Основное свойство дроби
Условимся
считать, что под "действиями с дробями" на нашем уроке будут
пониматься действия с обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь - это дробь,
обладающая такими атрибутами, как числитель, дробная черта и знаменатель. Это
отличает обыкновенную дробь от десятичной, которая получается из обыкновенной
путём приведения знаменателя к числу, кратному 10. Десятичная дробь
записывается с запятой, отделяющей целую часть от дробной. У нас пойдёт речь о
действиях с обыкновенными дробями, так как именно они вызывают наибольшие
затруднения у студентов, позабывших основы этой темы, пройденной в первой
половине школьного курса математики. Вместе с тем при преобразованиях выражений
в высшей математике используются в основном именно действия с обыкновенными
дробями. Одни сокращения дробей чего стоят! Десятичные же дроби особых
затруднений не вызывают. Итак, вперёд!
Две
дроби и называются равными,
если .
Например, , так как
Равными
также являются дроби и (так как ), и (так как).
Очевидно,
равными являются и дроби и . Это означает, что если
числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же
натуральное число, то получится дробь, равная данной: .
Это
свойство называется основным свойством дроби.
Основное
свойство дроби можно использовать для перемены знаков у числителя и знаменателя
дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить на -1, то
получим . Таким образом, значение
дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя.
Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь
изменит свой знак:
;
.
Сокращение дробей
Пользуясь
основным свойством дроби, можно заменить данную дробь другой дробью, равной
данной, но с меньшим числителем и знаменателем. Такую замену называют
сокращением дроби.
Пусть,
например, дана дробь . Числа 36 и 48 имеют
наибольший общий делитель 12. Тогда
.
В
общем случае сокращение дроби возможно всегда, если числитель и знаменатель не
являются взаимно простыми числами. Если числитель и знаменатель - взаимно
простые числа, то дробь называется несократимой.
На
сайте есть калькулятор онлайн
для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух
чисел.
Итак,
сократить дробь - это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий
множитель. Всё вышесказанное применимо и к дробным выражениям, содержащим
переменные.
Пример
1. Сократить дробь
.
Решение.
Для разложения числителя на множители, представив предварительно одночлен - 5xy в
виде суммы - 2xy - 3xy,
получим
Для
разложения знаменателя на множители используем формулу разности квадратов:
.
Таким
образом,
.
Далее,
изменяя знаки в числителе и знаменателе дроби, получим
Приведение дробей к общему знаменателю
Пусть
даны две дроби и . Они имеют разные
знаменатели: 5 и 7. Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить эти
дроби другими, равными им, причём такими, что у полученных дробей будут
одинаковые знаменатели. Умножив числитель и знаменатель дроби на 7, получим
.
Умножив
числитель и знаменатель дроби на 5, получим
.
Итак,
дроби приведены к общему знаменателю:
.
Но это
не единственное решение поставленной задачи: например, данные дроби можно
привести также к общему знаменателю 70:
,
и
вообще к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 5 и 7.
Рассмотрим
ещё один пример: приведём к общему знаменателю дроби и . Рассуждая, как в
предыдущем примере, получим
,
.
Но в
данном случае можно привести дроби к общему знаменателю, меньшему, чем
произведение знаменателей этих дробей. Найдём наименьшее общее кратное чисел 24
и 30: НОК(24, 30) = 120.
Так
как 120:4=5, то чтобы записать дробь со знаменателем 120,
надо и числитель, и знаменатель умножить на 5, это число называется
дополнительным множителем. Значит .
Далее,
получаем 120:30=4. Умножив числитель и знаменатель дроби на дополнительный
множитель 4, получим .
Итак,
данные дроби приведены к общему знаменателю.
Для
дробных выражений, в которые входят переменные, общим знаменателем является
многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.
Пример
2. Найти общий знаменатель дробей и .
Решение.
Общим знаменателем данных дробей является многочлен , так как он делится и
на , и на . Однако этот многочлен не
единственный, который может быть общим знаменателем данных дробей. Им может
быть также многочлен , и многочлен , и многочлен и т.д. Обычно берут
такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на
выбранный без остатка. Такой знаменатель называется наименьшим общим
знаменателем.
В
нашем примере наименьший общий знаменатель равен . Получили:
;
.
Нам
удалось привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Это произошло путём
умножения числителя и знаменателя первой дроби на , а числителя и знаменателя
второй дроби - на . Многочлены и называются
дополнительными множителями, соответственно для первой и для второй дроби.
Сложение и вычитание дробей
Сложение
дробей определяется следующим образом:
.
Например,
.
Если b = d,
то
.
Это
значит, что для сложения дробей с одинаковым знаменателем достаточно сложить
числители, а знаменатель оставить прежним. Например,
.
Теперь
рассмотрим пример сложения дробных выражений с переменными.
Пример
3. Преобразовать в одну дробь выражение
.
Решение.
Найдём наименьший общий знаменатель. Для этого сначала разложим знаменатели на
множители:
1) ;
2) ;
3) .
Наименьший
общий знаменатель:
Дополнительные
множители, на которые умножаются числители дробей:
1)
6;
2) ;
3) .
Таким
образом, получаем
.
Далее,
раскрывая скобки и выполняя тождественные преобразования, получаем
.
Умножение и деление дробей
Произведение
двух дробей и равно дроби,
числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению
знаменателей, т. е. .
Например,
.
При
делении дроби на дробь числитель делимого умножается на знаменатель делителя, а
знаменатель делимого - на числитель делителя, т. е. .
Например,
.
Свойства пропорции
1.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов, т.
е. если , то .
2. Из
пропорции вытекают следующие
пропорции: , , , т. е. в пропорции можно
менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.
3.
Чтобы найти неизвестный средний (крайний) член пропорции, нужно произведение
крайних (средних) членов пропорции разделить на известный средний (крайний)
член пропорции: и
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.