Инфоурок / Математика / Научные работы / Статья, Степенные ряды от матриц
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Статья, Степенные ряды от матриц

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Степенные ряды от матриц


Начало к теории аналитических функции от матриц было положено в работе И.А.Лаппо-Данилевского [1]. В этой работе при помощи мажорантной матрицы были исследованы области сходимости степенного ряда от матриц. Г.Худайберганов при помощи спектральной нормы исследовал области сходимости степенного ряда от матриц [2, 3].

Рассмотрим степенной ряд от одной матрицы:

hello_html_104b481b.gif(1)

где hello_html_m9db5b3f.gif постоянные численные коэффициенты, hello_html_m393cf4bf.gif переменная матрица.



Определение 1 (Г. Худайберганов [2],[3] ). Мы назовем ряд (1) абсолютно сходящимся, если ряд

hello_html_70496086.gif(2)


сходится здесь hello_html_4d0c7f76.gif-спектральная норма.


Теорема (Г. Худайберганов [2],[3]). Пусть дан степенной ряд матриц (1) и hello_html_35e14f30.gif, где hello_html_m16bedb48.gif.


Тогда в любой точке hello_html_214f8694.gif, в которой hello_html_m833c67a.gif, ряд (1) абсолютно сходится, а в любой точке hello_html_214f8694.gif, в которой hello_html_40b368da.gifhello_html_m53d4ecad.gif ряд (2) расходится.

Здесь в случае hello_html_m559b7517.gif, невозможно утверждать расходимость ряда (1) как это возможно в одномерном комплексном анализе. Рассмотрим например, матрицу выда hello_html_2253fc63.gif. Тогда hello_html_6398bf7f.gif и поэтому при hello_html_m3d9afb0f.gif ряд (2) в точке hello_html_m3cc53a3b.gif расходится, а ряд (1) в точке hello_html_m3cc53a3b.gif сходится, так как матрица hello_html_m3cc53a3b.gif нильпотентная матрица степени 2.

Если дать определения абсолютной сходимости ряда следующим образом, то эффект который показано в предыдущем примере исчезает.

Определение 2. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если ряд hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_99072c0.gif сходится.

Основным результатом этой работы является следующая

Теорема. Пусть дан степенный ряд от матриц (1) и

hello_html_m378f8003.gif,

где hello_html_m16bedb48.gif. Тогда в любой точке hello_html_214f8694.gif, в которой hello_html_3b50929e.gif (или hello_html_m670c4b5f.gif), ряд (1) абсолютно сходится, а в любой точке hello_html_214f8694.gif, в которой hello_html_3f66ac3c.gif (или hello_html_m4ea48958.gif) ряд (1) расходится.

hello_html_m53d4ecad.gif

Литературы

  1. И.А. Лаппо-Даниловский. Применение функций от матриц теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. –М.: 1957.-456 с.

  2. Худайберганов Г. Голоморфные функции от матриц и некоторые связанные с ними геометрические задачи комплексного анализа, 2 // Узб.мат.журн.-1991-№4.-с.51-59.

  3. Худайберганов Г. Степенные ряды и голоморфные функции от нескольких матриц. Препринт Института физики СО АН СССР. –Красноярск, 1988.-37 с.

Общая информация

Номер материала: ДБ-140344

Похожие материалы