Инфоурок Геометрия СтатьиСтатья по теме: "Инверсия и её реализация в среде Wolfram Mathematica 9"

Статья по теме: "Инверсия и её реализация в среде Wolfram Mathematica 9"

Скачать материал

Инверсия в геометрии и её реализация в среде

Wolfram Matchematica 9

Геометрическая инверсия и её свойства.

Пусть на плоскости фиксирована окружность с центром в точке  и радиусом . Инверсией с центром в точке  и радиусом  называется преобразование плоскости, которое описывается следующим законом: точке , отличной от точек  и   , ставится в соответствие точка  на луче такая, что .

Необходимо заметить, что из данного определения следует тот факт, что точки, лежащие на окружности, переходят сами в себя, а лежащие внутри и вне окружности инверсии отображаются в очки вне и внутри окружности соответственно.

Данный факт виден на рисунке 1.

Говоря об инверсии, необходимо сказать, что она напрямую связана с стереографической проекцией. Напомним её. Пусть в пространстве задана сфера, в которой выделены 2 точки, которые будем называть северным и южным полюсом и обозначать N и S, и плоскость перпендикулярная отрезку NS и проходящая через центр сферы.

Любой луч, исходящий из N пересекает сферу в некоторой точке m и плоскость в точке M. Таким образом получаем отображение сферы с выколотой точкой N на экваториальную плоскость. Чтобы такое отображение было биекцией всей сферы к плоскости присоединим бесконечно удалённую (идеальную) точку. Такое отображение и называется стереографической проекцией.

Имеется естественное преобразование сферы: отражение в экваториальной плоскости, которое переводит точки «северной» полусферы в точки «южной» полусферы  или если сфера выбрана так, что её центр находится в начале координат, а плоскость XOY – экваториальная плоскость, то данная симметрия в координатах выглядит следующим образом: .

Спроектируем эти точки на плоскость XOY, и пусть  – образы при стереографической проекции точек .

Оказывается, что точки M и M’ являются инверсными относительно экватора. Таким образом имеется биекция между симметрией сферы и инверсией, которую иногда называют в силу её связи с симметрией сферы симметрией относительно окружности.

Цель данной работы реализовать данную биекцию, в виде …, с помощью которого можно визуально реализовать все основные свойства как инверсии, так и стереографической проекции. Что позволяет глубже понять свойства этих преобразований («Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать»)

Реализация инверсии в среде Wolfram Matchematica 9.

Целью нашей работы является визуализация связи между стереографической проекцией и инверсией, с помощью возможностей данного математического пакета. Wolfram позволяет в наглядном виде продемонстрировать основополагающие свойства стереографической проекции, рассматривать образы различных объектов стереографической проекции и её плоскость.

Программа, написанная нами, построена так, чтобы одновременно демонстрировать не только соответствующее преобразование инверсии, но и в тот же момент показать сопутствующую ему стереографическую проекцию.


 

Код программы:

 

Manipulate[

 Quiet@Module[

   {cx, cy, x, y, a,p1,p2,p3,u,r},

   If[Norm[cxy]>1, cxy=Normalize[cxy]];

      If[Chop[Norm[cxy]]<0.001,cxy={0.01,0.01}];

      {cx, cy}=cxy;

   Show[

    Graphics3D[{Opacity[5],Sphere[],

      Polygon[{{-5,-5,0},{5,-5,0},{5,5,0},

        {-5,5,0}}], Opacity[1],Point[{cx,cy,0}],

      If[la,Style[{Text["g",{cx,cy,0}],

         Text["d",invertTo3D[cxy]],Text["Г13",stereo[cxy]],

         Text["D", stereo[invert[cxy]]]},15],{}]},

     PlotRange®2, Boxed®False, ImageSize®400

     ],

    If[scl,

     {p1,p2,p3}={stereo[{cx+ra,cy}],

       stereo[{cx,cy+ra}], stereo[{cx-ra,cy}]};

     cone[Cross[p2-p1, p3-p1],.5(p1+p3),.5Norm[p3-p1],

      {0,0,1}],

     {}

     ],

    If[sc2,

     {p1,p2,p3}={invert[{cx+ra,cy}],

       invert[{cx,cy+ra}],invert[{cx-ra,cy}]};

     {u,r}=List@@circleABC[{p1,p2,p3}];

     cone[{0,0,1},Join[u,{0}],r,{0,0,1}],

     {}

     ],

    ParametricPlot3D[x=cx+ra Cos[a];

     y=cy+ra Sin[a];

     {{x,y,0},{Cos[a],Sin[a],0}, invertTo3D[{x,y}],

      stereo[{x,y}],stereo[invert[{x,y}]]},{a,0,2p}

     ],

    ViewAngle®17 Degree

    ]

 

   ],

 

 Row[{

   Spacer[60],

   Column[{

     Style["control circle g  ",9],

     Control@{{cxy,{0.5,0},"center"},{-1,-1},

       {1,1}},

     Control@{ra,.3,"radius"},0,1,ImageSize®Tiny

     }, Alignment®Right],

Spacer[30],

   Column[{

     Control@{{sc1,False,"g-Г13 cone"},{True,False}},

     Control@{{sc2,False,"d-D cone"},{True,False}}

     }],

 

   Spacer[30],

   Column[

    {Control@{{5.5,"opacity"},0,1,ImageSize®Tiny},

     "",

     Control@{{la, False, "labels"},{True,False}}

     }]

   }],

 Initialization®(

   invert[{0,0}]={0,0};

   invert[p_]:=p/(p·p);

   invertTo3D[p_]:=Append[invert[p],0];

   stereo[p:{x_,y_}]:={2x,2y,-1+p.p}/(1+p.p);

   cone[v:{vx_,vy_,vz_},c_,r_,f_]:=Module[

     {a,b,l,a},

     a=If[(vxŠ0)ß(vyŠ0),{1,0,0},  Normalize[{-vy,vx,0}]];

     b=Normalize[Cross[a,v]];

     ParametricPlot3D[

      lf+(1-l)c+r(1-l) (Cos[a]a+Sin[a]b),

      {a,0,2p},{l,0,1},Boxed®False, Axes®False,

      Mesh®False]

     ]),SaveDefinitions®True

 ]

 

 

 

Результатом работы данной программы является сфера Римана, в которой визуально демонстрируется взаимосвязь стереографической проекции с инверсией (рис. 1а, 1б)

Рис. 1а

Рис. 1б

Таким образом, на основании приведённой программы мы можем оценить возможности математического пакета Wolfram Mathematica 9 в плане наглядной визуализации таких явлений как «инверсия» и соответствующая ей «стереографическая проекция».

Очевидно, что применение этого пакета в совокупности с достаточным уровнем теоретической подготовки позволяет обеспечить наиболее высокий уровень освоения данного материала не только студентами, но и школьниками.

Косярский Александр Алексеевич,

педагог дополнительного образования

МАОУ ДО ЦДТ «Прикубанский»

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Статья по теме: "Инверсия и её реализация в среде Wolfram Mathematica 9""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Директор дома творчества

Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Данная статья демонстрирует возможность использования графических возможностей математического пакета Wolfram Mathematica 9 при изучении одной из важнейших тем геометрии "Инверсия и гомотетия".

В частности, в данной статье рассматривается использование программы Wolfram Mathematica 9 в стереометрии, параллельно связывая инверсионные преобразования в плоскости и пространстве.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 626 054 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 05.02.2019 532
    • DOCX 89.4 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Косярский Александр Алексеевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    • На сайте: 5 лет и 1 месяц
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 8313
    • Всего материалов: 11

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Интернет-маркетолог

Интернет-маркетолог

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 179 человек из 45 регионов

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика: умножение и деление

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 224 человека из 56 регионов

Курс повышения квалификации

Организация учебно-исследовательской деятельности учащихся как средство развития познавательной активности при обучении математике в условиях реализации ФГОС ООО и ФГОС СОО

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 26 человек из 16 регионов

Мини-курс

Инновационные технологии в краеведческой и географической работе со школьниками

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Проектный анализ: стратегии и инструменты управления успешными проектами

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Басня как педагогическая технология

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе