Статья по подготовке к ЕГЭ на тему "Производная"

 «Производная»

Чтобы успешно решить задание на производную , нужно хорошо представлять её геометрический смысл (производная функции – это тангенс угла наклона касательной к оси Х в данной точке) и связь с графиками функций. В ЕГЭ в основном представлены три типа задач. Попробуем разобраться в алгоритмах решения каждого типа:

1.     Задачи с графиками функций и КАСАТЕЛЬНОЙ В КАКОЙ-ЛИБО ТОЧКЕ.

Это самый распространенный тип задачи и легко решаемый, если не пропустите ни одного шага в алгоритме:

       I.            Дорисовать удобный вам прямоугольный треугольник, где касательная является его гипотенузой. Часто на касательной  даны ключевые точки, которые помогут увидеть и построить этот треугольник, но можно и свои взять точки, главное чтобы стороны треугольника лежали строго на сторонах клеток. (см. рис)

     II.            В полученном треугольнике найти острый угол (их там два), выберим тот который образован касательной и стороной параллельной оси Х (см.рис).

  III.            Вычислить тангенс данного угла, то есть поделить длину противолежащего катета на длину прилежащего катета (tgA=a/b). В данном случае 3/12=0,25

  IV.            А теперь главное! Полученный ответ может быть отрицательный, а может быть положительный. Это самая частая ошибка выпускников – производную нашли правильно, а знак не определили, а ведь чаще ответ бывает отрицательный.  Это определить очень легко! Посмотрите на касательную. Если она «убывает», то ответ отрицательный, если «возрастает» - то положительный.

2.     Задачи с графиками функции или её производной, но без касательной

В данном типе задач, нужно хорошо понимать связь между функцией и её производной. Например, всем известная квадратичная функция, графиком которой является парабола. А если мы найдем производную, то получим линейную функцию, графиком которой является уже прямая. Это же совсем разные графики, а связь у них есть. Посмотрите на рисунок. Я в одной системе координат построила график функции у=х²+2х и график её производной у’=2х+2. Казалось бы, ну что общего, в чем связь? Но ведь одна произошла от другой!. Теперь внимание! Я синей линией параболу разбила на две её ветви.

Квадратичная функция убывает на промежутке (-∞; -1], линейная функция на этом же промежутке отрицательная (находится ниже оси Х), и наоборот квадратичная функция возрастает на промежутке [-1; +∞), а линейная функция на данном промежутке положительная (находится выше оси Х). Их же ключевая точка -1 является точкой минимума самой функции и нулем её производной, то есть находится на оси Х. Из всего сказанного строим таблицу-шпаргалку связей функции и её производной.

функция	Её производная
убывает	Отрицательная
возрастает	Положительная
Точки максимум или минимум	0 (у’=0) Касательная параллельна оси Х

Вот теперь глядя на график какой либо задачи  мы в первую очередь обратим внимание на то, что чей график построен – самой функции или её производной и используя связи из таблицы просто ответим на вопросы.

 Легко можно решить задачу, если дан график именно производной, данный график я превращаю в метод интервалов и могу ответить на многие вопросы. Например, дан график производной:

Превращаю его в метод интервалов, расставляю знаки с учетом графика и таблицы-шпаргалки и отвечаю на многие вопросы

      -      +    -                   +                              -

Так здесь получилось 2 промежутка возрастания, 3 промежутка убывания, 4 точки экстремума, можно посчитать сумму точек экстремума, количество целых точек каких-либо промежутков. То есть все зависит от вопроса задачи.

Предлагаю на рассмотрение несколько задач посложнее:

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-4;10). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) положительна.	Решение: 1)Это график самой функции. 2)Если производная положительная (прочитала в вопросе задачи), то функция возрастает(подсмотрела в таблицу-шпаргалку) 3)На графике два промежутка возрастания (-4; 0) и (5; 8,5) 4)осталось ответить на вопрос – на данных промежутках 6 целых чисел – это -3; -2; -1; 6; 7; 8 Кстати, я не посчитала следующие целые точки – это -4(она с проколом), 0(максимум), 5(минимум), ведь в этих точках производная равна нулю или не существует, а нам нужны были точки, в которых производная строго положительная, то есть функция возрастает
На рисунке изображен график y=f '(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-1; 10). В какой точке отрезка [5; 9 ] f(x) принимает наибольшее значение?	Решение 1)Это график производной 2)Читаю вопрос, отрезаю график на отрезке [5; 9] (красными линиями) 3)На данном промежутке производная выше оси Х, значит положительная, тогда сама функция возрастает на всем промежутке [5; 9], значит в конце промежутка значение функции будет наибольшим. Ответ «9»
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-1; 11). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = -20.	Решение 1)Это график самой функции 2)Из вопроса – касательная параллельна прямой у=-20. Представили (красная линия) 3)значит параллельна оси Х, такое возможно только в точках максимума и минимума (см.таблицу) 4)Точек максимума и минимума 6

Чувствуете насколько второй тип задачи многообразнее, здесь важно четко понимать и ориентироваться в связях между функцией и ее производной, а точнее уметь читать их графики и видеть связь.

3.     Задачи без графиков, но имеются уравнения функций, касательных или другие условия

Эти задачи встречаются реже всего, но все-таки бывают. Главное: если дано уравнение касательной, то коэффициент k это значение производной функции в точке касания с абсциссой х (у=kx+b). Если дано уравнение самой функции, то скорее всего потребуется найти её производную по известным правилам. Но единого решения нет, как и во многих задачах. Хорошо бы помнить, что производная пути – это скорость, а производная скорости – это ускорение.

Прямая y = 2x + 5 является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Решение 1)Из уравнения касательной k=2, значит у’(х)=2 2)Найдем у’=3х2 – 8х+6 3)Решим уравнение у’=2 3х2 – 8х+6=2, получим х1=2; х2=1/3. Получили две абсциссы, какую выбрать? Конечно 2, хотя бы потому что 1/3 я не смогу записать в клетки бланка ответов.

Краткое описание документа:

Чтобы успешно решить задание на производную , нужно хорошо представлять её геометрический смысл (производная функции – это тангенс угла наклона касательной к оси Х в данной точке) и связь с графиками функций. В ЕГЭ в основном представлены три типа задач. Попробуем разобраться в алгоритмах решения каждого типа: