Статья "Решение задач нестандартыми методами"

Развитие творческой активности учащихся на теоретических и практических занятиях с помощью решения задач своими нестандартными методами

Предисловие.

Дети очень любят выполнять задания своими нестандартными методами, с большим интересом относятся ко всему новому, желают превзойти своих учителей, быть замеченными среди товарищей и стремятся к повышению своих результатов. При решении задач по математике, информатике, и другим предметам, выполнении производственных заданий они ищут собственные рациональные методы их решения с наименьшими затратами труда и средств. Во время поиска выхода из тупиковых ситуаций оригинальным методом глаза детей загораются яркими огоньками, на их лицах появляется радостная, озабоченная улыбка. В таких ситуациях учителю необходимо оказывать помощь в выборе способов решений данных заданий и совместно искать пути и методы для рационального достижения результата.

Так, при изучении формул приведения тригонометрических функций, учащийся Кондратьев Роман пытается доказать верность формулы приведения с помощью формулы сложения , заменяя в ней величину на значение , получает следующий вид .

Из определения тангенса известно, что , то есть действительных чисел для определения величины tg в настоящий период нет. Тригонометрические функции определяют законы поворота точки (1; 0) единичной окружности вокруг начала координат, которая является материальной и поворачивается беспрерывно, что даёт возможность предполагать о существовании зависимости функций , а также наличия функции , величина которой обладает нестандартными свойствами и не входит в область действительных чисел. Для определения свойств величины и решения задачи учащегося Кондратьева Романа его нестандартным способом проводится следующий урок.

Цель урока: оказать помощь учащемуся Кондратьеву Роману, его товарищам в решении задачи их способом и развить самостоятельные навыки в творческой деятельности учащихся.

Тип урока: Урок собственных открытий.

Задачи:

• Привить любовь к творческому труду и решению задач собственными силами.
• Научить учащихся выявлять законы развития окружающего их мира с целью решения задач, повышения благосостояния общества и сохранения окружающей среды.
• Продолжить формирование нравственных качеств учащихся, их интеллекта и творческой личности.

Оборудование: компьютерный класс, программы Microsoft Office, проектор, учебники, индивидуальные задания.

Продолжительность занятий: 2 часа.

ХОД ЗАНЯТИЙ

I. Проверка готовности учащихся к занятиям.

Проверяется наличие учащихся в классе, их состояние, отношение к умственному труду, наличие и качество учебного оборудования, дидактических материалов.

II. Сообщение цели урока и метода её достижения.

Требуется решить задание учащегося Кондратьева Романа, предложенным им способом, определить свойства величины и найти им применение при решении задач теоретического и прикладного характера. Для поиска свойств величины предлагается сравнить формулы определения площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам при величине одного из углов равной .

(1) (2) , где S – площадь треугольника, c – длина стороны треугольника, и величины углов, прилежащих к стороне c. Если один из прилежащих углов к стороне с треугольника будет 90°, то формула (1) упрощается и примет вид формулы (2).
Формулы (1) и (2) учащиеся изучают в училище, а также им предлагается ознакомиться с ними на сайте интернета http://festival.1september.ru, фестивале педагогических идей “Открытый урок” 2003/2004 учебного года или в статье “Площадь треугольника. Новые задачи” еженедельного учебно-методического приложения к газете “Первое сентября”, “Математика” №2, 1999 года.

Приравниваем правые части формул (1) и (2) , когда величина = = 90° , так как в этом случае они равны. Делаем тождественное преобразование в получившемся равенстве = путём умножения левой и правой частей на множитель , который является в данном случае положительным числом, получим ^. = ^. или . Из получившегося результата видно, что числитель и знаменатель в левой части дроби равны между собой, то есть .

Результат обнаружил уникальное свойство величины , которого нет у действительных чисел. Величина не изменяется, если к ней прибавить действительное число.

Это и есть открытие данного урока.

Для краткой записи величину обозначим знаком Тn, назовём тьмой, то есть Тn = = , где 0_n — равняется величине материальной точки (1;0), поворачивающейся вокруг начала координат по дуге единичной окружности согласно определения тригонометрических функций, при которой n – мерные пространства переходят в (n-1) – пространства. Число 0n назовём словом мал и определим как величину являющуюяся обратной числу тьма .

Свойства новых чисел тьма и мал.

1. Tn + a = Tn , где а любое действительное число, то есть величина числа тьма не изменяется, если к нему прибавить действительное число, что было доказано выше. Из этого свойства видно, что здесь нарушается аксиома Архимеда, которая утверждает, что для любых двух чисел а и b, где 0 < a < b, одно из неравенств a+ a > b, a+ a+ a > b, … обязательно выполнено.
2. Tn ^. a = a ^. Tn , где а действительное число .
3. 
4. 
5. Из первого и четвёртого пунктов находим особенные свойства числа мал.

. Последние равенства пункта 5 показывают, что величина действительного числа не изменится, если к нему прибавить число мал или действительное число, умноженное на число мал. В этом свойстве также нарушается аксиома Архимеда, о которой говорилось выше.

6. 

Аксиомы чисел тьма и мал для проведения других арифметических операций между собой и с действительными числами на этом уроке не спонадобятся и предлагается учащимся подумать над ними самостоятельно.

III. Доказательство формулы приведения методом учащегося Кондратьева Романа с помощью нестандартных свойств величины .

У доски работает Кондратьев Роман, а остальные работают звеньями по четыре человека в звене за своими партами.
= .

Данное доказательство показывает справедливость формулы приведения и существование величины со своими необычными свойствами, которые учащиеся нашли на уроке под руководством учителя.

IV. Самостоятельная работа на уроке.

Группа учащихся разбивается на звенья (по 3, 4 человека в звене), старшими в звеньях назначаются наиболее активные учащиеся, которые получают для своего звена компьютеры и дидактический материал.

Задачи первого варианта.

Задача № 1.

Определить площадь лесного участка, имеющего вид близкий к форме треугольника, который ограничен двумя речками и дорогой (см. рис.1). Длина дороги 1354 метра, а углы, прилежащие к ней, соответственно равны 90° и 47°. Для решения задачи используйте электронную таблицу Excel и формулу (1) определения площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ход решения задачи № 1 первого варианта.

Сначала звено должно преобразовать формулу (1) с помощью числа тьма в формулу вида (2), так как один из прилежащих углов к дороге равен 90°, а затем написать программу для решения этой задачи с помощью электронной таблицы Excel, ввести её и получить ответ. Преобразование формулы (1) в формулу (2) .
Формула в Excel =1354^2*TAN(47/57, 3)/2 .
После выполнения программы получится ответ: ~ 982876,3 м²

Рис. 1

Задача № 2.

Фермеру требуется сделать перекрытие на садовый домик, профиль которого будет иметь форму прямоугольного треугольника с гипотенузой 12 (м) и площадью 32 (кв. м.). Определить углы, прилежащие к гипотенузе, т. е. основанию перекрытия, чтобы точно сделать объект и оптимально израсходовать строительный материал. (См. рис. 2). Составьте программу для решения данной задачи в электронной таблице Excel.

Рис. 2

Ход решения задачи № 2 первого варианта.

Эта задача рационально решается с помощью тригонометрического уравнения нашего училища (1), с которым можно глубже познакомится в указанной выше литературе.

Особенностью решения этой задачи является то, что угол напротив известной стороны дан величиной 90°. При применении тригонометрического уравнения нашего училища учащиеся должны будут преобразовать его к виду (2) нестандартным способом с помощью числа тьма.

(1) , где
S – площадь профиля перекрытия = 32 (кв. м.), с – длина основания (гипотенузы) = 12 (м.),
= 90°, то есть tg стандартным способом не определён. Для решения данной задачи уравнение (1) можно преобразовать к виду (2) без tg способом, данным в выше указанной литературе. Здесь учащиеся должны использовать для перехода от уравнения (1) к уравнению (2) числа тьма и мал, так как изучили их свойства и этот способ более рационален. Подставляя значение tg 90° = Tn в уравнение (1), получат .
Откуда согласно свойств Tn уравнение (1) примет следующий вид . Последнее выражение после деления на Tn и умножения на –1 получит окончательный вид, необходимого для решения данной задачи, уравнения (2).

(2) .

В уравнение (2) подставляются данные из задачи № 2 .

Составляется программа решения последнего тригонометрического уравнения, то есть для определения корней tg _{1 ,} tg ₂ , а затем для нахождения окончательных результатов — величин углов ₁ и ₂ в электронной таблице Excel.

Программа в Excel.

	A	B	C
1	4	-9	4
2	=B1^2-4*A1*C1	tg1 =	=ЕСЛИ(A2>=0;(-B1+КОРЕНЬ(A2))/(2*A1);”Нет корней”)
3		tg2 =	=ЕСЛИ(A2>=0;(-B1-КОРЕНЬ(A2))/(2*A1);”Нет корней”)
4		1=	=ATAN(C2)*57,3
5		2=	=ATAN(C3)*57,3

Результат выполнения данной программы в Excel.

После выполнения программы в Excel получили ответы для задачи № 2. Углы между основанием перекрытия и уклонами должны быть:
₁ ~ 58,64° и ₂ ~ 31,36°

Задачи второго варианта

Задача № 3.

Определить площадь лесного участка, имеющего вид близкий к форме треугольника, который ограничен двумя речками и дорогой (см. рис.3). Длина дороги 1537 метров, а углы, прилежащие к ней, соответственно равны 90° и 33°. Для решения задачи используйте электронную таблицу Excel и формулу (1) определения площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Рис. 3

Решение данной задачи аналогично решению задачи № 1 первого варианта.

.

Формула в Excel =1537^2*TAN(33/57, 3)/2 .

После выполнения программы получится ответ: ~ 766998, 94 м² .

Задача № 4.

Фермеру требуется сделать перекрытие на садовый домик, профиль которого будет иметь форму прямоугольного треугольника с гипотенузой 14 (м) и площадью 42 (кв. м.). Определить углы, прилежащие к гипотенузе, т. е. основанию перекрытия, чтобы точно сделать объект и оптимально израсходовать строительный материал. (См. рис. 4). Составьте программу для решения данной задачи в электронной таблице Excel.

Данная задача решается аналогично задаче № 2 первого варианта, то есть используется тригонометрическое уравнение училища (1), а затем оно преобразуется с помощью числа тьма к тригонометрическому уравнению вида (2).

.

После подстановки данных задачи в это уравнение оно примет следующий вид .

Получившиеся тригонометрическое уравнение решается с помощью электронной таблицы Excel аналогично задаче №2 первого варианта.

Рис. 4

Программа решения данной задачи в электронной таблице Excel.

	A	B	C
1	3	-7	3
2	=B1^2–4*A1*C1	tg1=	=ЕСЛИ(A2>=0;(-B1+КОРЕНЬ(A2))/(2*A1);”Нет корней”
3		tg2=	=ЕСЛИ(A2>=0;(-B1-КОРЕНЬ(A2))/(2*A1);”Нет корней”
4		1=	=ATAN(C2)*57,3
5		2=	=ATAN(C3)*57,3

Результат выполнения данной программы в электронной таблице Excel.

 

После выполнения программы получили ответы для задачи №4:

VI. Подведение итогов урока.

Оценка 5 выставляется за точное преобразование формул, уравнений для данных задач, составление программ и получение правильных ответов.
Оценку 4 получают учащиеся, которые правильно составили программы, но допустили ошибки при вводе данных с клавиатуры, что привело к неточным ответам.
Оценка 3 выставляется за решение задач с небольшими ошибками, допущенными при преобразовании формул, уравнений и составлении программ.

VII. Домашнее задание.

1. Найти на основании свойств чисел тьма и мал данного урока максимальную сумму чисел мал на интервале (0; 1).
2. Определить углы между диагональю крышки своего рабочего стола и её сторонами, которые вместе с диагональю образуют прямоугольный треугольник. Рабочая поверхность стола должна быть прямоугольная. Решение задачи выполните с помощью тригонометрического уравнения училища (1), новых чисел тьма и мал, электронной таблицы Excel. После получения ответа сравните его со своими измерениями этих углов транспортиром и убедитесь в правильности своего решения.

Краткое описание документа:

В предложенной статье рассматривается вопрос решения математических задач различными методами. В статье предлагаются задания практической направленности как из алгебры, так и из геометрии. Широко показана практическая направленность математических задач. предлагается алгоритм решения задач различными способами.