиста - за час ав­то­мо­би­лист про­ез­жа­ет на 40 км боль­ше, чем ве­ло­си­пе­дист.

	путь	скорость
Автомобилист	75км	Х+40
Велосипедист	75км	Х

5.    Третью колонку заполняем выражением, составленным по формуле. В данном случае колонка осталась для времени, значит t=S/v.

	путь	скорость	t=S/v
Автомобилист	75км	Х+40
Велосипедист	75км	Х

6.    Снова читаем задачу и думаем, как связать в уравнении полученные выражения третьей колонки, то есть, какое условие времени автомобилиста и мотоциклиста. «Из пунк­та A в пункт B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 75 км, од­но­вре­мен­но вы­еха­ли ав­то­мо­би­лист и ве­ло­си­пе­дист. Из­вест­но, что за час ав­то­мо­би­лист про­ез­жа­ет на 40 км боль­ше, чем ве­ло­си­пе­дист. Опре­де­ли­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, если из­вест­но, что он при­был в пункт B на 6 часов позже ав­то­мо­би­ли­ста.

7.    Так как велосипедист ехал дольше, чем автомобилист, то от времени велосипедиста отнимем время мотоциклиста и приравняем к 6.

Осталось только решить уравнение, но сначала проверим единицы: км, км/ч, ч. Все нормально, можно решать. Ответ получится 10км/ч.

Если будете придерживаться этого алгоритма, то можно решить большинство задач средней сложности. Для тренировки на сайте «Решу ЕГЭ или ОГЭ» порешайте задачи, там в решениях вы увидите только готовое уравнение, а научиться составлять его сможете по моему алгоритму.

Задача на работу.

Решаем по такому же алгоритму.

1.      Готовим таблицу для заполнения данными из задачи, но пока ничего в ней не пишем:

2.       Читаем внимательно задачу. (Для примера, возьму задачу из ОГЭ. Заказ на из­го­тов­ле­ние 110 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей за час из­го­тав­ли­ва­ет вто­рой ра­бо­чий, если из­вест­но, что первый за час из­го­тав­ли­ва­ет на 1 де­таль боль­ше?

В таблицу в первую очередь заносим то, что точно известно: Заказ на из­го­тов­ле­ние 110 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей за час из­го­тав­ли­ва­ет вто­рой ра­бо­чий, если из­вест­но, что первый за час из­го­тав­ли­ва­ет на 1 де­таль боль­ше?

3.      То есть известно что два рабочих выполнили заказ по 110 деталей каждый. Это и заносим в таблицу.

	заказ
1 рабочий	110д
2 рабочий	110д

4.      Теперь думаем что взять за Х. Чаще всего подсказка в вопросе- Сколь­ко де­та­лей за час из­го­тав­ли­ва­ет вто­рой ра­бо­чий. Заносим в таблицу Х – скорость работы второго рабочего, читаем снова задачу, чтобы понять, а что со скоростью работы первого - первый за час из­го­тав­ли­ва­ет на 1 де­таль боль­ше

	заказ	скорость
1 рабочий	110д	Х+1
2 рабочий	110д	Х

5.    Третью колонку заполняем выражением, составленным по формуле. В данном случае колонка осталась для времени, значит t=S/v. (Роль пути играет заказ, а скорость движения – это скорость работы)

	заказ	скорость	t=S/v
1 рабочий	110д	Х+1
2 рабочий	110д	Х

6.    Снова читаем задачу и думаем, как связать в уравнении полученные выражения третьей колонки, то есть, какое условие времени двух рабочих -  пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее, чем вто­рой

7.    Так как второй рабочий выполнял заказ  дольше, чем первый, то от времени второго отнимем время первого и приравняем к 1.

Осталось только решить уравнение, но сначала проверим единицы: детали, детали/ч, ч. Все нормально, можно решать. Ответ получится 10 деталей/ч.

Задача на заполнение бассейна водой

И опять аналогично.

1.      Готовим таблицу для заполнения данными из задачи, но пока ничего в ней не пишем:

2.      Читаем внимательно задачу. (Для примера, возьму задачу из ОГЭ. Бассейн наполняется водой через одну трубу за 4 часа, а через другую за 6 часов. Через сколько часов заполнится бассейн, если обе трубы будут работать одновременно.)

3.      В таблицу в первую очередь заносим то, что точно известно: То есть известно время заполнения водой бассейна каждой трубой и (это важно) заполняется один и тот же бассейн, который мы берем за 1 . Это и заносим в таблицу.

	время	Бассейн
1 труба	4ч	1
2 труба	6ч	1

4.    У нас уже заполнились две колонки, поэтому пока не будем думать про Х, а заполним третью колонку по формуле v=S/t. Роль пути играет бассейн.

	время	Бассейн	v=S/t
1 труба	4ч	1	¼
2 труба	6ч	1	1/6

5.    Снова читаем задачу и думаем про Х, то есть читаем вопрос. Через сколько часов заполнится бассейн, если обе трубы будут работать одновременно.  По формуле времени t=S/v составим выражение, где путь – это бассейн, а скорость – это их общая скорость.

 . Х здесь и не понадобился. Вычисляем полученное числовое выражение и получаем 2,4ч.

Все задачи так не решишь, но большинство без проблем решаются. В сложных задачах еще добавляем схему дороги из А в В, которая поможет понять, что заносить в таблицу. Однозначно можно сказать, таблица помогает все элементы задачи разложить по полочкам и не запутаться.

Задача на среднюю скорость.

Это особая задача, легко решается, если четко выполняешь действия с преобразованием формулы: Средняя скорость – это весь путь поделенный на все время. Многие путают со средним арифметическим, поэтому почти всегда решают неправильно. Итак, начнем с формулы:

 , привычная формула из физики, но надо помнить, что S – весь путь, а t - это все время. И если в задаче несколько участков движения, то S=S₁+S₂+…. и t=t₁+t₂+…. Какие преобразования формулы получатся, посмотрим на примере:

Итак, задача, которая уже два последних года подряд попадалась на ОГЭ.

Пер­вую треть пути ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 60 км/ч, сле­ду­ю­щую треть пути — со ско­ро­стью 100 км/ч, а по­след­нюю треть пути — со ско­ро­стью 75 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути.

 из задачи видно, что весь путь состоит из трех одинаковых участков, тогда формула превратится в . Так как все участки пути одинаковые, то каждый участок обозначим за х, а время неизвестно, значит его представим по формуле t=S/t. Получили , выносим х и сокращаем: =. Так как скорость известна, то лучше сразу подставить и вычислять по действиям.

Для закрепления еще одна задача:

Пер­вые 5 часов ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 60 км/ч, сле­ду­ю­щие 3 часа — со ско­ро­стью 100 км/ч, а по­след­ние 4 часа — со ско­ро­стью 75 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути.

 каждый участок пути вычисляем, так как все численные данные есть.

Прежде чем переходить к более сложным задачам, отработайте задачи средней сложности по этим алгоритмам.

Краткое описание документа:

По данной теме у выпускников постоянно возникают трудности. В 9 классе есть простейшие задачи в модуле «Реальная математика» и сложная во второй части «Алгебры», в 11 классе текстовая задача есть в первой и второй частях. Для того, чтобы научиться решать текстовые задачи, надо уметь логически рассуждать, но самое главное – уметь составлять математические модели.

Все задачи можно разбить на группы или типы:

• Простейшие задачи.
• Задачи на путь, время и скорость. (здесь же окажутся задачи на работу, на заполнение бассейна…)
• Задачи на проценты.
• Задачи на прогрессию.

Простейшие задачи большинство учеников решают без проблем, так как опыт решения получают и развивают на уроках математики, составляя небольшие схемы и модели. Эта тема хорошо представлена в учебниках математики 5-7 классов. На более сложные задачи, как правило, времени на уроках не хватает (в общеобразовательных школах). Сами дети освоить и разобраться в задачах не могут. Поэтому, я хочу помочь выпускникам разобраться в более сложных задачах.