Статья . Решение диофантовых уравнений

 Санникова Галина Ивановна

учитель математики МБОУ "СОШ №10"

г. Елабуга Республики Татарстан

Решения диофантовых уравнений

с геометрическим построением.

Оглавление

1. Введение………………………………………………………………………………3

2. Решения диофантовых уравнений ax+by=c:

     2.1. геометрическое построение………….................................................................4

     2.2.  метод координат……....…..................................................................................7

     2.3. аналитический способ………………………………..…………………………8

3. Заключение…………………………….……………………………………………14

4. Литература………………………………..…………………………………………15

Введение

 Данная  статья адресована учащимся 8-11 классов по теме   изучение диофантовых уравнений первой степени и способов их решений. В статье внимание уделяется  решению диофантовых уравнений с геометрическим построением, также метод координат .

Интерес к диофантовым уравнениям связан, видимо, с самой природой человека – сохранившиеся документы обнаруживают его следы в глубине тысячелетий.

Диофантовы уравнения позволяют решать алгебраические задачи в целых числах.

Основная часть.

Рис. 1

Задача 7.1. Пусть на клетчатой бумаге нарисован прямоугольник размерами a×b клеток и отметим узлы сетки, которые на ней лежат. На сколько частей эти узлы делят диагональ?

					7

 

			Рис. 4

												10
								.
						.
					• Диагональ прямоугольника а×b разбита узлами сетки на d=НОД(a,b) частей. • Удобнее доказать более сильное утверждение: диагональ делится узлами на d=НОД(a,b) равных отрезков.
	Пусть прямая проходит через А и В. Будем двигаться в направлении А     В. Пусть следующим за узлом А будет С, а следующим за В будет D. Ясно, что |AC|=|BD|: если передвинуть лист вдоль прямой АВ так, что А перейдет в В, то ближайший к А узел С перейдет в D. Тем самым мы показали, что узлы расположены на равных расстояниях.

Пусть k – общий делитель a и b. Тогда мы можем разбить каждую сторону узлами на k равных частей. Проведя через точки деления линии сетки, мы разобьём весь прямоугольник на k² меньших прямоугольников, а диагональ разобьётся на k равных частей (рис. 7). Обратно, если узлы разбивают диагональ на k равных частей, то проведя через них линии сетки, мы разобьём стороны на k частей, то получим, что k-общий делитель a и b (a=k ∙ a₁, b=k ∙ b₁)

Итак, каждому общему делителю k чисел a и b соответствует разбиение диагонали на k равных частей. Задача 1 решена.

Также связь между узлами клеток и целыми числами легко объясняется методом координат.

		Рис. 8

 

Выберем за оси координат две линии сетки, за единицу масштаба – сторону клетки.

На рис. 8 проведена прямая, задаваемая уравнением y =xили 2x=3y.
Легко видеть, что все точки решётки, лежащие на этой прямой – это (3,2), (6,4), (9,6), (12,8) … по одну сторону от начала координат и (-3,-2), (-6,-4) … по другую сторону. Все эти точки можно записать общей формулой: x=3t, y=2t, где t – любое целое число. В общем виде сформулируем наше наблюдение так.

	Теорема 1.Если целые числа a и b взаимно просты, то все целые точки (x, y), лежащие на прямой ay=bx, находятся по формуле x=at, y=bt, где t – произвольное целое число.

 

Решим Задачу 2 Сколько целых точек лежит на отрезке, соединяющем точки:

А) (0,0) и (20,28) (включая его концы)

Решение: d = НОД (20,28)= 4, значит отрезок разделён на 4 части, отсюда следует на отрезке лежит 5 целых точек.

Б) (20,0) и (0,28)

Решение: d = 4, значит на отрезке лежит 5 целых точек.

Задача 3 Нарисуйте прямую заданную уравнением и напишите общую формулу, задающую все целые точки этой прямой.

А) 20x = 28y, y = x

x=7t, y=4t

Б) 20x+28y=0, 20x=-28y, y= − x

x=7t, y= − 4t

 

Мы научились решать однородное уравнение ay – bx=0 в целых числах (x, y).

Обсудим теперь, как устроено множество решений неоднородного уравнения ay–bx=c. Начнём с примеров.

Пример 1.Рассмотрим уравнение 28x-20y=22, л.ч. делится на 4, а п.ч. – нет. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.

Пример 2.Рассмотрим уравнение 28y-20x=12. Разделим обе части на 4.

Получим 7y-5x=3. Теперь начертим несколько прямых, уравнения которых:

7y-5x=0, 7y-5x=1, 7y-5x=2, 7y-5x=7.

 

Все эти прямые параллельны (рис. 9), нужная нам прямая четвёртая снизу. Заметим, что она проходит через целую точку (5,4), а остальные целые точки этой прямой расположены на равных расстояниях.

Отсюда ясно, что все решения нашего уравнения в целых числах:

		Теорема 3 А) Уравнение ay-bx=c тогда и только тогда имеет решение (x, y) в целых числах, когда   c делится на НОД (a, b) B) Если НОД (a, b) =1, c – произвольное число, то уравнение ay-bx=c имеет бесконечное число решений (x, y) в целых числах. Если известно одно решение (x0,y0), то все решения имеют вид x= x0+at, y=y0+bt

 

Доказательство.

Если a и b делятся на d, то при целых x, y число ay-bx=c тоже делится на d.

Если c не делится на d=НОД (a, b), то уравнение не имеет решений. Если же a, b и c делятся на d, то поделив все члены на d, мы придём к случаю, когда НОД (a, b) =1. Рассмотрим такое уравнение.

Пусть одно решение (x₀, y₀) уравнения мы нашли: ay₀-bx₀=c. Тогда легко найти общую формулу для остальных решений. Уравнение ay-bx=c мы можем записать так:

ay-bx=ay₀-bx₀или a(y-y₀) =b(x-x₀). Отсюда по теореме 1 получаем: x-x₀=at, y-y₀=bt.

Эти формулы выражают геометрически очевидный факт: если прямая ay-bx=c проходит через целую точку (x, y), то все другие целые точки расположены на ней с такими же интервалами, как и на параллельной прямойay-bx=0.

Осталось показать, как найти хотя бы одно решение (x₀, y₀) уравнения ay-bx=c

(если НОД (a, b) =1). Заметим, что достаточно сделать это для c=1: если (x₁, y₁) – решение уравнения ay-bx=1, то есть ay₁-bx₁=1, то x₀=cx₁, y₀=cy₁ будет решением уравнения

ay-bx=c. Итак нужно доказать эту теорему.

Теорема 4 Если НОД (a, b)=1, то существует целые числа x, y такие, что ay-bx=1.

 

Рассмотрим множество точек (x, y): 0≤x ≤a и 0≤ ay-bx ≤ a

 

На рис. 10 параллелограмм с вершинами (0, 0), (0, 1), (a, b+1), (a, b): см. рис. 10, где a=7, b=5. Внутри него лежат a-1 целых точек (на каждой прямой x=1, x=2, …,x=a-1 по одной – ведь эти прямые пересекают параллелограмм по отрезку длины1). Посчитаем для каждой из этих (a-1) целых точек (x₁, y₁) значение c₁=ay₁-bx₁.

Это – целое число 0˂ay₁-bx₁˂a. При этом разным точкам (x₁, y₁) обязательно соответствуют разные c₁. Значит соответствие (x₁, y₁) (ay₁-bx₁) между (a-1) целыми точками и (a-1) числами

1, 2, …,a-1 взаимоодназначно. В частности, найдётся (x₁, y₁) такая, что ay₁-bx₁=1.

3+5х

Задача 4

3

А)3у-5х=1, НОД (3,5) =1 У= (Рис. 1)

По теореме 3 НОД (а, b) =1, и известно одно решение (1,2), то все решения имеют вид х=1+3t и у=2+5t

 

Задача 6

Может ли число делится на 8, а при делении на 12 давать остаток 10?

Решение: число которое делится на 8, принимает вид 8х, а при делении на 12 с остатком 10 принимает вид 12х+10.

Рассмотрим все остатки при делении на НОК (8, 12)=24. делятся на 8 числа вида: 24m, 24m+8, 24m+16, …, и ни одно из них при делении на 12 не даёт остаток 10.

Задача 7

Двум мастерам приказали просверлить в рейке длинной 3 метра отверстия на равных расстояниях друг от друга и от концов рейки: одному мастеру – на расстоянии 20см, другому – 12см. Сколько всего отверстий проделано в рейке?

Решение: рейка имеет длину 300см. Первый мастер сверлит дырки на отметках: 20, 40, 60, …, 300. возьмём для подсчёта 300. но она не войдёт. Значит в ответе нужно будет вычесть единицу. Первый просверлит 300÷20=15 отверстий. Второй мастер сверлит на отметках: 12, 24, …, 300. он просверлит 300÷12=25 отверстий. В обоих списках отметок есть числа, которые делятся и на 12, и на 20, то есть делятся на НОК этих чисел.

НОК(12, 20)=60. Значит 5 отверстий совпадут. Тогда в конечном итоге отверстий получится: (15+25)-5=35. Так как мы взяли и число 300, вычитаем из ответа единицу и получаем 34 отверстия.

Задача 8. Две группы людей посадили вместе 850 деревьев. Первая группа работала 10 дней, а вторая 9 дней. Сколько деревьев сажала каждая группа в день, если первая группа за 4 дня сажала на 10 деревьев больше, чем вторая за 3 дня?

Решение: Пусть х – количество деревьев, которое сажала первая группа в день, у – количество деревьев, которое сажала вторая группа в день. Тогда первая группа посадила 10х деревьев, вторая – 9у. Вместе они посадили 850 деревьев, т.е. 10х+9у=850. далее за 4 дня первая посадила 4х, что на 10 деревьев больше, чем те 3у деревьев, которые посадила вторая группа за 3 дня – 4х-3у=10

 

10х+9у =850

4х-3у=10         ×3

10х+9у+12х-9у=30 +850

22х=880

Х=40  

Подставим х=40 во второе уравнение системы: 4×40-3у=10. Получим 160-3у=10, -3у=10-160, у=50.

Ответ: 40 и 50 деревьев.

Заключение

Эта статья научит учащихся 8-11 классов решать диофантовы уравнения разными способами, также  получить много новых знаний по этой теме. Такие уравнения или же задачи подобные тем, которые в статье, встретятся многим  в государственной итоговой аттестации и помогут  справиться с подобным заданием. Также диофантовы уравнения часто встречаются в олимпиадных заданиях 8-11 классов. Эта статья поможет учащимся  начать исследования по данной теме.

Литература

1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Под редакцией Сканави М.И.

2.Энциклопедия для детей.  Анатолий Савин.  Москва Аванто, 2003г.

3. Алгебра. И.М. Гельфанд, А.Х. Шень. Фазис, Москва, 2000г.

4. Александр Свечников. Путешествие в историю математики. Педагогика-Пресс, 1995г.

5.Яковлев Г.Н, Купцов Л.П., Резниченко с.В., Гусятников П.Б, «Всероссийские математические олимпиады». М.: Просвещение, 1992г.